李麗霞趙 麗周舒冬張 敏郜艷暉張巖波

群體異質(zhì)性研究的潛變量分析方法

李麗霞1趙 麗2周舒冬1張 敏1郜艷暉1張巖波3

社會學(xué)、心理學(xué)、醫(yī)學(xué)等研究領(lǐng)域常常關(guān)注群體的異質(zhì)性，異質(zhì)性有時是可觀測的，有時則不可見。由可觀測變量（也稱顯變量）定義的亞組，例如按照性別、血型等顯變量分組，此時每個觀測所屬的組別已知，群體異質(zhì)性可見，可采用多組比較的方法對數(shù)據(jù)進行分析。但有時基于多個社會人口等分組變量來解釋數(shù)據(jù)的異質(zhì)性是不可行或不充分的，常常會產(chǎn)生大量分組，導(dǎo)致結(jié)果解釋比較困難。實際研究中有些異質(zhì)性不能直接觀測到，即引起人群異質(zhì)性的變量或來源未知，每個觀測屬于哪個亞類是未知的，觀測屬于哪一個亞類需要從數(shù)據(jù)中推斷［1］。

異質(zhì)性在科學(xué)研究中普遍存在，現(xiàn)在很多預(yù)防和干預(yù)措施經(jīng)常在沒有考慮個體特征情況下實施，即沒有考慮人群中存在的異質(zhì)性，尤其是不可見的異質(zhì)性。不同特征的亞組對干預(yù)措施可能有不同的反應(yīng)，將一個大的異質(zhì)性群體分為多個小的同質(zhì)性人群，根據(jù)觀測的反應(yīng)模式找到風(fēng)險高的個體，針對小的同質(zhì)性人群實施不同的干預(yù)措施可以使效應(yīng)最大化，有針對性地進行干預(yù)具有非常重要的現(xiàn)實意義［2］。

傳統(tǒng)對不可見異質(zhì)性的探討主要采用系統(tǒng)聚類、動態(tài)聚類或等級聚類等方法，聚類分析屬于非參數(shù)方法，應(yīng)用時需定義觀測間距離和類間距離，而距離的定義有多種方法，如最長距離法、最短距離法、類平均法等，選擇距離計算的方法不同聚類結(jié)果可能有所不同，給使用者造成一定困擾。而且傳統(tǒng)聚類分析要求資料是具有相同測量尺度的定量變量，類內(nèi)方差相同等條件，該方法不能給出擬合統(tǒng)計量，結(jié)果不可重復(fù)，且與初始值有關(guān)，在實際應(yīng)用時這些條件往往很難滿足［3］。

近年來對不可見異質(zhì)性的研究逐漸成為醫(yī)學(xué)、社會學(xué)和心理學(xué)等領(lǐng)域的研究熱點，一系列分類潛變量的統(tǒng)計模型逐漸受到學(xué)者的關(guān)注，該類模型通過分類潛變量（categorical latent variable）來探測不能直接觀察到的異質(zhì)性，找到具有相似性個體所屬的潛在類別（latent class）實現(xiàn)分類。本文主要介紹潛在類別分析、潛在剖面分析、因子混合模型、增長曲線混合模型等潛變量分析方法。

潛在類別分析（latent class analysis，LCA）

LCA屬于混合模型（m ixture modeling）的范疇，是一種以“個體”為中心的方法，傳統(tǒng)的LCA要求基于分類的可測變量為分類變量，利用模型中的分類潛變量來解釋人群中的異質(zhì)性。該模型假設(shè)每個觀測僅屬于潛變量的c個類別中的某個類，通常需要滿足局部獨立性假設(shè)，即：給定潛變量的類別時顯變量間相互獨立，該假設(shè)意味著顯變量間的相關(guān)完全由不可測量的分類潛變量來解釋，顯變量之間沒有殘差的協(xié)方差［4］。

