王裕鑫

美國數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第十一章“思維的作用”中，用生動(dòng)的語言向讀者介紹解數(shù)學(xué)問題的思維過程理論，引導(dǎo)讀者理解思維的涵義，體會(huì)思維的過程，學(xué)習(xí)如何思考問題、分析問題、解決問題.

對(duì)于學(xué)生來說，學(xué)會(huì)如何思考要比得到簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)更美妙；而對(duì)于教師來說，教會(huì)學(xué)生方法要比教會(huì)學(xué)生答案更重要.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，是接受數(shù)學(xué)思想的過程.教授數(shù)學(xué)這門課程，是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)，展現(xiàn)思維的方式，領(lǐng)悟思維的過程.筆者以“制作無蓋的長方體紙盒”為例，談一談如何將思維的過程融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中和情感上都有愉悅體驗(yàn).

《制作無蓋的長方體紙盒》是蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)中一課題學(xué)習(xí)的題目.該課題學(xué)習(xí)主要考查立體圖形的平面展開，逆向思維如何將平面圖形折成立體圖形，以及逼近的思想.

本節(jié)課的重點(diǎn)是：用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題需要建模，會(huì)用函數(shù)式表達(dá)變量之間的相依關(guān)系；感受數(shù)量之間相依變化的狀態(tài)和趨勢。由于七年級(jí)的學(xué)生還不能應(yīng)用學(xué)過的知識(shí)確定體積的最大值，因此讓學(xué)生應(yīng)用分割逼近的方法求體積的最大值，體驗(yàn)從特殊到一般的探究過程.

設(shè)計(jì)教學(xué)過程如下。

一、有一個(gè)問題

問題是數(shù)學(xué)的心臟，一個(gè)好的問題可以激發(fā)學(xué)生一連串的猜想.問題的提出要讓學(xué)生具有解決問題的愿望、干勁和決心.教師可以這樣引出話題：我們生活在豐富的圖形世界里，生活為我們提供了豐富的素材，元旦快到了，小明和媽媽去商場為奶奶購買新年禮物時(shí)，被商場里許多商品精美的包裝盒深深吸引了，這些精美的包裝盒都可以近似地看成？搖 ？搖？搖？搖（長方體）.如果老師把上面的蓋子取走，它就是一個(gè)？搖？搖 ？搖？搖（無蓋的長方體紙盒）.

設(shè)計(jì)意圖：提出問題，營造舒適、輕松愉快的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生以積極的學(xué)習(xí)心態(tài)進(jìn)入課堂.

二、相關(guān)性

解題者在解決問題時(shí)注意力是選擇的，他排斥與題目不相關(guān)的事，選擇與題目相關(guān)的資料，這就是所謂的相關(guān)性.對(duì)于上面給出的問題，我們不斷地引導(dǎo)學(xué)生朝著問題的發(fā)展方向延伸和思考，如何制作無蓋長方形紙盒，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為無蓋的長方形紙盒的平面展開圖是什么，這樣一來，我們就找到了同原來問題相關(guān)的問題.教師可以這樣設(shè)計(jì)：用剪刀將你事先準(zhǔn)備的一個(gè)無蓋的長方體紙盒剪開，展開成一個(gè)平面圖形.無蓋的長方體紙盒因?yàn)榧糸_棱的方式不同，得到的平面圖形不盡相同.反過來，我們將這些平面圖形折疊后又能得到無蓋的長方體紙盒.那么同學(xué)們可以通過展開、折疊解決這個(gè)問題.

設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)手實(shí)踐，讓學(xué)生得出無蓋長方體的平面展開圖.

三、接近度

在學(xué)生做數(shù)學(xué)題的時(shí)候，對(duì)于是否正確，大致都會(huì)有一個(gè)感覺.一道數(shù)學(xué)題，應(yīng)該從這個(gè)方向著手，應(yīng)該這樣做出輔助條件，學(xué)生在心理上會(huì)有趨向于正確解法的感覺，這就是解題者與題目之間“心理上的距離”接近度.同樣，對(duì)有我們上面這個(gè)并不難的問題，學(xué)生會(huì)有解決問題的趨向.這時(shí)候，教師只要稍加引導(dǎo)：同學(xué)們，用一張正方形紙板如何制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒？基本操作步驟是什么？先思考，再與同學(xué)交流.經(jīng)過學(xué)生們發(fā)言討論之后，可以得到基本步驟：一畫（先在正方形的4個(gè)角畫出4個(gè)相同的小正方形），二剪（用剪刀剪去這4個(gè)小正方形），三折（折疊成一個(gè)無蓋的長方體紙盒）.

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)，學(xué)生按照自己的體驗(yàn)，歸納出制作無蓋長方體的基本步驟.

