馬建

[摘 要]初三數(shù)學復習課的再探究、再發(fā)現(xiàn)、化零為整、通類訓練應該成為我們關注的重點.結(jié)合對一類動點型中考模擬壓軸題的解法探究，提出了一些解題的感悟.

[關鍵詞]動點背景 壓軸題 根的判別式 數(shù)學思想

利用運動的背景設計中考壓軸題，早已是當下中考命題者關注的重點和熱點，也是考生感受到的難點和高點.隨著課改的深入，各地的中考數(shù)學模擬試題繁花似錦、精彩紛呈.在近期組織初三學生復習的過程中，本人偶拾一類利用“Δ”來確定動點位置的中考模擬壓軸題，在此與各位讀者分享其解法.

[原題呈現(xiàn)]

1.通過動點確定直線的位置關系

【例1】 （2014·如東一模）如圖1所示，點A的坐標是（0，2），點B是x軸正半軸上的點，過點B作直線l垂直于x軸，點C為線段OB上的動點，連接AC，過點C作CD⊥AC交直線l于點D，將△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，連接AE，設點B的坐標是（m，0），點C的坐標是（n，0）.

（1）用含m，n的代數(shù)式表示點D的坐標;

（2）當A、E、D三點在同一直線上時，求m，n之間的數(shù)量關系;

（3）若在點C的運動過程中有唯一位置使得AE∥x軸，求m的值.

圖1 ? ?圖2

分析：（1）如圖1所示，由已知條件可求出∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，得到∠3=∠2;再由∠AOC=∠CBD=90°，可得△AOC∽△CBD，即有AOCB=OCBD，代入數(shù)據(jù)得2m-n=nBD ，求出BD=12n（m-n）=mn-n22 ，所以點D的坐標為（0，mn-n22）;（2）由翻折關系可知∠DEC=∠DBC=90°，∠β=∠2，且EC=BC=m-n，故當點A、E、D三點共線時，可得到∠AEC=∠AOC=90°;再由∠α+∠β=∠ACD=90°，得到∠1=∠α，根據(jù)AAS可證得△AOC ≌△AEC. 故有OC=EC=BC，所以OB=2OC，即m，n之間的關系為m=2n;（3）如圖2所示，由AE∥x軸，可得∠1=∠4，所以∠4=∠α，即AE=EC=m-n.過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，可得四邊形AOFE為矩形，則有EF=AO=2，OF=AE=m-n，CF=|n-（m-n）|=|2n-m|;在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理可得EF2+CF2=EC2，即22+|2n-m|2=（m-n）2，整理得3n2-2mn+4=0，因為點C在運動過程中要有唯一位置使得AE∥x軸，就是說關于n的方程有兩個相等的實數(shù)根，即Δ=（-2m）2-4×3×4=0，解得符合條件的m的值為23.

點評：作為一道壓軸題，此題的綜合性較強，用到的知識點有：相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等;在翻折與點運動的背景下，要求找準線段之間的大小與位置關系，并根據(jù)題意作出輔助線，建立有關變量的方程模型;解題的關鍵是對于“動點C有唯一位置”的理解，即n有唯一值，從而利用關于n的二次方程中“Δ=0”，即“方程有兩個相等的根”輕松破題.

2.通過動點確定圖形面積的關系

【例2】 （2012·如皋一模）如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（1，1），B（6，1），C（0，-2），與x軸交于E，F(xiàn)兩點.點P（m，n）是拋物線上一動點，且0（1）求拋物線的解析式.

（2）過點P作y軸的平行線交直線BC于點Q，問點P在何處時，線段PQ最長，最長為多少

（3）設四邊形OPDC的面積為S.當S取何值時，滿足條件的點P只有一個 當S取何值時，滿足條件的點P有兩個

圖3 ? ?圖4 ? 圖5

分析：（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為y=-12x2+72x-2 ;（2）由題意可求得直線BC的解析式為y=12x-2 ;因為點P（m，n）在拋物線上，所以P（m，-12m2+72m-2）;如圖4所示，故Q（m，12m-2），所以PQ=（-12m2+72m-2）- （-12m-2）= -12m2+3m ，配方得PQ=-12（m-3）2+92 ，所以當m=3時，PQ最大=92，此時求得P（3，4）;（3）由y=12x-2可求得D（4，0）;由y=-12x2+72x-2 可求得E（7-332，0）.根據(jù)題意可知四邊形OPDC的頂點P只能在x軸的上方，所以點P在拋物線EB部分段上（不包括E、B兩點），因此S四邊形OPCD=S△OPD+S△OCD=12OD·|yP|+12OD·OC =12×4×（-12m2+72m-2）+12×4×2 ，整理得S=-m2+7m（7-332

3.通過動點確定角度相等的關系

【例3】 （2015·南通模擬）如圖6所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點分別為B（1，0）、A（-3，0），交y軸于點D，過頂點C（-1，4）作軸CH⊥x于點H.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標;

（3）若點M為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段CA上（與點C、A不重合），點F（n，0）是射線AB上的動點，且滿足∠BAC=∠FEM=∠ACM.探究：n在什么范圍內(nèi)，符合條件的點E有2個

