劉慧宏,丁元耀

(寧波大學(xué),浙江 寧波 315211)

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考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要有效投資組合

劉慧宏,丁元耀

(寧波大學(xué),浙江 寧波 315211)

摘要：安全首要準(zhǔn)則在應(yīng)用于投資策略選擇時(shí),更強(qiáng)調(diào)投資要預(yù)防極端或重大損失的發(fā)生。目前三種經(jīng)典的安全首要投資組合模型皆存在局限性。綜合并改進(jìn)三種經(jīng)典安全首要投資組合選擇模型,以此為基礎(chǔ),建立一個新的考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要投資組合選擇模型,并討論其最優(yōu)投資組合策略,該模型更加適合進(jìn)行國家社會保障基金的投資管理。在存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形下得到安全首要最優(yōu)投資組合策略存在的充分必要條件,給出有效投資組合策略的顯式表達(dá)。

關(guān)鍵詞：安全首要準(zhǔn)則;投資策略;無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn);社?；鹜顿Y

一、引言

現(xiàn)代投資組合理論及其應(yīng)用的既有研究中,除均值—方差準(zhǔn)則模型以外,另一類最典型的投資組合選擇模型就是安全首要準(zhǔn)則模型。經(jīng)典的安全首要準(zhǔn)則模型有三種基本形式,分別是由Roy提出的RSF模型、由Telser提出的TSF模型和由Kataoka提出的KSF模型。早期的研究主要集中于均值—方差模型的理論框架,但是,自1997年亞洲金融危機(jī)以來,安全首要準(zhǔn)則模型便受到了更多的關(guān)注。在理論研究中,RSF模型在連續(xù)時(shí)間條件下動態(tài)化,*Chiu M, Wong H, Li D, “Roy’s Safety-First Portfolio Principle in Financial Risk Management of Disastrous Events，”Risk Analysis, vol.32, no.11(2012.11), pp.1856-1872.TSF模型通過分解可行解集轉(zhuǎn)化為雙層最優(yōu)化問題討論求解方法,*鄭珍:《Telser的安全第一準(zhǔn)則下的最優(yōu)CRP組合投資策略》,碩士學(xué)位論文,蘭州大學(xué),2012年,第11頁。KSF在橢球分布下得到最優(yōu)解解析式及其存在條件,*Ding Y， Zhang B,“Optimal portfolio of safety-first models,” Journal of Statistical Planning and Inference, vol.139，no.9(2009.09), pp.2952-2962．安全首要準(zhǔn)則也與均值—方差準(zhǔn)則結(jié)合起來研究,用幾何方法解釋了安全首要準(zhǔn)則、期望效用準(zhǔn)則及均值方差準(zhǔn)則之間的關(guān)系,*Li Z, Yao J, Li D,“Behavior patterns of investment strategies under Roy’s safety-first principle,” The Quarterly Review of Economics and Finance, vol.50, no.2(2012.05), pp.167-179.安全首要準(zhǔn)則與均值—下半方差準(zhǔn)則相結(jié)合建立模型。*Promislow D, Young V, “Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift,” North American Actuarial Journal, vol.9,no.3(2005.03), pp.109-128．改進(jìn)型安全首要準(zhǔn)則模型對保險(xiǎn)資金投資進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理,*陳雷:《基于改進(jìn)型安全第一準(zhǔn)則的保險(xiǎn)資金投資風(fēng)險(xiǎn)管理研究》,碩士學(xué)位論文,西南財(cái)經(jīng)大學(xué),2012年,第54頁。隨機(jī)可持續(xù)回報(bào)被引入安全首要準(zhǔn)則模型,以研究社會責(zé)任投資。*Dorfleitner G, Utz S, “Safety first portfolio choice based on financial and sustainability returns,” European Journal of Operational Research, vol. 221,no.1(2012.08),pp.155-164.無論是理論研究還是應(yīng)用研究,均取得了比較豐富的研究成果。

不同于均值—方差準(zhǔn)則,在安全首要準(zhǔn)則下,風(fēng)險(xiǎn)被認(rèn)為是造成損失或未達(dá)到預(yù)期的最大可能原因,以潛在的損失概率來測度,投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)應(yīng)優(yōu)先控制未來收益低于某一水平的概率。安全首要準(zhǔn)則在應(yīng)用于投資策略選擇時(shí),更強(qiáng)調(diào)投資要預(yù)防極端或重大損失的發(fā)生。然而,三種經(jīng)典的安全首要投資組合模型也存在局限性。第一,在RSF模型與TSF模型中,安全收益水平事先已知, RSF模型的目標(biāo)為破產(chǎn)概率最小,TSF模型的目標(biāo)是破產(chǎn)概率約束下的期望收益最大。第二,在KSF模型中,安全收益水平事先未知,其目標(biāo)則是破產(chǎn)概率約束下的安全收益水平最大。現(xiàn)實(shí)中,追求收益是幾乎一切投資的基本要求,即使像國家社會保障基金的投資,在強(qiáng)調(diào)基金安全的同時(shí)也要為了實(shí)現(xiàn)基金的保值增值而選擇收益更高的投資策略。

