徐 燕，陳平雁

（南方醫(yī)科大學(xué) 公共衛(wèi)生與熱帶醫(yī)學(xué)學(xué)院生物統(tǒng)計學(xué)系，廣州 510515）

時間序列分析在生物、醫(yī)學(xué)、氣象、天文、地質(zhì)、經(jīng)濟等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，尤其是在經(jīng)濟金融領(lǐng)域，如匯率、股票價格、收益率等。由于各時刻的條件均值和方差難以滿足常數(shù)的假設(shè)，Engle(1982)提出自回歸條件異方差模型，條件均值和方差分別依賴于t時刻之前的觀察值和誤差平方，并表示為過去值的函數(shù)，這意味著其條件方差非常數(shù)，從而滿足了要求。

Hagan和Leonhard(1976)在正態(tài)分布中引入刻畫偏度的形態(tài)參數(shù)而得到新的分布稱為Skew Normal Distribution，簡稱SN分布，處理偏態(tài)數(shù)據(jù)效果良好[1]。

本文首先介紹SN分布概念，然后給出SN-ARCH(q)模型及參數(shù)中位數(shù)無偏估計，最后報道實驗結(jié)果。

1 SN分布

近年來基于某些對稱分布的偏斜分布族被大量研究，如正態(tài)分布、t分布、Cauchy分布等[1，2，3]。這類問題的關(guān)鍵在于引入偏斜參數(shù)后得到參數(shù)方程的分布形式及參數(shù)估計。

1.1 SN分布

引理1[1]令f0是一維零對稱概率密度函數(shù)，G是一維分布函數(shù)，G'存在并且是一個零對稱密度函數(shù)，則對任一奇函數(shù)w(˙)，有

是一個概率密度函數(shù)。

由此引理，對任意零對稱密度函數(shù)f0，可以通過擾動函數(shù)得到一個新的密度函數(shù) f，并且 f0是 f的特殊情況，即取w(x)≡0時。

Azzzlini(1985)取w(y)=αy，α是常數(shù)，即得到單變量SN分布。

定義1[1]令Y是一個連續(xù)隨機變量，?和Φ是N(0,1)密度函數(shù)和分布函數(shù)。若Y的密度函數(shù)滿足：

則稱Y服從帶參數(shù)a,a∈?,的SN分布，記為y～SN(a)。

稱a,a∈?,為形狀參數(shù)，其決定了概率密度函數(shù)的形狀，a＞0時Y正偏，a＜0時Y負偏， ||a增加偏度隨之增加。當a=0時，即N(0,1)。文獻[1]有SN分布與正態(tài)分布的關(guān)系的研究。

一般的，令Z～SN(a)，且Y=ξ+ωZ，其中ξ∈?,ω＞0，則Y的概率密度函數(shù)是：

1.2 矩估計

Pewsey(2000,2006)給出SN分布重新參數(shù)化后的矩估計，Arellano等(2008)給出重新參數(shù)化和原始參數(shù)兩種形式下的Fisher信息矩陣。下面綜述文獻[3,4]給出SN分布參數(shù)矩估計。

設(shè)Y～SN(ξ,ω2,a)，則

重新參數(shù)化后記為(μ ,σ2,γ1)，由(4)得

其中γ1表示偏度系數(shù)。

解方程(5)(6)(7)，得

將(11)帶入(8)(9)(10)，即得參數(shù)(ξ,ω2,a)的矩估計

2 SN-ARCH(q)模型

2.1 ARCH模型

定義2(ARCH(q)模型)[5]設(shè)是零均值序列無關(guān)過程，如果

2.2 SN-ARCH模型中位數(shù)的無偏估計

Engel(1982)給出ARCH模型參數(shù)極大似然估計的Newton-Raphson算法，此算法缺點在于不能保證每一步輸出值非負性；Weiss(1984,)和Ling(2000)分別在四階矩和二階矩條件下給出ARCH模型參數(shù)極大似然估計的漸進性質(zhì)；Lee等(1993)采用得分函數(shù)得到模型檢驗；Hong(1996)用譜方法給出ARCH模型的單邊檢驗。Shi等(2003)給出一定條件下的ARCH(0,1)中位數(shù)無偏估計[6]。下面構(gòu)造SN-ARCH(q)的中位數(shù)無偏估計。

簡單的，考慮SN-ARCH(1)，即

其中V是與Y1,…,Yn獨立的隨機變量，且滿足P(V=0)=P(V=1)=Y(1),…,Y(n)即Y1,…,Yn的次序統(tǒng)計量。

3 實驗結(jié)果

基于R統(tǒng)計軟件，對S&P500收益率序列(2001.02.01至2012.02.01,N=3280,0.004±0.0220)在0.05的檢驗水準下進行Bera-Jarque正態(tài)性檢驗，拒絕正態(tài)分布假設(shè)(B-J=1011.000,P＜0.001)，偏度(Skewness=-0.2320)顯著小于 0。自相關(guān)函數(shù)以偏離零均值的形式震蕩，以正弦曲線形式緩慢衰減。ARCH-Mcleod-Li殘差檢驗，當殘差平方自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)從1到27時檢驗全部顯著(P均小于0.01)，存在條件異方差性。建立SN-ARCH模型，模型參數(shù)估計如表1所示。

表1 S&P500收益率序列擬合模型參數(shù)估計

對上述模型殘差進行McLeod-Li檢驗，殘差及殘差平方序列在多項滯后時的統(tǒng)計結(jié)果接受原假設(shè)，說明SN-ARCH(1)模型能夠很好的消除原序列的異方差性。

對模型分布進行Pearson擬合優(yōu)度檢驗[7]，比較理論分布與實際分布的接近程度。在0.05的檢驗水平下不拒絕原假設(shè)(χ2=31.675，P=0.891)，即模型選擇合理。

4 總結(jié)與討論

本文從實際序列不服從正態(tài)分布的前提假設(shè)入手，在ARCH模型中引入SN分布，建立SN-ARCH(q)模型，給出參數(shù)中位數(shù)無偏估計，實驗結(jié)果通過Pearson擬合優(yōu)度檢驗，證明模型選擇合理。

SN分布的參數(shù)估計是比較麻煩的問題，它多了一個參數(shù)且密度函數(shù)不對稱，因此對于傳統(tǒng)的取對數(shù)變換，然后對參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，從而得到極大似然估計的方法效果不佳。對于ARCH模型破壞了方差不變的前提假設(shè)，故采用了非參數(shù)的中位數(shù)估計，與傳統(tǒng)的Yule-Walker估計和條件最小二乘估計相比更準確有效。

[1]Azzalini A.A Class of Distribution which Includes the Normal Ones[J].Scand.J.Statist.,1985,12(2).

[2]Shaun A.Bond.A Review of Asymmetric Conditional Density Functions in Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Models[Z].2002.

[3]Pewsey A.Modelling Asymmetrically Distributed Circular Data Using the Wrapped Skew Normal Distribution[J].Environ.Ecol.Stat.,2006,(13).

[4]Pewsey A.Problems of Inference for Azzalini,s Skew-normal Distribution[J].J.Appl.Stat.,2000,(27).

[5]Jonathan D.Cryer,Kung-Sik Chan.Time Series Analysis with Applications in R[M].New York：Springer Science Business Media,2008.

[6]Shi N.Z.Wang D.H.Median Unbiased and Maximum Likelihood Estimations of ARCH(0,1)Coefficient[Z].Statistics Simulation and Computation,2003.

[7]Palm F.C.,Vlaar P.J.G.Simple Diagnostics Procedures for Modelling Financial Time Series[J].Allgemeines Statistisches Archiv,1997,(81).