吳安澤

(重慶交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，重慶 400074)

0 引言

具有自相似性和標度不變性的系統(tǒng)稱為分形系統(tǒng)，隨著分形理論的產(chǎn)生和發(fā)展，逐步的形成了分形幾何學(xué)。分形理論作為一門新興的橫斷學(xué)科，是非線性科學(xué)的前沿和重要分支。在物理化學(xué)、材料學(xué)科、地質(zhì)勘探、信息科學(xué)等研究領(lǐng)域中十分活躍，是研究自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不光滑和不規(guī)則幾何形貌及復(fù)雜物理現(xiàn)象的有力工具，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形幾何［1］。同其他數(shù)學(xué)概念一樣，分形是從客觀存在的形和數(shù)的關(guān)系中抽象出來的。自然界中廣泛的存在分形。

分形維數(shù)簡稱分維，是描述分形的數(shù)量特征的主要參數(shù)，其用于研究形態(tài)不規(guī)則的事物，度量復(fù)雜形體的不規(guī)則性。分形形體中的自相似性可以是完全相同，也可以是統(tǒng)計意義上的自相似性［2］。作為分形中的參量，分形維數(shù)最早由 Hausdorff提出，以Hausdorff度為基礎(chǔ)，維數(shù)可以是非整數(shù)及分維。隨著分形理論的逐步發(fā)展，其越來越多的用于巖土工程碎石填料的分析中。

1 碎石料的分形特征

在爆破力和碾壓作用下，巖石形狀雖然不完全相同，但經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)都至少存在一個近似的三角形面。巖石的破碎過程類似于Koch曲線。先將直線段三等分，然后將中間部分用等邊三角形代替，依次重復(fù)以上兩步便會形成Koch曲線。Koch曲線雖在直線段的細部發(fā)生變化，然而整體形狀卻具有相似性。碎石顆粒的破碎過程可以用Koch曲線形象的描述。在這個過程中產(chǎn)生的小石塊同原來的大石塊相似，因此填料的破碎具有分形特征。

2 粒徑分布函數(shù)的分形表示

對于填石路基填料，設(shè)其填料的顆粒直徑為δ，定義粒徑不大于δ的填料個數(shù)為N(δ)，可得到分形為:

其中，δmax為填料的最大粒徑;NZ為填料的總數(shù)目。

填料的粒徑分布函數(shù)F(δ)定義為:

則:

其分維數(shù)D可以表征顆粒的相對粗細，D值越大，說明小于給定直徑大小的顆粒越多，對應(yīng)顆粒整體越細［3］。

3 填石料的分形

填料粒徑分布為分形，則其相應(yīng)的質(zhì)量、孔隙率、毛體積等也是空間意義上的分形。其拓撲維數(shù)為3，因此根據(jù)分形的定義可以得到毛體積的分形表達式為:

其中，V(δ)為粒徑不大于δ的填料顆粒的毛體積;V0為所有填料的毛體積。

對上式求導(dǎo):

定義粒徑小于δ填料的質(zhì)量M(δ)，則有:

由式(5)，式(6)得:

其中，M(δ)為粒徑不大于δ的填料的質(zhì)量;ρ為填料的表觀密度。

定義填料的質(zhì)量分布函數(shù):

其中，P(δ)為篩孔為δ的質(zhì)量通過百分率;MZ為填料的總質(zhì)量，即 M(δmax)。

由式(7)和式(8)可得:

當 δ=δmax時:

當最小的粒徑δmin=0時，下式成立:

此即為質(zhì)量通過率表示的填料級配分形表達式。

對式(11)取對數(shù)得:

如果在雙對數(shù)坐標lgP與lgδ函數(shù)圖中存在直線段，就表明填料顆粒分布具有分形結(jié)構(gòu)，lgP與lgδ的關(guān)系用數(shù)學(xué)方法回歸是一次方程，故lgP與lgδ存在直線關(guān)系，利用EXCEL中的最小二乘法對已知數(shù)據(jù)進行最佳直線擬合，求出通過百分率lgP與孔尺寸lgδ之間的最佳擬合直線斜率為K，則D=3－K，不同的D值對應(yīng)不同的級配組成［4］。

