☉北京理工大學(xué)附屬中學(xué)何拓程工作室 王洪希

實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布問題探微
——兼談主元法

☉北京理工大學(xué)附屬中學(xué)何拓程工作室 王洪希

一、問題的提出

眾所周知，實(shí)系數(shù)二次方程實(shí)根分布的理論，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，以及數(shù)形結(jié)合的方法，在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)有著十分廣泛的應(yīng)用，應(yīng)引起大家的普遍重視.那么實(shí)系數(shù)一次方程，它的實(shí)根分布問題，有哪些結(jié)論呢？這些結(jié)論的理論基礎(chǔ)是什么？在教學(xué)過程中又有哪些作用？本文就此作一點(diǎn)探討，供大家參考.

二、實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的內(nèi)容

定理1：設(shè)有實(shí)系數(shù)一次方程f（x）=ax+b=0（a≠0），m、n∈R且m＜n，運(yùn)用一次函數(shù)的圖像及其單調(diào)性，易知：方程f（x）=0在區(qū)間［m，n］上有解的充要條件是f（m）f（n）≤0.

特例：（1）方程f（x）=0在區(qū)間（-∞，n］上有解的充要條件是af（m）≥0；

（2）方程f（x）=0在區(qū)間［n，+∞）上有解的充要條件是af（n）≤0.

若將區(qū)間改為開區(qū)間，只要將命題中的不等號(hào)改為相應(yīng)的嚴(yán)格不等號(hào)即可.

三、實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的理論依據(jù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在實(shí)數(shù)c，當(dāng)x=c時(shí)，若f（c）=0，那么把x=c叫做函數(shù)f（x）的零點(diǎn).解方程即可求出f（x）的所有零點(diǎn).

假定f（x）在區(qū)間（x，y）上連續(xù)，先找到a、b屬于區(qū)間（x，y），使f（a），f（b）異號(hào)，說明在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)，然后求現(xiàn)在假設(shè)f（a）＜0，f（b）＞0，a＜b①，如果，該點(diǎn)就是零點(diǎn).如果，則在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，用a替換從①式開始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷.如果則在區(qū)間）內(nèi)有零點(diǎn)，用b替換從①式開始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷.這樣就可以不斷接近零點(diǎn).

通過每次把f（x）的零點(diǎn)所在的小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步迫近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得零點(diǎn)的近似值，這種方法叫做二分法.顯然，二分法是實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的理論依據(jù).

四、實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的應(yīng)用價(jià)值

實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的應(yīng)用非常廣泛，其主要特征是對(duì)本來很復(fù)雜的關(guān)系式作線性代換，這樣再變換主元，利用主元法，轉(zhuǎn)化成一次方程的實(shí)根分布問題來解決.所謂主元法，就是在一些數(shù)學(xué)問題中，含有常量、參量和變量（統(tǒng)稱為元素），在這些元素中，必有某個(gè)元素在問題中處于突出的、主導(dǎo)的地位，我們?cè)诮忸}時(shí)把這個(gè)元素看作主元.根據(jù)具體條件，從不同的角度出發(fā)，選出主元，并以此為線索把握解決問題的方法叫做主元法.我們從解不等式、證明不等式、求函數(shù)值域或最值、確定參數(shù)的取值范圍等方面，借助主元法，利用函數(shù)和方程的數(shù)學(xué)思想，探究實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布的應(yīng)用價(jià)值.

1.解不等式

因?yàn)閤≠0，0＜μ＜1，所以f（μ）=0在區(qū)間（0，1）上有解.

由定理得f（0）·f（1）＜0，即（1-x2）（x+1-x2）＜0，所以

2.證明不等式

有些不等式的證明，通過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的一次式，也就是利用主元法，運(yùn)用實(shí)系數(shù)一次方程的實(shí)根分布定理來實(shí)現(xiàn)證明，亦有獨(dú)到之處.

例2已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2-ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β，證明：如果那么

分析：這是一道靈活性與綜合性都很強(qiáng)的高考?jí)狠S題，證法頗多，運(yùn)用實(shí)系數(shù)一次方程的實(shí)根分布定理來證明，特別是對(duì)新主元的選擇，確有獨(dú)到之處，令人耳目一新.

3.求函數(shù)值域或最值

運(yùn)用方程的觀點(diǎn)審視函數(shù)關(guān)系式，借助于一次方程在某區(qū)間上有解的條件，構(gòu)造關(guān)于y的不等式，通過解不等式確定函數(shù)的值域或最值，開辟了求解函數(shù)的值域或最值問題新途徑.其中變換主元是關(guān)鍵的一步.

分析：通過對(duì)已知函數(shù)式的變形，不難運(yùn)用觀察法求出其值域，下面借助實(shí)系數(shù)一次方程的實(shí)根分布定理解這個(gè)問題，也很簡(jiǎn)捷.

因?yàn)閥≠3，μ≥0，所以關(guān)于μ的一次方程f（μ）=0在區(qū)間（0，+∞）上有解.由定理得（y-3）·f（0）≤0，解得1≤y≤3.因?yàn)閥≠3，所以函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|1≤y＜3｝.

