鐘蒙川
【摘 要】在初中數(shù)學的學習中,我們會遇到許多具有規(guī)律性的問題,這些問題采用什么樣的解法才能更容易的解答,是我們研究的重點與難點。為了幫助大家更好的理解和解決規(guī)律性問題,本文在結(jié)合自身教學經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,通過對初中數(shù)學規(guī)律性問題的分類,探索其中的解題方法。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;規(guī)律;解法
初中規(guī)律性問題多數(shù)指的是高中的數(shù)列問題。高中學生對數(shù)列都感到頭疼,更別說初中學生了。以下我就其特點歸納為幾種常見的類型并以求某一項為例談?wù)勄蠼夥椒ā?/p>
(1)等差型
等差型是指數(shù)據(jù)從第二個數(shù)(項)起,每一個數(shù)(項)與它前面的數(shù)(項)的差等于一個常數(shù),故為等差型(或等差數(shù)列),等差型的每一個數(shù)(項)都可以寫成這個常數(shù)的倍數(shù)的加減。
例1、某餐廳中,一張桌子可坐6人,有以下兩種擺放方式:當有n張桌子時,兩種擺法各坐多少人?
分析:數(shù)字化后第一種的數(shù)據(jù)為:6,10,14,……屬等差型,常數(shù)為4,則可得4n+2。
第二種的數(shù)據(jù)為:6,8,10,……屬等差型,常數(shù)為2,則可得2n+4。
(2)等比型
等比型是指數(shù)據(jù)從第二個數(shù)(項)起,每一個數(shù)(項)與它前面的數(shù)(項)的比等于一個常數(shù),故為等比型(或等比數(shù)列),等比型的每一項都可以寫成這個常數(shù)的乘方的乘積。
例2、如圖是一幅“蘋果排列圖”,第一行有1個蘋果,第二行有2個,第三行有4個,第四行有8個,…第n行有_____個蘋果。
分析:數(shù)字化得數(shù)據(jù):1,2,4,8,……
顯然是等比型,常數(shù)為2,
則可得第n項為2n-1。
(3)乘方型
乘方型一般數(shù)據(jù)都是平方數(shù)。若以圖形出現(xiàn),要求學生對圖形進行觀察分析,將規(guī)律數(shù)字化后,進行合理的分析就可以得到。
例3、已知下列一組數(shù):1,,,,……;用代數(shù)式表示第n個數(shù),則第n個數(shù)是________。
分析:從分子看是連續(xù)奇數(shù)(等差型常數(shù)為2),分母則為平方數(shù),則第n項為。
(4)周期型
周期型的數(shù)據(jù)常常是要通過計算方可得出數(shù)據(jù),數(shù)字化后,數(shù)據(jù)每隔一定的數(shù)字后數(shù)據(jù)就循環(huán),這些數(shù)字的個數(shù)就是周期,再利用周期分析就可以得到。
例4、如圖,給正五邊形的頂點依次編號為1,2,3,4,5。若從某一頂點開始,沿正五邊形的邊順時針行走,頂點編號的數(shù)字是幾,就走幾個邊長,則稱這種走法為一次“移位”如:小宇在編號為3的頂點時,那么他應(yīng)走3個邊長,即從3→4→5→1為第一次“移位”,這時他到達編號為1的頂點;然后從1→2為第二次“移位”。若小宇從編號為2的頂點開始,第10次“移位”后,則他所處頂點的編號是____________。
分析:結(jié)合題意數(shù)字化得:4,3,1,2,4,3,……
觀察知道周期是4,第10次位移是兩個周期后又兩次位移,則為3。
(5)裂變型
若將規(guī)律數(shù)字化后按照以上幾種類型均無法解決,就可以考慮對數(shù)據(jù)進行裂變(拆分),然后對裂變所得數(shù)據(jù)再分析。一次裂變不行可再進行第二次裂變。一般裂變?yōu)楹筒钚问交蚍e的形式的題型較多。
例5、如圖,用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形,則擺第n個圖形需要圍棋子的枚數(shù)為_____。
分析:此題無論從圖或數(shù)字化后觀看都可以看出只需將每項減去1,就變成乘方型。
數(shù)字化后為:2,5,10,17,……,裂變?yōu)?+1,4+1,9+1,16+1,……
則答案為n2+1。
(6)復合型
復合型數(shù)據(jù)中融合了幾種類型的數(shù)據(jù)。復合型一般常以分式或等式形式出現(xiàn),因此既要考慮分子又考慮分母或既要尋找等號左邊的規(guī)律又要尋找等號右邊的規(guī)律。
例6、觀察下列等式:
第一行 ? 3=4-1
第二行 ? 5=9-4
第三行 ? 7=16-9
… ? ? …
按照上述規(guī)律,第n行的等式為______。
分析:等號左邊是等差型,常數(shù)為2,第n項為2n+1,等號右邊是兩個乘方型,第n項為(n+1)2-n2。故第n項為2n+1=(n+1)2-n2。
總之,規(guī)律性問題的求解的關(guān)鍵是找出他們內(nèi)在的變化規(guī)律,然后結(jié)合其所屬類型進行猜想,對猜想的結(jié)果再進行驗證,從而得出答案。事實上我們把握了每一項的變化特點,解起來就方便多了也就不會頭疼了。
【參考文獻】
[1]房延華.探索規(guī)律性問題解析[J].數(shù)學探索.2004(10)
[2]周銀.例說規(guī)律性問題[J].初中數(shù)學教與學.2010(23)
(作者單位:四川省達州市達川區(qū)城南學校)