假設(shè)有N個觀測數(shù)據(jù)，則顯變量的聯(lián)合概率分布可表示為：

式（1）中，c為分類的潛變量，u1、u2、…ur為r維二分類顯變量，P（c＝k）為潛在類別概率，表示觀測屬于第k個類別的概率；P（ur｜c＝k）表示在類別k內(nèi)顯變量ur取值為某個水平的概率。當(dāng)某觀測的反應(yīng)模式為u1，u2，…，ur時，可以據(jù)式（2）計算其屬于某個類別的概率。

LCA中有兩種參數(shù)：潛在類別概率和顯變量的條件概率，潛在類別概率可描述群體在各個類別中的分布，顯變量的條件概率表示潛變量的本質(zhì)，類似于因子分析中的因子載荷，可反映顯變量和潛變量間的關(guān)聯(lián)，能使研究者識別潛在類別的結(jié)構(gòu)，并根據(jù)它們來對潛在類別命名。

LCA利用一個或多個分類的潛在變量來解釋多個外顯分類變量之間的復(fù)雜關(guān)聯(lián)，同時具有因子分析和聚類分析的功能，與傳統(tǒng)聚類方法相比，LCA在概率基礎(chǔ)上對人群進行分類，即個體以一定的概率歸屬于各個類別，最終將被分到后驗概率最高的那個類別，類別數(shù)的選擇標(biāo)準(zhǔn)不再主觀，不需要人為選擇分類的界值點，不需要變量滿足正態(tài)分布，尤其可以處理非線性關(guān)系，具有分類客觀、不受變量類型限制、無需標(biāo)準(zhǔn)化、同時可考慮協(xié)變量等優(yōu)點。近年來協(xié)變量的引入、局部獨立性假設(shè)的放松等方面的擴展拓寬了潛在類別模型應(yīng)用的領(lǐng)域。國外將其廣泛應(yīng)用于教育與心理測驗、社會心理調(diào)查、疾病診斷、人才測評等方面。例如，Muthen等利用17個二分類的測量反社會行為的題項將研究對象分為4類［5］；Sutfin等學(xué)者根據(jù)大學(xué)生過去一個月吸煙量、吸煙的頻數(shù)等指標(biāo)使用LCA將大學(xué)生的吸煙者分為5大類［6］；在臨床心理學(xué)方面，Xian等人用LCA對戒煙復(fù)吸人群進行分類，并研究復(fù)吸類型與精神疾病的關(guān)系［7］。

潛在剖面分析（latent profile analysis，LPA）

與LCA一樣，LPA假定潛變量為分類變量，不同之處在于LPA中可觀測變量為連續(xù)性變量，在潛變量指定的不同類別下顯變量的均值不同，同一類別內(nèi)個體間具有較小的變異，表現(xiàn)為較強的同質(zhì)性。

LPA滿足兩個基本假設(shè)：①在第k類潛在類別內(nèi)，可測變量Y來自獨立多元正態(tài)分布N（μk，∑k），∑k中協(xié)方差為0，類間方差可以相等，也可不等。②在潛變量條件下可測變量間相互獨立，即滿足局部獨立性［8］。

LCA和LPA都可探測人群中是否存在異質(zhì)性亞組，在不可見的異質(zhì)性群體中，顯變量間的關(guān)聯(lián)可由其背后共同的一個分類潛變量來解釋，與LCA一樣，LPA在醫(yī)學(xué)、心理、社會學(xué)等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。例如Schmiege等依據(jù)某隊列研究中2232例吸煙者的咳嗽、咳痰等6個呼吸道癥狀（按照嚴(yán)重程度記為1～6分）將吸煙者分為3個亞類，14%的個體屬于高癥狀組，41%的個體為低癥狀組，研究發(fā)現(xiàn)45%的個體咳嗽、咳痰得分高，而其他癥狀輕微，定義為“氣道清除癥狀組”，在臨床工作中識別這個發(fā)病比例較高的群體并施加有效的干預(yù)有重要意義，研究者同時也探討了性別、目前吸煙狀況等協(xié)變量對分類的影響［9］。

