陳千金

摘 要：類比推理作為一種極其重要的數(shù)學研究方法，利用它可以由兩個或幾個具有一定程度的一般性的判斷過渡到具有同樣程度的一般性的判斷。在數(shù)學教學中教師應善于引導學生如何應用類比推理解答習題，培養(yǎng)學生養(yǎng)成自覺地應用類比以尋求難題的解法的習慣，并自覺避免與應用類比有關(guān)的錯誤。

關(guān)鍵詞：類批；推理；判斷；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）07-072-02

關(guān)系推理作為一種研究方法，它的意思是在確定兩個對象有某一關(guān)系相同以后，可以得出這兩個對象在另一關(guān)系上也相同。關(guān)系推理的一種最重要的形式是類比?？梢哉f，類比是科學研究的最普遍的方法之一。廣泛應用類比，往往會使研究人員對于所研究的對象的性質(zhì)作出近似程度或大或小的設(shè)想，然后再通過實驗或更嚴格的推理肯定或否定這種設(shè)想。

一、數(shù)學中類批推理的重要意義

關(guān)系推理是極其重要的一種推理，利用它可以由兩個或幾個具有一定程度的一般性的判斷過渡到具有同樣程度的一般性的判斷。

例如，設(shè)a，b和c是三個實數(shù)，

a>b（第一個判斷），

b>c（第二個判斷），

a>c（新判斷）。

在進行類比推理時，從討論一個對象模型得到的知識，可以移到另一個在某一種意義上較少研究的（不容易研究的，不太直觀的，等等）對象上。對于具體對象來說，由類比得到的結(jié)論，一般僅具有或然的性質(zhì)。這種結(jié)論是科學假設(shè)和歸納推理的一個來源，在科學發(fā)現(xiàn)方面具有重要的作用。

同構(gòu)是最深刻的一種類比，由它可以導出完全可靠的結(jié)論。如果我們確定兩組或幾組對象同構(gòu)，那么我們可以把對于一組成立的任一語句移到另一組對象上去。在這種情況下，只要仔細地研究了一組對象，那么與它同構(gòu)的一組對象就不必再進行這種研究。一個明顯的例子是解析幾何，它將對幾何圖形及其性質(zhì)的研究，歸結(jié)為對包含數(shù)值對象的一定的解析關(guān)系式的研究。

類比分為以下兩種：

1、簡單類比：從對象的某些屬性相同推出它們的其他屬性相同；

2、普遍類比：從現(xiàn)象的相同可以得出原因相同的結(jié)論。

另一方面，簡單類比和普遍類比又可以分為：

3、嚴格類比。被比較的對象的屬性處于互相依存的狀態(tài)；

4、不嚴格類比：被比較的對象的屬性不處于明顯的互相依存的狀態(tài)。

二、數(shù)學教學中類比推理的應用

在數(shù)學教學中廣泛應用類比，是一種極有成效的方法，它能使學生對所學科目發(fā)生興趣，促進他們參與研究性的活動。此外，廣泛應用類比還可能使學生更容易掌握學習的內(nèi)容，學得更扎實，因為這樣會有利于在思維中將一定的知識和技能的系統(tǒng)從已知的對象轉(zhuǎn)移到未知的對象上去（順便指出一點，這樣還可以促進知識的現(xiàn)實化）。

因此，在應用類比法方面做一些經(jīng)過特殊選擇的練習是有益處的，例如：（1）“如果一個三角形的各個角均合同，那么它的三邊也合同。”這個論斷對嗎？對于六邊形敘述一個類似的語句。它成立嗎？（2）“正三角形內(nèi)（或邊上）一點到各邊的距離的和是一個常量?！边@個論斷對嗎？對于任一多邊形敘述一個類似的語句。驗證這個語句是否成立。