圖6 ? 圖7 ? ? ?圖8 ? 圖9 分析：（1）由題意設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點A（-3，0）代入解得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-（x+1）2+4，即y=-x2-2x+3;（2）由題意可知H（-1，0）.①若點P在對稱軸右側(cè)，如圖7所示.此時有∠QCP>∠ACH，故要使兩個三角形相似，只能是△PCQ∽△CAH，因此得到∠QCP=∠α;延長CP交x軸于點G，則CG=AG，設G（g，0），所以（g+1）2+42=g+3，解得G（2，0），從而可求得直線CG的解析式為y=-43x+83 ，由 y=-43x+83

y=-x2-2x+3 ，解得P點的坐標為（13，209）;②若點P在對稱軸左側(cè)，如圖8所示.此時只能是△PCQ∽△ACH，即有∠PCQ=∠ACH;過點A作CA的垂線交CP的延長線于點R，作RS⊥x軸，垂足為S;由△CRA∽△CAH得CAAR=CHHA=42=2 ，由△AHC∽△RSA得AHRS=CHAS=CAAR=2 ，可求RS=1，AS=2，所以R（-5，1），進而可求得直線CR的解析式為y= 34x+194 .再由y=34x+194

y=-x2-2x+3 解得P點的坐標為（-74，5516）.綜上所述，滿足條件的點P為（13，209）或（-74，5516）;（3）由（2）可知點M與點P（13，209）重合，如圖9所示.過點M作MK⊥CH，垂足為點K，則K（-1，209），在Rt△CKM和Rt△AHC中，由勾股定理可分別求得CM=209，AC=25;設AE=x，由∠α=∠FEM=∠ACM，可得∠β=∠γ，所以△CME∽△AEF，即CMAE=CEAF ，所以209 x= 25-xn-（-3） ，整理得x2-

25x+209（n+3） =0 ，因為點E要有2個，所以x要有兩個不相等的值，故Δ=20-809（n+3）>0 ，解得n<-34，所以n的取值范圍為-3點評：本題考查的知識點主要有：利用待定系數(shù)法求直線的方程、直角三角形與相似三角形的性質(zhì)、交點坐標的求法等.解題的關鍵為：第（2）小題要注意分類討論，并排除不符合題意的情形，根據(jù)相似三角形的條件構(gòu)造圖形將問題進行轉(zhuǎn)化，利用點的坐標解決問題;第（3）小題要善于運用第（2）小題的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)相似的基本圖形，將“符合條件的點E有2個”這一條件轉(zhuǎn)化為“關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根”來理解，對已知信息和衍生信息要有效整合與應用.

[解題感悟]

問題是數(shù)學的心臟，思想是數(shù)學的精髓.解決動態(tài)問題的關鍵是“化動為靜”，將運動的幾何元素當作靜止來加以解答，能在相對靜止的瞬間發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量之間的關系，通過歸納與計算得出結(jié)論.感悟如下.

首先，例1和例3均帶有動點背景，編造的問題側(cè)重于從定性分析到定量探究.通過對運動問題的拓展、變式，要求學生把數(shù)與形結(jié)合起來考慮、斟酌，分析其特征性質(zhì)，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系來求解.三個例題，雖然呈現(xiàn)方式不同，數(shù)據(jù)各異，但透過現(xiàn)象看本質(zhì)，即無論是確定線段的位置關系，還是確定圖形的面積關系，抑或是確定角度的等量關系，用到的解題思想有：數(shù)形結(jié)合、分類討論、構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等，最終都可以通過建立方程模型，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式來求解，從而把復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.

其次，解題教學的本質(zhì)其實就是引導學生去探尋和挖掘隱藏在問題背景中的思路，搞清一類問題的來龍去脈，通過對問題進行延伸與衍變，優(yōu)化學生的數(shù)學思維，發(fā)現(xiàn)“變”中不變的實質(zhì)，從而概括數(shù)學思想方法，揭示問題變化的內(nèi)在規(guī)律.站在理解數(shù)學內(nèi)涵的高度看，一題多解、多題歸一，解決一類、總結(jié)一類、打通一類，不但可以輕松求解，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”的痛苦，更重要的是優(yōu)化了解題思路，讓學生觸類旁通、舉一反三，使思路有效生成，從根本上突破了囿于問題的認識，提高了學生解決問題的能力;站在研究命題的角度看，例題中的問題環(huán)境是“老”的，而解決方法是“新”的，此所謂“老瓶裝新酒”，分析和總結(jié)這類問題的解法，對于研判未來中考命題的趨勢和方向可起到“窺斑見豹”的作用，在一定程度上對借鑒復習策略和積累復習經(jīng)驗具有明顯的指導意義.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]楊九詮，李鐵安.義務教育課程標準（2011年版）案例式解讀·初中數(shù)學[M].北京：教育科學出版社，2012.

[2]李鵬.復習課教學模式的探究與實踐[J].中小學數(shù)學（初中版），2014（12）：1-2.

（責任編輯 黃桂堅）