實際應(yīng)用時當(dāng)出現(xiàn)擬合LCA或LPA模型效果差而拒絕該模型時意味著局部獨立性假設(shè)不成立，此時可考慮以下替代方法：（1）放松局部獨立性的要求，在模型中增加一個或多個直接效應(yīng)參數(shù)來解釋外顯變量間的剩余關(guān)聯(lián)；（2）當(dāng)存在很多冗余變量時可在模型中去除1個或多個外顯變量；（3）當(dāng)群體異質(zhì)性由多個維度構(gòu)成時，可增加分類潛變量的數(shù)目，由多個分類潛變量支配顯變量，從多維度對人群進行分類，并且可進一步探討分類潛變量間的關(guān)聯(lián)，有著重要的學(xué)術(shù)應(yīng)用價值；（4）在每個亞類內(nèi)引入連續(xù)型潛變量，即用類內(nèi)因子來解釋類內(nèi)顯變量的剩余相關(guān)，稱為因子混合模型。

因子混合模型（factor m ixturemodeling，F(xiàn)MM）

傳統(tǒng)的因子分析假設(shè)樣本中的個體來自于同質(zhì)的研究總體，模型中公因子F為連續(xù)性潛變量，解釋可觀測變量間的相關(guān)性，探討潛在的構(gòu)念。FMM可以探測研究總體存在不可見異質(zhì)性的同時擬合潛在的因子結(jié)構(gòu)，近年來成為研究的熱點。

FMM屬于橫斷面混合分析的一種，該模型中同時含有連續(xù)性潛變量和分類潛變量，是因子分析和潛在類別模型的混合體，具有這兩種方法的優(yōu)勢。FMM中分類潛變量對觀測進行分類的同時，連續(xù)性的因子解釋類內(nèi)的異質(zhì)性，并且可以考慮測量誤差［10］。

LCA／LPA中要求條件獨立性，可測變量的相關(guān)完全被分類潛變量所解釋，但可觀測變量的相關(guān)不僅僅是由于類別的不同引起的，與LCA／LPA不同，F(xiàn)MM在每個亞類內(nèi)顯變量沒有被假設(shè)為相互獨立，類內(nèi)的顯變量被允許共變，類內(nèi)的變異用連續(xù)性潛在因子解釋，分類的潛變量擬合未觀察到的總體的異質(zhì)性，并通過潛在類別模型對觀測進行分類。FMM主要關(guān)注點是找到異質(zhì)性的亞類及類內(nèi)的潛在因子，可觀測變量的相關(guān)被分解為兩部分：類別的不同，類內(nèi)連續(xù)性因子不同。

假設(shè)含有k個潛在類別，顯變量為y1、y2、…yp，則FMM可表示為：

對于某一個亞類k，yik是觀測i的p維反應(yīng)模式，υk是測量截距，Λk是p×m維因子載荷矩陣，ηik為m維因子得分向量，εik為p維殘差向量，αk為m維因子均值向量，ζik為m維殘差向量，服從均值為0，方差為ψ的正態(tài)分布，協(xié)變量引起的異質(zhì)性也可以納入模型中。

根據(jù)是否滿足測量不變性（measurement invariance，MI）和所構(gòu)建模型中連續(xù)性潛變量的分布形式，Muthen等人將FMM分成四個分支，見圖1。其中c為分類的潛變量，f為連續(xù)性潛變量，y為可測變量。前兩個分支（FMM-1、FMM-2）滿足MI條件，強調(diào)因子分析方面；后兩個分支（FMM-3、FMM-4）不滿足MI，更強調(diào)模型在分類方面的作用。這里的測量不變性指異質(zhì)性的亞類內(nèi)因子載荷、截距、殘差的方差是否相等［11］。

