王岳

【摘要】函數(shù)連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中用極限研究函數(shù)性質(zhì)的第一處重要概念，連續(xù)的概念是學(xué)生在生活中經(jīng)常接觸的，如何讓學(xué)生從生活實(shí)例抽象出共性的函數(shù)關(guān)系去深入理解這一概念是教學(xué)的重點(diǎn).教學(xué)中我們將函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)定義分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種形式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，在教學(xué)實(shí)踐中分別從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的角度分析定義，并指明靜態(tài)定義和動(dòng)態(tài)定義的等價(jià)關(guān)系，使學(xué)生更形象深入地理解概念的本質(zhì).

【關(guān)鍵詞】連續(xù)性；極限；概念教學(xué)；教學(xué)過程

《高等數(shù)學(xué)》第一章“函數(shù)的極限與連續(xù)”的內(nèi)容中，一個(gè)非常重要的概念就是“函數(shù)的連續(xù)性”.函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)最基本的概念，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).函數(shù)連續(xù)性的定義對(duì)分析函數(shù)的性質(zhì)，以及討論由實(shí)際問題所建立起的函數(shù)的性質(zhì)，并通過這些性質(zhì)解決實(shí)際問題具有重要理論與實(shí)際意義.連續(xù)性是自然界中各種物體連續(xù)變化的數(shù)學(xué)體現(xiàn)，是其在函數(shù)關(guān)系上的具體反映.“函數(shù)的連續(xù)性”這節(jié)內(nèi)容是運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中極限的方法對(duì)連續(xù)性的現(xiàn)象進(jìn)行描述和研究.為了使學(xué)生能更好地掌握這一概念，加深對(duì)概念的理解，并能通過學(xué)習(xí)體會(huì)概念與生活實(shí)例的聯(lián)系，在此，我們探討一下函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)這一重要概念的教學(xué)過程.

一、函數(shù)連續(xù)性教學(xué)探討的必要性

首先，由于在自然界中存在很多常見的連續(xù)現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的，盡管連續(xù)性的物理意義和幾何直觀都比較淺顯，但在學(xué)習(xí)中仍需要給連續(xù)性下一個(gè)明確的數(shù)學(xué)定義，這是因?yàn)樵趯?shí)際問題中常要遇到很復(fù)雜的函數(shù)，在考察它們的性質(zhì)包括連續(xù)性時(shí)，它們不一定都有清晰的物理背景和簡(jiǎn)單的幾何直觀，因而僅靠感覺是無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)算和推理的.在學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生對(duì)這一概念并不完全陌生，但他們頭腦中的連續(xù)完全是由上述一些原形形成的生活中的概念，如何讓學(xué)生去尋求這些現(xiàn)象的共性，結(jié)合這些現(xiàn)象去理解數(shù)學(xué)中連續(xù)的概念，是函數(shù)連續(xù)性這節(jié)教學(xué)的重點(diǎn).

其次，在《高等數(shù)學(xué)》第一章學(xué)習(xí)了極限概念之后給出連續(xù)的概念，是高數(shù)中第一處運(yùn)用極限的知識(shí)去研究函數(shù)的性質(zhì)，具有非常重要的地位，也是學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ).

二、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)教學(xué)過程的具體實(shí)現(xiàn)

高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)有兩個(gè)等價(jià)的定義式，分別為：limΔx→0Δy=0和limx→x0f（x）=f（x0）.在教學(xué)過程中，我們?nèi)绻麅H僅是照本宣科地依次講解、推導(dǎo)這兩個(gè)概念，并不一定能起到學(xué)生加深理解的作用和效果.我們可以更形象的將這兩個(gè)定義分為“靜態(tài)定義”和“動(dòng)態(tài)定義”兩種形式，分別從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度結(jié)合圖像來(lái)講述“函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)”這一重要概念的含義.使學(xué)生從多角度加深對(duì)連續(xù)性概念的理解.

1.靜態(tài)定義

大部分課本上，靜態(tài)定義式是由動(dòng)態(tài)定義式推導(dǎo)出來(lái)的，在此，我們可以運(yùn)用一種更形象的分析方法：研究函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)，可以先讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像，一般意義上我們理解的函數(shù)在一點(diǎn)x0處連續(xù)對(duì)應(yīng)到圖像上就是函數(shù)圖像在這點(diǎn)處不間斷.如果函數(shù)圖像在x0處斷開了，那么，對(duì)于斷開處的點(diǎn)f（x0）本身而言，我們可以把它歸到圖像的左邊部分，也可以歸到右邊部分.若將這點(diǎn)歸到左側(cè)圖像，則能得到函數(shù)在這一點(diǎn)的左極限恰好等于這一點(diǎn)的函數(shù)值，即：limx→x-0f（x）=f（x0）（如圖1）；若將此點(diǎn)歸到右側(cè)圖像，則得到函數(shù)在這一點(diǎn)的右極限恰好等于這一點(diǎn)的函數(shù)值，即：limx→x+0f（x）=f（x0）（如圖2）.

如果函數(shù)圖像在這點(diǎn)處沒有發(fā)生間斷，則這點(diǎn)既可以歸到左側(cè)圖像，也可以歸到右側(cè)圖像，根據(jù)左右極限的定義，我們就得到關(guān)系式limx→x0f（x）=f（x0）成立（如圖3）.此時(shí)，函數(shù)在這點(diǎn)處是連續(xù)的.因此，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義可敘述為：

定義1 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果limx→x0f（x）存在，且等于f（x0），即limx→x0f（x）=f（x0），則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，點(diǎn)x0稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).