4 分形維數(shù)和碎石料級配的關(guān)系

分維數(shù)的大小與粒徑級配曲線的特征值有關(guān)，也與lg［M(d)/M］－lgδ曲線斜率有關(guān)。該曲線斜率b越大，分維數(shù)D越?。?］。

根據(jù)不均勻系數(shù)Cu=d60/d10和曲率系數(shù)可推算得分維數(shù)D與不均勻系數(shù)Cu和曲率系數(shù)Cc的以下關(guān)系式:

根據(jù)土工試驗規(guī)程，當粗粒土的級配同時滿足:Cu≥5和Cc=1～3時為級配良好。由JTG F10-2006公路路基施工技術(shù)規(guī)范，不均勻系數(shù)范圍限定在10～15之間，由式(13)和式(14)計算出當D滿足1.887～2.631范圍時，顆粒級配良好。因此，當填料的粒度分布分維數(shù)滿足D在以上范圍時，其級配為良好級配。只需計算分維值，就可以判定級配優(yōu)良性。根據(jù)分維數(shù)與不均勻系數(shù)和曲率的關(guān)系可以知道，D值越大，顆粒大小越不均勻，工程性質(zhì)越好;D值越小，顆粒大小均勻，工程性質(zhì)越差。

5 試驗結(jié)果分析

由室內(nèi)填料篩分試驗，得出三種試樣通過各篩孔的質(zhì)量占總質(zhì)量的百分比。篩下累計百分含量如表1所示。

表1 碎石篩下百分含量

假定:

則可作出三種填料SA，SB，SC的分形結(jié)構(gòu)圖如圖1～圖3所示。

對所做曲線經(jīng)過線性擬合得到直線段，直線的斜率即為b。SA料的斜率 b=0.775 8，SB料的斜率 b=0.816 1，SC料的斜率b=0.837 9。根據(jù)分維數(shù)與斜率的關(guān)系D=3－K得出三種填料的分維數(shù)分別如表2所示。

表2 分維數(shù)計算

從圖1～圖3各組填料的分維結(jié)構(gòu)、表1的數(shù)據(jù)分析可以看出分維數(shù)D全部滿足1.887～2.631的范圍，SA的填料分維數(shù)值最大，數(shù)值擬合計算得到的分維值與篩分試驗所得的不均勻系數(shù)這兩個指標有很好的統(tǒng)一性及不均勻性，不均勻系數(shù)越大，分維值就越大，填料粒徑分布越好。在擬合分維值時，除了SB組填料外，相關(guān)系數(shù)都在0.98以上，說明變量之間的線性相關(guān)程度很高及擬合結(jié)果有很高的可信度。

圖1 SA填料分維數(shù)結(jié)構(gòu)圖

圖2 SB填料分維數(shù)結(jié)構(gòu)圖

由圖4可以看出，填料SA的粒徑分布曲線比SB，SC組填料更要光滑，曲線相對平緩，沒有太大的波動點和突變點，可知分維值最大的SA組填料中小粒徑顆粒最多，粒徑分布不均勻。所以可以利用分維數(shù)的大小范圍來表征碎石填料級配的粗細及其粒徑分布特征。

圖3 SC填料分維數(shù)結(jié)構(gòu)圖

圖4 各組填料粒徑分布曲線圖

6 結(jié)語

1)碎石填料的粒徑分布特點具有良好的分形結(jié)構(gòu)，利用分形維數(shù)可以評價填料級配組成的優(yōu)劣。當分形維數(shù)的值在1.887～2.631之間時，可以判斷為良好級配;

2)分維數(shù)越大，填料粒徑分布曲線越平緩，填料級配良好;

3)細顆粒成分越多，分維數(shù)越大;粗顆粒成分越多，分維數(shù)越小。用分維數(shù)可以定量描述填石料中各種粗細顆粒的含量。

［1］褚武揚.材料科學(xué)中的分形［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2004:167-186.

［2］張濟忠.分形［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1995.

［3］薛祥立.粒度分布函數(shù)的分形表示［J］.青島建筑工程學(xué)院學(xué)報，1997，18(14):81-82.

［4］李國強.礦料級配的分形特征研究［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報，1995，14(2):129-130.

［5］付玉珠.填石路基大粒徑填料特性試驗研究［D］.成都:西南交通大學(xué)，2013.