FMM-1也稱為潛在類別因子分析模型（latent class factor analysis，LCFA），該模型中不同亞類內(nèi)因子的均值不同，可測變量的截距、因子載荷均相等，因子的方差協(xié)方差矩陣為0，表明沒有類內(nèi)的異質(zhì)性，圖2（a）的因子分布圖中，橫坐標(biāo)為4個亞類的4個因子得分，縱坐標(biāo)為因子得分的頻數(shù)。

圖1 FMM示意圖

圖2 （a） FMM-1中因子的分布

圖2 （b） FMM-2中兩個亞類的因子分布

FMM-2中不同的亞類有不同的因子均值αk，指向f的箭頭表明c不能解釋f的所有變異，仍存在不可解釋的類內(nèi)變異。圖2（b）顯示兩個亞類中公因子的均值和方差均不相同［12］。

FMM-3和FMM-4中分類潛變量c直接指向可測變量，或c指向f到y(tǒng)的虛線表明不同亞類內(nèi)測量參數(shù)、因子的方差等都不相同。

目前FMM在醫(yī)學(xué)、心理學(xué)等學(xué)科都有比較成功的應(yīng)用，例如，Clark等人將該模型成功用于行為障礙（conduct disorder，CD）的研究中，行為障礙的測量使用了13個二分類的題項，共調(diào)查了1786名兒童，研究者使用FMM-2模型擬合非正態(tài)分布的行為障礙因子時將受試對象分為兩類：無CD癥狀類和CD癥狀類，對研究對象分類的同時估計兩個亞類的行為障礙因子的得分均值和方差。Viroli等采用FMM對856例老年人進行認(rèn)知評價，最終將人群分為正常人、認(rèn)知功能損傷、老年癡呆癥3類，同時識別出4個維度的連續(xù)性潛在因子［12－13］。

結(jié)構(gòu)方程混合模型（structural equation m ixturemodel，SEMM）

SEMM是FMM的擴展，假設(shè)多變量分布是混合分布，對于某個潛在類別k，y服從正態(tài)分布N（μk，∑k），在每一個潛在亞類內(nèi)構(gòu)建潛在因子之間的回歸關(guān)系，不同的潛在類別中變量間的復(fù)雜關(guān)系不同，即亞類中的測量參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)不同。這樣既可以通過分類潛變量處理客觀存在但沒有觀察到的異質(zhì)性，處理數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布的情況，又可以分析連續(xù)潛變量間的關(guān)系［14］。其示意圖見圖3，ξ、η為連續(xù)性潛變量，c為分類潛變量，c指向ξ、η的箭頭表明ξ的均值和η的截距在不同的亞類不同，c指向ξ到η的虛線表明不同亞類中ξ與η之間的回歸系數(shù)不同［15］。擬合SEMMs時運算時間比較長，可能不收斂，可以先擬合限制較多的模型，然后逐步放松限制。

圖3 SEMM示意圖

SEMM在心理、社會、經(jīng)濟學(xué)等研究領(lǐng)域應(yīng)用前景巨大，例如Jedidi等采用SEMM研究消費者對某新食品喜好的影響因素，結(jié)果顯示：研究總體中存在兩個不可觀測的亞類：一類人群主要重視愉悅感，另一類則重視健康，兩個不同亞類中兩個知覺維度“甜味程度”和“口味的豐富感”對食品的喜好的影響是不同的（甜味程度、口味豐富感分別被兩個可觀測的顯變量測量）［16］。

