榮彩云

【摘 要】數(shù)學(xué)中的不等式是一個(gè)比較常用的解題方法，同時(shí)運(yùn)用不等式也是種簡(jiǎn)便的解題方法，但運(yùn)用不等式卻是一種技巧，想要熟練的掌握不等式的應(yīng)用就要多思考、多總結(jié)，本文列舉了數(shù)學(xué)中常用的不等式，并通過(guò)幾個(gè)例子對(duì)不等式的運(yùn)用進(jìn)行了說(shuō)明。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；不等式；證明

在數(shù)學(xué)中，不等式不僅僅是一個(gè)重要并且有效的工具，也是數(shù)學(xué)中重要的研究對(duì)象。在許多證明和分析的過(guò)程中充分的體現(xiàn)了不等式的靈活性和巧妙性，例如在解決三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題、求函數(shù)最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比較復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。也正因?yàn)椴坏仁降倪@種多變性，使得不等式在證明過(guò)程中不只有一種形式，只有正確的掌握了不等式的運(yùn)用方法才能使解題更簡(jiǎn)單。算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)及均值定理是不等式這章的難點(diǎn)，如何靈活應(yīng)用則是難點(diǎn)，本文通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明不等式在證明過(guò)程中的運(yùn)用。

一、均值定理的三個(gè)條件

用均值定理解題時(shí)，必須具備“一正二定三等”三個(gè)條件。函數(shù)式中，各項(xiàng)必須都是正數(shù)。

例如：，不能錯(cuò)誤地認(rèn)為成立，這是因?yàn)闆](méi)有這一條件。

函數(shù)式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，若不是定值，必須進(jìn)行變形使之變?yōu)槎ㄖ担@也就是靈活應(yīng)用均值定理這一難點(diǎn)（下文作詳細(xì)講解）利用均值定理求最值時(shí)，必須能取到等號(hào)。

二、靈活應(yīng)用均值定理

利用均值定理求最值主要考察三個(gè)條件中的“二定”，即通過(guò)變形達(dá)到和或積為定值。

例1：求的最小值。

【分析】因?yàn)閤2與的積不是定值，故把x2變?yōu)閤2+1。

解：=

當(dāng)且僅當(dāng)即x=±1時(shí)等號(hào)成立?！喈?dāng)x=±1時(shí)，xmin=1

【點(diǎn)評(píng)】在利用積定，求和的最值時(shí)，要注意怎樣“湊”出積的定值這一過(guò)程。

三、均值不等式征服生活難題

1.應(yīng)用均值不等式解決度量類問(wèn)題

例1：一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各位多少時(shí)，菜園的面積最大？最大的面積是多少？

解：設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則平行于墻的一邊為（36-2x）m，其中0

S=x·（36-2x）

當(dāng)且僅當(dāng)2x=36-2x，即x=9時(shí)菜園面積最大，即菜園平行于墻的一邊為18m，垂直于墻的一邊為9m時(shí)，菜園面積最大值為162m2。

2.應(yīng)用均值不等式解決造價(jià)費(fèi)用問(wèn)題

例1：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元？

解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，則另一邊的長(zhǎng)度為，又設(shè)水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得：

當(dāng)，即=40時(shí)，l有最小值。因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元。本題利用這個(gè)不等式，簡(jiǎn)潔方便，清晰明了。

3.應(yīng)用均值不等式處理決策判斷類問(wèn)題

例1：某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價(jià)格1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天0.03元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元，假設(shè)養(yǎng)殖場(chǎng)每次均在用完飼料的當(dāng)天購(gòu)買。

（1）求該養(yǎng)殖場(chǎng)每多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最??；

（2）若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于5噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠（即原價(jià)的85%）.問(wèn)該養(yǎng)殖場(chǎng)是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)每x（x∈N*）天購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y1元.因?yàn)轱暳系谋９芘c其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03=6（元），所以x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是：6x+6（x-1）+…+6=3x2+3x（元），從而有，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=10時(shí)，y1有最小值。每10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最小。

（2）若該養(yǎng)殖場(chǎng)利用此優(yōu)惠條件，則至少每25天購(gòu)買一次飼料，設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)利用此優(yōu)惠條件，每x天（x≥25）購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則：

，

因此。所以當(dāng)x≥25時(shí)，y'>0，即函數(shù)y2在（25，+∞]上是增函數(shù).所以當(dāng)x=25時(shí)，y2取得最小值為396，而396<423。因此該養(yǎng)殖場(chǎng)應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件。

通過(guò)以上的例題，我們不難發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中的應(yīng)用只要是和定積大與積定和小兩方面的應(yīng)用，在這其中，又摻雜了二元均值不等式與三元均值不等式在生活中的應(yīng)用.我們已經(jīng)應(yīng)用均值不等式解決一系列問(wèn)題，但是均值不等式形式眾多，變化多樣，只要我們善于思考，必將發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中有更多更廣的應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃文.例說(shuō)均值不等式的應(yīng)用.數(shù)學(xué)大世界（高中版），2005，12.40-41頁(yè)

[2]鄭傳枝.用均值不等式判斷生活中的幾個(gè)問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005，2.44-45頁(yè)

[3]田祥高.教材動(dòng)態(tài)全解（高二數(shù)學(xué)）.第二版.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2006年