葉旭丹

摘 要：文章主要研究了數(shù)形結(jié)合思想方法在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；創(chuàng)新精神；觸類(lèi)旁通

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2015）33-0073-02

一、引言

可以說(shuō)數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，在七年級(jí)學(xué)習(xí)的數(shù)軸與實(shí)數(shù)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系中，學(xué)生初步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想方法；在八九年級(jí)的反比例及一二次函數(shù)的學(xué)習(xí)及運(yùn)用函數(shù)的思想求方程的解、求不等式的解集中，學(xué)生初步理解了數(shù)形結(jié)合的思想方法；在高中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)它有了進(jìn)一步的理解；在解析幾何的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生深刻體會(huì)其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，反過(guò)來(lái)用圖形去解決代數(shù)中的問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。

二、數(shù)形結(jié)合思想的含義、表現(xiàn)形式

（1）數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)中的精髓之一。只有重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，才能學(xué)會(huì)活用知識(shí)，達(dá)到促進(jìn)遷移的效果；思想要以知識(shí)為載體，知識(shí)要以思想為活化劑，知識(shí)要通過(guò)思想去理解、去激化、去構(gòu)建，沒(méi)有思想，知識(shí)是空洞的，沒(méi)有活力的，也是沒(méi)有意義的。然而令人遺憾的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，很多教師并沒(méi)有對(duì)思想方法的重要性引起足夠的重視，還是傳統(tǒng)的教學(xué)思想，注重對(duì)知識(shí)的傳授，而忽視了知識(shí)發(fā)生過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的滲透，導(dǎo)致一些學(xué)生對(duì)知識(shí)無(wú)法舉一反三、觸類(lèi)旁通。由此可見(jiàn)，做好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可以讓學(xué)生輕松快樂(lè)地學(xué)好數(shù)學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)的能力，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。中學(xué)數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著很多的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)換化歸思想、分類(lèi)討論思想、方程與函數(shù)思想、類(lèi)比聯(lián)想思想、集合思想、歸納推理思想、抽象概括思想等，抓住突出這些基本思想，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和精髓。

（2）“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的兩大基本概念，然而它們之間又是相輔相成的。著名數(shù)學(xué)大師華羅庚先生寫(xiě)了一首詩(shī)： 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日認(rèn)為，只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄；但當(dāng)兩門(mén)科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，就可以快速的步伐走向完善。這里的“數(shù)”是指數(shù)量關(guān)系，“形”是指空間形式。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的概念。數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法都是圍繞對(duì)這兩個(gè)概念的提煉、演變、發(fā)展而展開(kāi)的。數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，形與數(shù)常常是結(jié)合在一起的，內(nèi)容上相互滲透的，方法上相互聯(lián)系，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)學(xué)史表明，早在數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期，人們計(jì)算長(zhǎng)度、面積、體積，就把數(shù)與形聯(lián)系在一起了。我國(guó)從北宋到元代前期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)引入坐標(biāo)系，建立了數(shù)與形的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。之后，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期沒(méi)有解決的問(wèn)題，如著名的尺規(guī)作圖中的“立方倍積”“化圖為方”“三等分已知角”等三大問(wèn)題，最終都借助于代數(shù)方法得到徹底解決。在我們的解題中，也有過(guò)這樣的體會(huì)，有些代數(shù)題用圖解法助解，常使人頓開(kāi)茅塞，突破常規(guī)思維，使思維進(jìn)入新的境界。有些平面幾何題，利用數(shù)量表示線(xiàn)段或角的大小后，可以巧妙地在紛繁的頭緒中辟出捷徑，收到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合還可以使形象思維與抽象思維協(xié)同作用，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，化難為易。

（3）數(shù)形結(jié)合的途徑。1）轉(zhuǎn)化。在遇到抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題感到酥手無(wú)策時(shí)，我們可以嘗試涉及概念的圖像表示，探索數(shù)量關(guān)系賦予的幾何特征，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題背后隱含的幾何意義，用直觀形象支撐抽象思維。如|x-a|?b的幾何意義是數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)x和a所表示的點(diǎn)之間的距離小于等于b，而當(dāng)x表示變數(shù)時(shí)，則表示數(shù)軸上到的a點(diǎn)的距離小于或等于b的動(dòng)點(diǎn)的全體。

【典型例題】：例1：求方程sinx=lgx實(shí)解的個(gè)數(shù)。

分析：由于此題是一個(gè)超越方程，若用常規(guī)代數(shù)解方程的方法，顯然難于解答，但只要把y=sinx和y=lgx的圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)系中，原方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，答案一目了然。說(shuō)明：本題充分利用了“數(shù)”背后“形”的特征，采用數(shù)形結(jié)合的解題策略。由本題可見(jiàn)，涉及超越方程問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)圖像是一個(gè)?？蓢L試的念頭。

2）構(gòu)造。數(shù)形結(jié)合的思想方法，除了通過(guò)轉(zhuǎn)化，把符號(hào)語(yǔ)言“翻譯”為圖像語(yǔ)言，尋求問(wèn)題背后的幾何意義外，另一種重要途徑是探求問(wèn)題隱含的幾何模型，這就是構(gòu)造。如自然會(huì)聯(lián)想到平面內(nèi)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)的距離。

典型例題：例2：已知a，b，cR+，求證：++?（a+b+c）。

證明：如圖，構(gòu)造邊長(zhǎng)分別為（a+b+c），（b+c+a）型正方形，那么AB=，BC=，CD=，得++=AB+BC+CD，在等腰RtΔAPD：AD2=（a+b+c）2+（a+b+c）2，故AD=（a+b+c）。根據(jù)AB+BC+CDAD，所以原不等式成立。

例3：已知：α+β+γ=180°，且α，β，γ均為銳角。求證：sinα+sinβ+sinγ>。

證明：根據(jù)題設(shè)條件可構(gòu)造銳角三角形ABC，使∠A=α，∠B=β，∠C=γ。

設(shè)O是△ABC外心，R為外接圓半徑，由于△ABC為銳角三角形，故點(diǎn)O必在△ABC內(nèi)，從而a+b+c>3R。

由正弦定理知：a=2Rsinα，b=2Rsinβ，c=2Rsinγ，∴sinα+sinβ+sinγ>。

說(shuō)明：此題把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中三角形中的邊角關(guān)系問(wèn)題，使解此問(wèn)題簡(jiǎn)單易行。

3）坐標(biāo)法。坐標(biāo)系的建立是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，能使初等數(shù)學(xué)進(jìn)入數(shù)形結(jié)合階段，并在兩個(gè)相反方向上進(jìn)行應(yīng)用：一方面把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)結(jié)論獲得幾何結(jié)論；另一方面也可以把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，通過(guò)幾何結(jié)論獲得代數(shù)結(jié)論。

例4：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，則z=y+2x的最大值等于多少？

分析：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線(xiàn)z=2x+y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，從而得到z最大值即可。

解：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x+y，最大值為y軸上的截距的最大值，當(dāng)直線(xiàn)z=2x+y經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B（1，2）時(shí)，z最大，最大值為4。故答案為：4。

說(shuō)明：本題主要通過(guò)建立坐標(biāo)系，運(yùn)用平面區(qū)域來(lái)表示二元一次不等式組，通過(guò)圖像獲得目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題。

三、結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中要貫徹?cái)?shù)形結(jié)合的教學(xué)原則，以形數(shù)結(jié)合的觀點(diǎn)深入專(zhuān)研教材，理解數(shù)學(xué)中的有關(guān)概念、公式和法則，掌握形數(shù)結(jié)合進(jìn)行分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思想方法。

參考文獻(xiàn)：

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