增長混合模型（Grow th m ixturemodel，GMM）

傳統(tǒng)的增長曲線模型假設(shè)觀測來自同一個總體，因此擬合簡單的增長軌跡就能很好的反映指標(biāo)的變化趨勢，每個觀測的增長軌跡圍繞平均增長軌跡變動，而且假設(shè)影響增長因子的協(xié)變量以相同的方式影響每一個觀測。但很多情況下大樣本數(shù)據(jù)是存在異質(zhì)性的，GMM是近年來出現(xiàn)的探測增長軌跡異質(zhì)性的一種新的縱向數(shù)據(jù)分析技術(shù)，可以幫助研究者探討總體中是否存在增長軌跡不同的潛在亞組，容許不同亞組增長曲線的截距、斜率因子及其方差不同，且協(xié)變量對它們的影響也可以不同，這一點通過模型中的分類潛變量來實現(xiàn)，1999年Muthen等學(xué)者提出GMM模型，見式（4）。

其中Yt為重復(fù)觀測的結(jié)果變量，ηk0為截距增長因子，ηk1為斜率因子，εkt為測量誤差，k為不可觀測的亞組，αk0為第k類的截距因子的均值，αk1為第k類的斜率因子的均值，ζk0、ζk1分別為截距、斜率因子的殘差［17］。圖4為GMM示意圖，c表示潛在的分類變量。

假設(shè)同一亞類的所有觀測是同質(zhì)的，不存在變異，即每個潛在類別的增長因子的方差估計值為0，稱其為潛在類別增長曲線模型（latent class grow th analysis，LCGA），它是GMM模型的特例，在擬合GMM模型以前，研究者可以先擬合LCGA，探測數(shù)據(jù)是否存在不可觀測的亞類，此時模型也比較容易收斂［18］。對GMM模型擴展，考慮協(xié)變量和結(jié)局變量，見圖5，稱其為一般增長混合模型（general grow th mixture modeling，GGMM）。

圖4 GMM示意圖

圖5 GGMM示意圖

Muthen等采用GMM對美國公立學(xué)校7～10年級3102個學(xué)生4年的數(shù)學(xué)成績的隨訪資料進行分析，同時研究性別、種族、母親教育程度、學(xué)生有無輟學(xué)想法等協(xié)變量對增長軌跡的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)存在3個潛在亞類，20%的學(xué)生數(shù)學(xué)成績的增長較差，28%屬于中等情況，52%的比較好，并在模型中加入了輟學(xué)與否這個結(jié)局變量，構(gòu)建GGMM模型探討協(xié)變量、增長軌跡對輟學(xué)的影響，研究結(jié)果對于幫助教育工作者找到輟學(xué)的高風(fēng)險人群以早期施加干預(yù)具有重要的意義［17］。Walsh等對210例有高風(fēng)險性行為的男性給予干預(yù)措施后隨訪12個月，構(gòu)建GMM模型識別出兩個亞類增長軌跡不同，46%的受試對象（風(fēng)險減少組）在干預(yù)措施后，無保護的性行為次數(shù)減少，而54%的受試者（風(fēng)險持續(xù)組）在干預(yù)后仍然持續(xù)有高頻率的無保護性行為，為進一步研究風(fēng)險持續(xù)組的受試對象的特征并施加相應(yīng)的干預(yù)提供依據(jù)［19］。

潛在轉(zhuǎn)換分析（latent transition analysis，LTA）

LTA是潛在類別模型的縱向擴展，模型中含有兩個或以上的潛在分類變量，容許觀測隨著時間的變化在兩個分類的潛在類別變量的類別間轉(zhuǎn)換，見圖6，C1為t時間點的潛在分類，C2為t＋1時間點的潛在分類變量。在LTA中亞組稱為“潛在的狀態(tài)”（latent statuses），模型中有三種參數(shù)被估計：（1）在不同的時間點，觀測屬于某一個亞類的概率；（2）轉(zhuǎn)換概率：觀測從t時間點時的狀態(tài)轉(zhuǎn)為t＋1時間點時另一個狀態(tài)的概率；（3）項目反應(yīng)概率：類似因子分析中的因子載荷。LTA可以進行多組分析，其擴展模型可以包含協(xié)變量和結(jié)局變量，對模型的詳細(xì)描述見相關(guān)文獻［20］。