培養(yǎng)學生養(yǎng)成自覺地應用類比以尋求難題的解法的習慣，是大有益處的。這時，可以向他們提出如下的一般解題計劃。

1、選擇一個和要求解的問題相似的問題，它和要求解的問題有相似的條件和結(jié)論；輔助問題應當比要求解的問題簡單，或者是已經(jīng)解決過的題目。

2、解答輔助題目；然后用類比推理以解答要求解的問題。

例如，在解答立體幾何問題時，最好注意與平面幾何問題作類比。為了使學生能較好地掌握這種解題方法，最好在適當?shù)臅r候向?qū)W生提出一些用歸納法便于解答的問題。在開始這樣作時，最好向?qū)W生提出兩個或者更多（而不是一個）內(nèi)容互相聯(lián)系的問題，同時敘述其中每一個問題的條件。例如：a）用等邊三角形的高表示它的內(nèi)切圓的半徑；b）用正四面體的高表示它的內(nèi)切球的半徑。

三、類比推理在數(shù)學中的錯誤應用

這里，有必要說明什么是“有益的”類比，什么是“有害的”類比。將平面幾何的許多概念和判斷從思想上移到三維空間的幾何，就是“有益的類比”的一個例子。例如，“長方形類似于長方體?！睂嶋H上，長方形各邊之間的關(guān)系同長方體的各棱之間的關(guān)系就很相似：

長方形的每一邊同另一邊平行和相等，而同其余兩邊垂直。

長方體的每一條棱同另一條棱平行和相等，而同其余一些垂直”。

我們注意到，長方形的面積和長方體的體積之間也存在著很明顯的類比關(guān)系。同時這種類比關(guān)系表現(xiàn)在許多方面，從公式S=a·b和V=a·b·c的形式直接推導這個公式的結(jié)構(gòu)（按長方形和長方體的邊長或棱長可以表示成自然數(shù)、正有理數(shù)和實數(shù)三種情況依次加以證明）都很相似。

數(shù)學教師應當了解隨便應用類比會產(chǎn)生哪一些典型的錯誤。學生往往會自發(fā)地采用這種“有害的”（錯誤的）類比，而且學生本人甚至教師有時還弄不清楚為什么會產(chǎn)生這種錯誤（當然也就不可能糾正錯誤）。在教學教學過程中，不僅教師本人應當借用有益的類比，而且應當要求學生能使用類比的方法進行推理。這時，學生應當懂得，由類比得出的結(jié)論必須加以論證，因為不能排除得出錯誤結(jié)論的情況。

例如下面幾例常見的錯誤運用類比的情形：

1、由眾所周知的被3和9整除的特征，類似地可以敘述也許成立的被27整除的特征：“如果一個數(shù)的數(shù)字和能被27整除，那么這個數(shù)本身也能被27整除”。但是這相論斷是不正確的；

2、將眾所周知的有限和的加法法則硬搬到無限和的情況，可以作為“有害的”類比的一例。數(shù)學中有限和無限之間非常深刻的本質(zhì)區(qū)別，使得它們所具有的相似的性質(zhì)的數(shù)目大為減少。

3、由于數(shù)的加法和乘法的性質(zhì)有許多相同點，有時學生會將這兩種運算的相似性質(zhì)錯誤地類推到其他性質(zhì)上去。例如：在作分數(shù)時，學生會錯誤地同約去公因式作類比，而約去分式中分母和分母相同的一個加數(shù)。

4、由于平面幾何和立體幾何的的許多概念和命題之間有很多相似的地方，學生往往會將一種幾何的概念和命題搬到另一種幾何中去，因而出現(xiàn)錯誤的情況。例如，“過空間已知直線上的一點，只能作一條直線垂直已知的直線，”“垂直于空間同一直線的兩條直線，一定互相平行，”“垂直于同一平面的兩個平面，一定互相平行，”等等。

顯然，教師應當及時向?qū)W生指出他們所出現(xiàn)的各種錯誤，讓他們注意不要作錯誤的類比。