李揚

摘 要：由于中學數(shù)學最值問題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各數(shù)學學科之中，且與生產(chǎn)實際聯(lián)系密切，同時它又是進一步學習高等數(shù)學中最值問題的基礎(chǔ)。因此，最值問題歷來是各類考試的熱點，其中三角函數(shù)的最值問題是函數(shù)最值和幾何最值的重要組成部分，本文淺析三角函數(shù)中最值問題的應用，讓學生以及讀者對最值問題在代數(shù)及幾何問題中的解決方法有個總體的認識，并為學生以后的學習打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：最值問題；三角函數(shù)；解法總結(jié)；系統(tǒng)分析

一、三角函數(shù)最值問題的題型歸納及解法策略

在現(xiàn)階段中學數(shù)學三角函數(shù)最值問題中，題目給出的三角關(guān)系式往往比較復雜，進行化簡后，再進行歸納，主要有以下6種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)最值問題都可以解決。

1.y=asinx+bcosx型的函數(shù)

這樣的函數(shù)是我們經(jīng)常遇到的，對于這樣的題型處理思想應該引入輔助角，化為y=sin（x+），利用函數(shù)即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類，下面介紹一道實例來體會感受其中的方法。

例1 已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值時相應的x的值；

（3）若當x∈[，]時，f（x）的反函數(shù)為f-1（x），求f--1（1）的值.

從上面這道例題可以清晰地看出，這一類的三角函數(shù)的最值求解中運用的基本的方

法是“利用輔助角法”，將較復雜的三角式轉(zhuǎn)化成“Asin（）” 的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時，也應對自變量的取值范圍要仔細地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù)

這樣的函數(shù)題型看上去很長，也很復雜，但是其中有一定的規(guī)律，通過下面這樣一個實例，你會發(fā)現(xiàn)它其中的玄機。處理方式是降冪，再化為“Asin（）”的形式來解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)

在三角函數(shù)的題型中，這題型是比較常見的，經(jīng)常和其它函數(shù)一起應用，特別是出現(xiàn)在“存在”問題中，對于這類題型的處理方式是應用sin2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來求解。下面通過一道例題來體會這方法。

例3 是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a-在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.

分析：

這道題就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，只是其自變量變?yōu)閏osx。值得注意的是在運用這個方法前，首先要將引用三角比之間的轉(zhuǎn)換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。在題目條件沒有給你限制條件時，任何一種那個情況都應該作分類討論，當然要結(jié)合已有的法則和三角函數(shù)相關(guān)的公式，及三角函數(shù)隱藏的條件，這樣才能做到解題全面。

綜合上述知，存在符合題設(shè)。

4. y=型的函數(shù)

這是一個分數(shù)形式的求三角函數(shù)最值的題型，往往出現(xiàn)在需要轉(zhuǎn)化思想的綜合題目中，下面介紹這個例題，讓同學有直觀感覺。

例4求函數(shù)y=的最大值和最小值。

對于這一類題型，分子、分母只有常數(shù)項不同的三角函數(shù)式，便可以在分子中添置輔助項后，通過恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數(shù)式，只需研究分母的最值，就能求出原函數(shù)的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時，這個“翻下去”的式子不能為零，如果這個式子可能為零，則應將為零的情況另作處理?！霸O(shè)其不為零的”情況下繼續(xù)解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來考慮最值。

5.y=sinxcos2x型的函數(shù)

這樣的三角函數(shù)題型有一定的難度，并且有的題目角和函數(shù)很難統(tǒng)一，還會出現(xiàn)次數(shù)太高的問題，這是關(guān)于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中數(shù)學中涉及三次函數(shù)的最值問題，幾乎都用均值不等式來求解。但需要注意是否符合應用的條件及等號是否能取得。下面介紹一個實例來體會均值不等式的方法。

例5 在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？

6.含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式

在這樣混合的函數(shù)式中，也是經(jīng)常會遇到的，對于含有sinx±cosx，sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t，，將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。通過下面這個例題了解這樣的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函數(shù)y=cos（sinx）的值域

結(jié)合如圖1 所示：y=cos（sinx）的圖像，知cos1=cos（-1）<1，cos0=1

例8 如圖2：ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場的最大值與最小值。

解：如圖2，連結(jié)AP，設(shè)，延長RP交AB于M，

則，，故矩形PQCR的面積

設(shè)，

，故當時，

當時，

例9 如圖3所示，一個摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20秒轉(zhuǎn)一圈，且當摩天輪上某人經(jīng)過點P處（點P與摩天輪中心O高度相同）時開始計時，

（1） 求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間此人相對于地面的高度不超過10米。

解：（1）以O(shè)為坐標原點，以O(shè)P所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)摩天輪上某人在Q處，則在t秒內(nèi)OQ轉(zhuǎn)過的角為，所以t秒時，Q點的縱坐標為，故在t秒時此人相對于地面的高度為（米）

（2）令，則

Fig 2-4 Example 9 here

二、對三角函數(shù)最值問題的小結(jié)

1.求三角函數(shù)最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；

（2）化同角函數(shù)法（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；

（3）數(shù)形結(jié)合法（常用到直線的斜率關(guān)系）；

（4）換元法（如萬能公式，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之類的情如運用均值不等式等）；

（6）降冪法（主要利用三角函數(shù)的基本公式和定義）。

2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)所給出的區(qū)間：

（1）求三角函數(shù)最值時，一般要進行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性。

（2）含參數(shù)函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響。

（3）在涉及到綜合實際生產(chǎn)并運用基本不等式法解最值問題時，需要注意所得結(jié)果是否符合實際情況及等號是否取得到。

3.如“表1求解三角函數(shù)最值的常用方法”是個人對以上題型及解法的總結(jié)。

表1 求解三角函數(shù)最值的常用方法

參考文獻：

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