圖6 LTA示意圖

上述含有分類潛變量的模型都可看成有限混合模型的亞類，目前有限混合模型是探索研究總體中是否存在不可見異質(zhì)性的廣泛使用的數(shù)據(jù)分析技術(shù)，其主要作用是找到有相似反應(yīng)模式或增長軌跡的有意義亞組。LCA、LPA、FMM和SEMM屬于橫斷面混合模型，GMM、LTA屬于縱向混合模型，LPA和LCA僅包含一個分類潛變量，而FMM、GMM則包含一個分類潛變量和一個或多個連續(xù)型的潛變量，見表1。

表1 常見的混合模型特點

以上模型的參數(shù)估計方法有多種，常用的有EM算法和牛頓—拉普森法，其中EM算法目前被廣泛地應(yīng)用，其優(yōu)點是不受初始值選擇的影響，具有穩(wěn)健性，缺點是迭代次數(shù)較多，且不提供標(biāo)準(zhǔn)誤的估計。Ver-munt建議將EM和NR算法結(jié)合使用，這樣同時兼顧了EM算法的穩(wěn)健性和NR算法速度快的優(yōu)點。混合分布經(jīng)常存在多個局部最大值，當(dāng)潛在亞類比較多時，往往會遇到不收斂的問題，可以重復(fù)多個隨機的初始值。Monte Carlo模擬研究也表明樣本量、參數(shù)個數(shù)、潛在類的分離程度等都對模型的擬合結(jié)果有影響。

混合模型應(yīng)用中最關(guān)鍵的問題是解決如何確定研究總體中包含的不可觀測的亞組數(shù)，即是否真的存在潛在的類別，Bauer等警告亞組的存在可能僅僅是因為數(shù)據(jù)呈偏態(tài)或非正態(tài)分布導(dǎo)致，每一個亞組并沒有實際意義，可能會產(chǎn)生過度提取亞類的情況［21］。潛在類別數(shù)的確定對于結(jié)果解釋和統(tǒng)計推斷至關(guān)重要，一般采用AIC、BIC、aBIC等信息統(tǒng)計量指標(biāo)對模型進行評價，許多模擬研究表明BIC是比較好的模型選擇指標(biāo)（BIC取值越小表明所選模型較優(yōu)）。2001年Lo，Mendell，Rubin等學(xué)者提出了基于似然比為基礎(chǔ)的比較類和類模型的Lo-Mendell-Rubin似然比檢驗（LMR LRT），值小表明含類的模型較優(yōu)。2002年Muthen等人提出SK檢驗（skewness and kurtosis test）作為LMR LRT的一個補充。Bootstrap似然比檢驗（BLRT）也是目前用的比較多的一個方法，值小表明含類的模型較優(yōu)。模型的分類質(zhì)量可通過熵（Entropy）進行評價，取值在0到1之間，越接近1表明分類越明確。模型的選擇同時要結(jié)合理論知識、前人的研究結(jié)果及其它的輔助信息，最終的目的是選擇最佳模型，捕捉到有實際意義的亞組。

近年來由于計算機技術(shù)的快速發(fā)展，分類潛變量模型的應(yīng)用變得越來越廣泛，但目前國內(nèi)使用FMM、GMM等分類潛變量模型探討數(shù)據(jù)異質(zhì)性的應(yīng)用尚未見報道，本文旨在通過對該類方法的介紹推動其在實際數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用，為分類潛變量方法在研究工作中的正確選擇和應(yīng)用提供有意義的參考和指引。

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（責(zé)任編輯：郭海強）

廣東省科技廳社會發(fā)展領(lǐng)域科技計劃項目（2013B021800269）；國家自然科學(xué)基金（30972553）

1．廣東藥學(xué)院公共衛(wèi)生學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室，廣東省分子流行病學(xué)重點實驗室

2．普瑞盛醫(yī)藥科技開發(fā)有限公司

3．山西醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室