本文將在綜合與改進(jìn)三種經(jīng)典安全首要投資組合選擇模型的基礎(chǔ)上,建立一個新的考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要投資組合選擇模型,并討論其最優(yōu)投資組合策略。本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分,建立一個考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的雙目標(biāo)安全首要投資組合選擇模型;第三部分,根據(jù)市場信息對模型進(jìn)行簡化;第四部分,給出模型的最優(yōu)解及有效前沿;第五部分,考慮不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí),模型的最優(yōu)解及其存在條件;第六部分進(jìn)行總結(jié)。

二、改進(jìn)的安全首要投資組合選擇模型

假設(shè)Rmin表示投資者所希望的最低安全收益水平,其大小取決于投資者對風(fēng)險(xiǎn)的承受水平α,其中0<α<1。對于投資者而言,以下的模型可以更好地描述其投資決策的行為:

(1)

這是一個雙目標(biāo)安全首要投資組合選擇模型。顯然模型(1)是對經(jīng)典安全首要模型的改進(jìn),本文稱其為改進(jìn)安全首要投資組合選擇模型(ModifiedSafety-FirstModel,簡稱MSF模型)。

三、簡化的改進(jìn)安全首要投資組合選擇模型

為了獲得MSF模型(1)的有效投資組合,本文考慮從以下幾個方面將模型(1)轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)隨機(jī)優(yōu)化模型。

首先,假設(shè)投資者想尋找期望收益水平不低于給定水平m的有效投資組合,則MSF模型(1)可以等價(jià)為如下模型:

(2)

通常要求m>r0,否則將所有資金存入銀行會是最優(yōu)策略,此時(shí)投資者將獲得固定收益率r0,這也是安全收益。因此本文將假定m>r0。

其次,假設(shè)投資者想尋找安全收益水平不低于給定水平r的有效投資組合,則MSF模型(1)可以等價(jià)為如下模型:

(3)

再次,引入?yún)?shù)λ,則可以將MSF模型(1)等價(jià)為如下模型:

(4)

對于給定的α,如果MSF模型(1)存在有效前沿的話,可以通過求解不同參數(shù)值m的模型(2)、不同參數(shù)值r的模型(3)或不同參數(shù)值λ的模型(4)中的任意一個來獲得該有效前沿。因此,本文接下來只討論模型(2)。

雖然Ding和Zhang曾對模型(2)進(jìn)行了討論,但他們只是在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形下討論了該安全首要模型的最優(yōu)投資組合策略的選擇問題。①Ding Y, Zhang B, “Risky Asset Pricing Based on Safety First Fund Management,”Quantitative Finance, vol. 9,no.3(2009.03), pp.353-361.

(一)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益服從橢球分布情形

假設(shè)收益向量R服從n維橢球分布,即R～En(μ,Ω,gn),密度函數(shù)為:

y∈Rn。

令kα滿足:

(5)

(6)

(7)

模型(7)可以進(jìn)一步表示為:

(8)

(二)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益分布不規(guī)則情形

如果收益向量R分布不規(guī)則或無法確知其分布類型,那么可以通過著名的Tchebycheff不等式得到:

(9)

四、改進(jìn)安全首要投資組合選擇模型的有效前沿

(一)安全首要投資組合最優(yōu)解及其存在條件

為了表示方便,本文采用如下記號:

a=μT∑-1μ,b=μT∑-1e,c=eT∑-1e,

d=ac-b2,s=a-2br0+cr02。

(10)

容易驗(yàn)證a>0,c>0,d>0,s>0。

根據(jù)Kuhn-Tucker條件對凸非線性規(guī)劃問題——模型(8)進(jìn)行求解,可以得到定理1。

定理1:當(dāng)m>r0時(shí),安全首要有效投資組合策略存在的充分必要條件是:

(11)

此時(shí),唯一的安全有效投資組合策略由以下公式給出:

X*=(m-r0)∑-1(μ-r0e)/s。

(12)

顯然,X=0,X0=1對于在任意給定的風(fēng)險(xiǎn)控制水平α下都是一個安全首要有效的投資組合。但是,這個組合對于社?；鸬耐顿Y應(yīng)用而言并沒有實(shí)際價(jià)值。

(二)安全首要投資組合的有效前沿及其特征

全部安全首要有效投資組合策略的集合構(gòu)成安全首要投資組合的有效前沿。對于每個有效投資組合策略,對應(yīng)一個風(fēng)險(xiǎn)控制水平、期望收益水平、安全收益水平的組合(α,m,Rmin);反之,給定滿足存在條件的一組(α,m,Rmin),對應(yīng)一個安全有效投資組合策略。因此,安全首要投資組合策略集也對應(yīng)于三維空間的一個集合{(α,m,Rmin)},該集合稱為MSF投資組合有效前沿。由于風(fēng)險(xiǎn)控制水平α與概率風(fēng)險(xiǎn)度zα一一對應(yīng),因此為了更加直觀,我們下面用安全首要投資組合策略集對應(yīng)的集合{(zα,m,Rmin)}描述MSF投資組合有效前沿。對于給定的滿足存在條件的風(fēng)險(xiǎn)控制水平α或者概率風(fēng)險(xiǎn)度zα,每個安全首要有效投資組合策略對應(yīng)一個期望收益水平、安全收益水平的組合(m,Rmin),這些有效投資組合策略的集合或者其對應(yīng)的二維空間點(diǎn)集{(m,Rmin)},形成α-MSF投資組合有效前沿。MSF投資組合有效前沿與α-MSF投資組合有效前沿統(tǒng)稱為安全首要投資組合有效前沿。

