朱偉英

【摘 要】每年中考結(jié)束，筆者總喜歡看看自己本市的數(shù)學(xué)中考題，以便把握自己以后數(shù)學(xué)教學(xué)方向及研究?jī)?nèi)容。去年（2014年）寧波市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)數(shù)學(xué)試卷中的第18題引起了筆者對(duì)自己數(shù)學(xué)教學(xué)的深思。

【關(guān)鍵詞】中考題;引發(fā);教學(xué)反思;類(lèi)比;基本套路

1.題目及解答過(guò)程

題目：如圖1，半徑為6cm的⊙O中，C、D為直徑AB上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連接AE、BF，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積為_(kāi)_____cm2。

解：如圖2作△DBF的軸對(duì)稱(chēng)圖形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的軸對(duì)稱(chēng)圖形△HAG，由于C、D為直徑AB的三等分點(diǎn)，則H與點(diǎn)C重合。

∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三點(diǎn)共線，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴ = = 。在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=OCsin∠OCN= .OC，∵OC= OA=2，∴ON= ，∴AM=2 ?！逴N⊥GE，

∴NE=GN= GE。連接OE，在Rt△ONE中，NE= = = ，

∴GE=2NE=2 ，∴S△AGE= GE·AM= ×2 ×2 =6 ，∴圖中兩個(gè)陰影部分的面積為6 ，故答案為：6 。

2.題目考點(diǎn)剖析

本題設(shè)計(jì)新穎，頗具創(chuàng)意。以三角形和圓作為基本圖形，在簡(jiǎn)單圖形中設(shè)計(jì)了極富內(nèi)涵的數(shù)學(xué)問(wèn)題。靈活運(yùn)用了圓的軸對(duì)稱(chēng)性，通過(guò)翻折使兩塊三角形面積合二為一。讓靜止的圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，是解決此題的突破口。然后把求三角形的底轉(zhuǎn)化為求弦問(wèn)題，考查了圓中重要的垂徑定理。數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想立竿見(jiàn)影。除此之外，本題還考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形及勾股定理。本題綜合性強(qiáng)，突出考查考生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3.教學(xué)反思

3.1注重幾何問(wèn)題的“基本套路”的教學(xué)

數(shù)學(xué)教育的作用主要體現(xiàn)在開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，鍛煉學(xué)生的邏輯思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的基本方法，從而提高推理能力，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)造力。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的基本途徑就是使學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本方法的同時(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題。而要達(dá)到這一點(diǎn)，必須把握數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的“基本套路”。解決幾何問(wèn)題的一個(gè)“基本套路”就是：首先要認(rèn)真分析條件，而分析條件就是將條件與相關(guān)的“基本圖形”結(jié)合起來(lái)，利用這個(gè)“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論。有時(shí)圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”，這時(shí)還需聯(lián)想相關(guān)知識(shí)作輔助線構(gòu)造出相關(guān)的“基本圖形”，再利用這個(gè)“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。本題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)和解決幾何問(wèn)題的一個(gè)“基本套路”：雖然沒(méi)有一目了然的“基本圖形”，但只要利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性，馬上可以轉(zhuǎn)化為平時(shí)常見(jiàn)的一個(gè)“基本圖形”，接著就是探究圓中的弦及三角形的有關(guān)性質(zhì)，問(wèn)題進(jìn)行了很合理化的遷移。因此平時(shí)教學(xué)中注重“套路”，構(gòu)造出“問(wèn)題遷移”的“基本圖形”，能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體認(rèn)識(shí)及研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和形成解決問(wèn)題的一些基本策略的能力。

3.2注重幾何習(xí)題的類(lèi)比、變式和拓展

許多幾何圖形都有相同的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)念?lèi)比，在某些圖形上可得相同的結(jié)論。通過(guò)對(duì)幾何圖形的變形，能進(jìn)一步加深對(duì)基本圖形的理解，還可以了解這些圖形之間的相互關(guān)系，從而找出其本質(zhì)規(guī)律。變式教學(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，變更概念非本質(zhì)的特征，變更問(wèn)題的條件或結(jié)論;轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容;創(chuàng)設(shè)實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，是概念或本質(zhì)不變的一種教學(xué)方式。數(shù)學(xué)變式的研究能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的質(zhì)疑、多思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高類(lèi)比推理的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。比如教師在分析這道中考題時(shí)，可以先鋪設(shè)這樣一道題：

1.如圖，P為直徑AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M和N在⊙O上，且∠APM=∠NPB=30°。若OP=2cm，AB=16cm，則PN+PM=_______cm。

分析：利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性，找出M點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1，可得M1，P，N三點(diǎn)共線，然后求PN+PM轉(zhuǎn)化為求弦M1N，于是用垂徑定理，在半弦、半徑、弦心距構(gòu)成的直角三角形中解決此題。

接著安排一道變式：

2.如圖，已知⊙O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為弧AB上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=_____。

分析：利用圓的中心對(duì)稱(chēng)性，可延長(zhǎng)ME交⊙O于點(diǎn)M1，則M1E=FN，于是求EM+FN轉(zhuǎn)化為求弦M1M。接下來(lái)解法同上題。

最后再搬出這道中考題。由于上兩題的變式教學(xué)，讓學(xué)生已潛移默化地掌握了這類(lèi)題型的內(nèi)在規(guī)律。就是先利用圓的對(duì)稱(chēng)性，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與條件匹配的“基本圖形”，然后利用“基本圖形”的有關(guān)性質(zhì)解決。有了上兩題的鋪墊，學(xué)生在處理這道綜合性較強(qiáng)的題目時(shí)，也會(huì)得心應(yīng)手。利用變式教學(xué)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多角度，多方位、多層次的討論和思考，能幫助學(xué)生打通關(guān)節(jié)，展示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使所有知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，使思維在所學(xué)知識(shí)中游刃有余、順暢飛翔。因此，平時(shí)注重幾何習(xí)題的類(lèi)比、變式和拓展，不僅能使學(xué)生輕而易舉地掌握各種各樣的題型，而且能擺脫思維的僵化、刻板、呆滯，克服思維定勢(shì)的消極影響，使學(xué)生思維敏捷，思路開(kāi)闊，想象豐富，從而提高教與學(xué)的效率，更重要的是為學(xué)生今后成為創(chuàng)造性人才奠定了良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：浙江省寧波市春曉中學(xué)）