四、預(yù)見

解題者面對(duì)問題時(shí)，都會(huì)適當(dāng)?shù)夭孪?，感覺猜想與實(shí)際答案的偏離程度，感覺自己的猜想與答案接近，又或者立即就可以做出來了，這和上面我們談到的相關(guān)性和接近度是一樣的.教師請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)基本步驟，用一張邊長為的正方形紙板制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒.通過學(xué)生們的動(dòng)手操作，很快有不同的長方形紙盒從同學(xué)們的手中展現(xiàn)出來.此時(shí)，師：同學(xué)們，請(qǐng)你們觀察，這幾個(gè)長方體，有什么發(fā)現(xiàn)？生：顏色不同，高矮不同，胖瘦不同，大小不同.師：大小也就是容積，那么它的容積與什么有關(guān)系呢？生：長、寬、高.到這里為止，教師已經(jīng)很好地引導(dǎo)學(xué)生預(yù)見下面的問題.師：怎樣做，長方體的容積最大？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在簡單的動(dòng)手操作后， 讓學(xué)生從視覺的角度觀察不同的長方體，引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣才能制作出容積最大的無蓋長方體紙盒.

五、探索范圍

正如小朋友們玩捉迷藏一樣，游戲的規(guī)則就是要在指定的范圍內(nèi)找到躲藏者.做數(shù)學(xué)題也是一樣，你要尋求的答案也是在一定范圍之內(nèi)，這就需要解題者不斷地探索，尋找正確解答.那么我們上面要解決的問題，怎樣做，長方體的容積最大？教師進(jìn)一步地啟示：長方體的容積同長方體的長、寬、高有關(guān)，那在這里，大正方形的邊長為20cm，假如設(shè)減去的小正方形邊長為，那么，你能用的代數(shù)式表示無蓋長方體紙盒的容積嗎？這里的取值又是在什么范圍之內(nèi)呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受紙盒的長、寬、高和原來紙片的邊長及剪去的小正方形的邊長之間的關(guān)系.

六、決斷

解決數(shù)學(xué)問題，像是爬山一樣，會(huì)有很多不同的曲折蜿蜒的小路，每到轉(zhuǎn)折的時(shí)候，都需要解題者做出決斷.這個(gè)決斷不是果斷和武斷，它是對(duì)相關(guān)性和接近度的感覺，以及對(duì)正解的歸屬感，這種決斷會(huì)擴(kuò)大探索范圍，放棄限制，更進(jìn)一步地向正解邁進(jìn).

七、動(dòng)員與組織

當(dāng)解題者面臨問題的時(shí)候，他會(huì)搜尋自己的記憶，尋找一切與這個(gè)問題相關(guān)的定理、材料、輔助資源等.在腦海中篩選，哪些定理是可以用得到的，哪些材料可以成為輔助資源，將這些有用的信息提取出來與問題相結(jié)合.這種搜尋我們稱為動(dòng)員，這種將信息同問題相結(jié)合的聯(lián)系，我們稱為組織.二者相輔相成，不能分割.針對(duì)我們討論的問題，教師可以這樣設(shè)計(jì)：師：長方體紙盒的容積為V.減去的小正方形邊長x，那么怎樣表示它的容積？生：V=x（20-2x）■.師：觀察這個(gè)體積的表達(dá)式，回想我們學(xué)過的知識(shí)，同學(xué)們會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)呢？生1：……生2：體積隨著減去的小正方形邊長的變化而變化.師：說得好，“變化而變化”函數(shù)思想.師：你能確定減去小正方形邊長是__時(shí)，容積就是最大的嗎？有可能更大嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過教學(xué)引導(dǎo)，讓學(xué)生回想過去學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，并體會(huì)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)建模的方法.

八、辨認(rèn)與回憶

在動(dòng)員組織這個(gè)過程中，當(dāng)我們辨認(rèn)出一些與問題有關(guān)的素材或資料時(shí)，回憶起這些素材和資料是否與要解答的問題有關(guān)時(shí)，往往有豁然開朗的感覺.辨認(rèn)能夠引起我們回憶一些有用的東西，從而把有關(guān)的知識(shí)動(dòng)員起來.師：邊長x取什么數(shù)時(shí)，V最大呢？生：……師：請(qǐng)看公式，這里的x是不是任意數(shù)？生：不是.師：它有什么限制？生：0

設(shè)計(jì)意圖：體積的大小與小正方形的邊長有關(guān)，它們之間也是一種函數(shù)關(guān)系.學(xué)生通過回憶過往的知識(shí)，對(duì)現(xiàn)在的問題提出解決方案.