(13)

于是,MSF投資組合有效前沿可以表示為:

{(α,m,Rmin)|zα<-s,m>r0,

(14)

可見,在三維空間α-m-Rmin或者zα-m-Rmin坐標(biāo)系中,MSF投資組合有效前沿是在范圍zαr0,Rmin

圖1　MSF安全首要投資組合有效前沿

圖2　α-MSF投資組合有效前沿族

總之,安全首要投資組合有效前沿具有如下特征:第一,安全首要投資組合前沿是一個凸開集;第二,任何兩個安全首要有效投資組合策略的線性組合仍然是一個安全首要有效的投資組合策略;第三,安全首要有效投資組合策略可以由任何兩個有效的安全首要投資組合所生成,即存在兩基金分離現(xiàn)象;第四,對于給定的風(fēng)險(xiǎn)控制水平α,安全首要投資組合的均值—方差有效前沿與經(jīng)典的均值—方差模型有效前沿相同。

五、不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的安全首要投資組合策略

考慮到現(xiàn)實(shí)的基金管理中不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),所以顯然有約束X0≥0。類似的,模型(8)可以構(gòu)建不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的安全首要投資組合模型:

(15)

只考慮0<α<0.5情形,此時(shí)模型(15)是一個凸非線性規(guī)劃問題。根據(jù)Kuhn-Tucker條件模型(15)進(jìn)行求解,可以得到定理2與定理3。

安全首要準(zhǔn)則不像方差一樣局限在資產(chǎn)的波動性上, 還反映了資產(chǎn)損益的分布情況, 是一個更加綜合的指標(biāo)。因此安全首要準(zhǔn)則描述風(fēng)險(xiǎn)的思想更加適用于社?；鹜顿Y管理。*李仲飛,姚京:《安全第一準(zhǔn)則下的動態(tài)資產(chǎn)組合選擇》,系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2004年第1期,第41頁。不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要投資組合策略,與現(xiàn)實(shí)的社?；鹜顿Y管理要求更加接近,應(yīng)該能更好地指導(dǎo)社?；鸬耐顿Y活動,具體將另外撰文討論。

六、結(jié)論

本文的創(chuàng)新之處在于將三種經(jīng)典形式的安全首要投資組合選擇模型集成為一個安全控制條件下的多目標(biāo)優(yōu)化模型,并在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益服從橢球分布和不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的條件下,給出了求解最優(yōu)投資組合的方法與有效投資組合的顯式表達(dá)。雖然在相同的經(jīng)典假設(shè)下,安全首要投資組合的均值—方差有效前沿完全相同,但是改進(jìn)后的安全首要模型,其應(yīng)用背景和實(shí)際意義均有別于均值—方差模型,安全投資者選擇投資策略的步驟和操作過程也有別于均值—方差投資者。

另一方面,對于放寬模型假設(shè)條件的進(jìn)一步研究,無論是否具有新的發(fā)現(xiàn),對于理論或者實(shí)踐都具有一定的意義。

〔責(zé)任編輯：沈丹〕

·經(jīng)濟(jì)觀察·

Security-First Efficient Portfolio of Investment with a Riskless Asset

LIU Hui-hong, DING Yuan-yao

(NingBoUniversity,NingBo315211,China)

Abstract:Security-first principle puts emphasis on prevention from severe loss when it is applied in the selection of investment strategies. Currently the three classical security-first portfolio of investment have limitation. Based on classical security-first portfolio of investment models, the paper put forward an improved security-first portfolio of investment model with a riskless asset which is well adapted to management of investment of social security fund. It obtains the necessary and sufficient conditions for existing optimal security-first portfolios of the model, and then provides explicit expression of efficient portfolio strategies.

Key words:security-first; investment strategy; Riskless Asset; investment of social security fund

作者簡介：劉慧宏,男,博士,寧波大學(xué)商學(xué)院副教授;丁元耀,男,博士,寧波大學(xué)商學(xué)院教授。

基金項(xiàng)目：國家社科 “社?；鹜顿Y的市場風(fēng)險(xiǎn)防控對策研究”(12BGL029);浙江省自然科學(xué) “改進(jìn)的安全首要投資組合選擇理論研究”(LY12G01006)

收稿日期：2014-11-15

中圖分類號：F830.5;F832.4

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章分類號：1674-7089(2015)01-0027-08