4.確定參數(shù)的取值范圍

確定參數(shù)的取值范圍，是中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及頗豐的一類問題，解法很多.選擇適當(dāng)?shù)闹髟?，運(yùn)用實(shí)系數(shù)一次方程的實(shí)根分布定理建立參數(shù)所滿足的不等式，通過解不等式求出參數(shù)的范圍，有章可循，易于操作，值得提倡.

分析：本題的難點(diǎn)在于，自變量x與函數(shù)f（x）的聯(lián)系多了三角函數(shù)這一層關(guān)系，如何變換主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的一次函數(shù)關(guān)系式是本題的突破口！

解：令sinx=t，則f（x）=g（t）=at+2a+1，t∈［-1，1］，于是問題轉(zhuǎn)化為：方程g（t）=0在（-1，1）上有解，求a的范圍.

顯然a=0不合題意，故a≠0，方程g（t）=0是t的一次方程，由定理得f（-1）·f（1）＜0，即（-a+2a+1）（a+2a+1）＜0，解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

五、實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布問題的再思考

在研究實(shí)系數(shù)一次方程實(shí)根分布問題時(shí)，我們注意到這類問題總是和“有解”聯(lián)系在一起，那么，數(shù)學(xué)中另一類重要問題——恒成立問題，是否也可以進(jìn)行類似的研究？或者說，能否將上述定理進(jìn)行合理的推廣，使之對(duì)恒成立問題也能行之有效？筆者作如下思考：

定理2：設(shè)有實(shí)系數(shù)一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0），m、n∈R且m＜n，運(yùn)用一次函數(shù)的圖像及其單調(diào)性，易知：函數(shù)f（x）在區(qū)間［m，n］上恒有f（x）＞0的充要條件是f（m）≥0且f（n）≥0.

特例：（1）方程f（x）在區(qū)間（-∞，m］上恒有f（x）＞0的充要條件是a≤0且f（m）≥0.

（2）方程f（x）=0在區(qū)間［n，+∞）上恒有f（x）＞0的充要條件是a≥0且f（n）≥0.

若將區(qū)間改為開區(qū)間，只要將命題中的不等號(hào)改為相應(yīng)的嚴(yán)格不等號(hào)即可.

定理2稱之為一次函數(shù)的保號(hào)性.對(duì)解決許多數(shù)學(xué)問題，優(yōu)化解題思路，開辟解題捷徑，有其獨(dú)特的作用.

1.證明不等式

分析：按常規(guī)思路，從比較法或分析法或綜合法等入手，很難奏效.若以其中某一字母為主元，即變換成一次函數(shù)，運(yùn)用一次函數(shù)保號(hào)性，問題立即化難為易，變繁為簡(jiǎn).

證明：（1）要證ab+bc+ca+1＞0，即證明（b+c）a+bc+1＞0.以a為主元，構(gòu)造函數(shù)f（a）=（b+c）a+bc+1，由定理2知：

①當(dāng)b+c=0時(shí)，f（a）=bc+1=1-c2（由得c2＜1），原不等式成立.

（2）要證abc+2-a-b-c＞0，即證（bc-1）a-b-c+2＞0.

2.求參數(shù)范圍

分析：本題中，m為參數(shù)，x為主變?cè)?，按常?guī)方法，需要分log2m=1與log2m≠1兩種情形分別研究log3x的一次函數(shù)、二次函數(shù)取正值的條件，十分煩瑣.若以log2m為主元，將參數(shù)升格為主變量就可以借助一次方程實(shí)根分布問題來研究，可使問題的解答變得簡(jiǎn)捷而明快！

解：設(shè)t=log2m，a=log3x.

由1≤m≤2得0≤t≤1，視t為主元，將原式改寫為t的函數(shù)，即y=F（t）=（a2-6a+1）t-a2+1，此為關(guān)于t的零次或一次函數(shù)，由圖像易知：

（1）當(dāng)a2-6a+1=0時(shí)，存在a=3-使y＞0.

（2）當(dāng)a2-6a+1＞0時(shí)，由定理2知，y＞0的條件是

六、啟示與體會(huì)

從上述研究不難看出，實(shí)系數(shù)一次方程的實(shí)根分布理論，雖然十分簡(jiǎn)單淺顯，但是在解題中的作用卻不可低估.它不但可以使得許多問題的求解直觀簡(jiǎn)潔，富有新意，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程，以及數(shù)形結(jié)合等思想方法解題的意識(shí)大有裨益.我們從中得到的啟發(fā)和體會(huì)是：首先，越是簡(jiǎn)單的觀點(diǎn)、方法和技巧，往往越會(huì)發(fā)揮大作用.因此，在教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握，學(xué)會(huì)運(yùn)用簡(jiǎn)單的觀點(diǎn)分析、處理、解決問題，提高學(xué)生的解題能力.其次，科學(xué)的類比可以使我們的結(jié)論更加接近真理，類比猜想可以豐富人們直覺思維中的“知識(shí)組塊”，訓(xùn)練人們的直覺類比能力.所以重視類比的指導(dǎo)和研究不僅能培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和創(chuàng)造思維的能力，而且更重要的是能提高學(xué)生的科學(xué)創(chuàng)造力.