九、充實(shí)與重新配置

在解題的過程中，解題者在頭腦中不斷的動(dòng)員一些可利用的因素，這就不斷地充實(shí)了問題本身.充實(shí)讓解題的資料更豐富完整，但有的時(shí)候也并不需添加什么新的資料，只需將現(xiàn)有的條件重新組合配置，在新的關(guān)系下，我們?cè)趩栴}的解決方面依然會(huì)得到進(jìn)展.重新配置相當(dāng)于重建，重新建造問題的結(jié)構(gòu)，改變問題的重點(diǎn)，從而使解答的方法柳暗花明，更加明了.教師可以將問題的條件更進(jìn)一步充實(shí)，（分組練習(xí)一段時(shí)間后）師：同學(xué)們，你們得出結(jié)果了嗎？老師已經(jīng)把結(jié)果算出來了.綜合你們自己和老師的結(jié)果，同學(xué)們看一下有什么發(fā)現(xiàn).看下面的表格：

生1：x=3時(shí)V最大.師：你還有什么發(fā)現(xiàn)？通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)隨著剪去小正方形邊長的增大，長方體容積先變大后變小，那么x=3時(shí)，容積是最大的嗎？（板書x=3時(shí)，V=588）

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過合作的方式完成大量的計(jì)算，增強(qiáng)學(xué)生與他人合作的能力.

十、分離與組合

當(dāng)問題變得復(fù)雜時(shí)，也會(huì)有很多細(xì)節(jié)不斷顯露出來，將這些細(xì)節(jié)分離出來再重新組合，又會(huì)得到一個(gè)新的整體，這樣我們就使用了分離與綜合兩種手段進(jìn)行分析問題.以上面的問題為例，教師可以將x=3時(shí)體積V=588分離出來，進(jìn)一步分析：師：x=3時(shí)，容積是最大的嗎？（板書x=3時(shí)，V=588）生：不一定.師：那你估計(jì)呢？生：2～3或3～4之間.師：很好，我們繼續(xù)嘗試，那么到底在2～3還是3～4之間呢？我們不如取2.5、3.5時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們用計(jì)算器算一下.（板書：x=2.5，x=3，x=3.5時(shí)V分別等于多少？）

師：其實(shí)我們可以用同樣的方法繼續(xù)嘗試下去，實(shí)驗(yàn)研究表明，當(dāng)x=■時(shí)，容積最大.（板書：x=■時(shí)，V最大）.

設(shè)計(jì)意圖：探究當(dāng)取什么值時(shí)，的值最大，歸納出結(jié)論；體會(huì)分割逼近的思想；體會(huì)探究學(xué)習(xí)的方法.

十一、回顧與總結(jié)

我們重新回顧一下，首先由一個(gè)問題引發(fā)我們解決問題的期望，在解決問題的過程中，我們要根據(jù)與問題相關(guān)的資料合理的預(yù)見解決問題的方法和道路，當(dāng)然這也是依賴解題者在心理上對(duì)問題答案的接近度決斷的.這就需要我們?cè)谝欢ǖ闹R(shí)范圍內(nèi)動(dòng)員腦海中熟悉的條件和資源，辨認(rèn)哪些定理和知識(shí)是我們可以用到的，將其充實(shí)到問題中，抑或是將重建問題的條件，使資料更豐富完整.當(dāng)然當(dāng)面臨比較復(fù)雜的問題時(shí)，我們也不必慌亂，總會(huì)注意到一些細(xì)節(jié)，將它們分離出來重新組合，又會(huì)是一個(gè)新的方向，不斷推進(jìn)解題的進(jìn)行.

接下來，我們回到課堂總結(jié)中.

師：老師在電腦上演示一下，容積隨x的變大情況.同學(xué)們，我們用逼近的方法，探求出x=■時(shí)，所制作的無蓋長方體的容積最大.本節(jié)課，我們通過制作無蓋長方體紙盒的活動(dòng)，從中

經(jīng)歷

的過程.

同學(xué)們，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有什么收獲呢？（由學(xué)生總結(jié)發(fā)言）

師：數(shù)學(xué)源于生活并指導(dǎo)生活，希望同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，相信同學(xué)們一定能用自己靈巧的雙手，敏銳的思維，設(shè)計(jì)出一張美麗的人生名片，包裝自己，充實(shí)人生！下課！

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)本課的知識(shí)要點(diǎn)、探究過程中的方法，消除疑惑.

到此，制作無蓋長方體紙盒這節(jié)活動(dòng)課就結(jié)束了，這節(jié)課從提出問題到分析問題，再到解決問題，遵循了思維的規(guī)律，按照思維的發(fā)展過程，一步一步地將思維的方式方法呈現(xiàn)給學(xué)生.學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握了兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)思想和分割逼近思想，相信在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會(huì)有很大的幫助.教師通過這堂課的教學(xué)，更明白“授人以魚，不如授人以漁”的重要性；思考如何進(jìn)行思維模式的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)教師的專業(yè)化水平提高有很大的作用.