由于在這個(gè)研究過程中，我們把x0點(diǎn)看作是相對(duì)靜止的，所以這個(gè)定義我們把它稱為“靜態(tài)定義”.結(jié)合上述定義以及函數(shù)左右極限的定義，我們得到，當(dāng)limx→x-0f（x）=f（x0）成立時(shí)，稱函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)左連續(xù)，limx→x+0f（x）=f（x0）成立時(shí)，稱函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)右連續(xù).因此，函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)的充分必要條件是：函數(shù)在點(diǎn)x0既左連續(xù)，又右連續(xù).

而且，由靜態(tài)定義我們可以分析得出，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)須下述三個(gè)條件皆滿足：（1）f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義；（2）極限limx→x0f（x）存在；（3）極限limx→x0f（x）的值等于該點(diǎn)函數(shù)值f（x0）.我們常用上述三個(gè)條件來(lái)討論函數(shù)在f（x）某點(diǎn)處是否連續(xù).這樣，就可以引導(dǎo)學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)通過三步具體步驟來(lái)掌握利用靜態(tài)定義判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否連續(xù).

例1 討論函數(shù)f（x）=x2-1x-1，1， x≠1，x=1在x=1處連續(xù)性.

解 由于f（1）=1，limx→1f（x）=limx→1x2-1x-1=2，limx→1f（x）≠f（1），所以函數(shù)在x=1處的不連續(xù).

不同分段函數(shù)的分段方式不同，對(duì)于分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同的分段函數(shù)，我們可以分別研究函數(shù)在一點(diǎn)是否左、右連續(xù)，來(lái)判斷函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù).因此，講完例1，我們可以再給出學(xué)生一個(gè)此類例題加以分析對(duì)比.

例2 討論函數(shù)f（x）=1+cosx，sinx， x<π2，x≥π2在x=π2處的連續(xù)性.

分析 由于f（x）在x=π2處的左、右表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù)f（x）在π2處的左、右連續(xù)性.

解 由于limx→π2-f（x）=limx→π2-（1+cosx）=1+cosπ2=1=fπ2，

limx→π2+f（x）=limx→π2+（sinx）=sinπ2=1=fπ2，

所以，函數(shù)f（x）在x=π2處左連續(xù)且右連續(xù)，從而函數(shù)f（x）在x=π2處連續(xù).

分析了這兩個(gè)例題后，引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)題目的解法，使學(xué)生通過差異對(duì)比，靈活掌握判斷函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的方法.

2.動(dòng)態(tài)定義

函數(shù)在x0處連續(xù)的定義還可以用在幾何上更為直觀的動(dòng)態(tài)定義來(lái)敘述.我們把x表示成x=x0+Δx，這樣變量x可以看成在x0處有了一個(gè)增量Δx，相應(yīng)的，函數(shù)值f（x0+Δx）與f（x0）也相差一個(gè)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），按這種記法，在x0處，當(dāng)|Δx|很微小時(shí)，Δy也很微小.特別當(dāng)Δx→0時(shí)，也有Δy→0，即當(dāng)自變量發(fā)生微小改變時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)變化也非常微小.這就是函數(shù)y=f（x）在x0處連續(xù)的實(shí)質(zhì)，由此函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義也可以敘述為：

定義2 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果在x0處，當(dāng)自變量的增量Δx趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量Δy也趨于零，即： limΔx→0Δy=limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0）]=0，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，點(diǎn)x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn).

這個(gè)定義過程，體現(xiàn)了函數(shù)在x0點(diǎn)自變量和因變量的動(dòng)態(tài)變化的過程，因此我們稱為函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的“動(dòng)態(tài)定義”.

根據(jù)動(dòng)態(tài)定義，我們引導(dǎo)學(xué)生觀察下列兩圖：由圖4可以看出，函數(shù)y=f（x）是連續(xù)變化的，它的圖像是一條不間斷的曲線.當(dāng)x0保持不變而讓?duì)無(wú)限趨近于零時(shí)，曲線上的點(diǎn)N就沿著曲線趨近于點(diǎn)M，即Δy趨近于零.符合連續(xù)的動(dòng)態(tài)定義.而由圖5可以看出，函數(shù)y=φ（x）不是連續(xù)變化的.它的圖像是一條在點(diǎn)x0處間斷的曲線.當(dāng)x0保持不變，讓?duì)無(wú)限趨近于零時(shí)，曲線上的點(diǎn)N就沿著曲線趨近于點(diǎn)N′，Δy不能趨近于零，不符合連續(xù)的動(dòng)態(tài)定義，所以函數(shù)y=φ（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù).

借助圖像的直觀性，學(xué)生能進(jìn)一步深入理解動(dòng)態(tài)定義的實(shí)質(zhì).

3.靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的等價(jià)關(guān)系

靜態(tài)定義和動(dòng)態(tài)定義只是從不同角度、運(yùn)用不同方法來(lái)研究的函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性，兩個(gè)定義的實(shí)質(zhì)是等價(jià)的，可以互相推導(dǎo)得到.課堂上，我們可以給學(xué)生推導(dǎo)從動(dòng)態(tài)定義式推出靜態(tài)定義式的過程，讓其在課下推導(dǎo)其反過程，加深對(duì)定義的理解鞏固.

在動(dòng)態(tài)定義式中，limΔx→0Δy=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）=0，若記x=x0+Δx，則Δx=x-x0，相應(yīng)的函數(shù)的改變量為Δy=f（x）-f（x0），當(dāng)Δx→0時(shí)，即x→x0時(shí)，Δy→0，即[f（x）-f（x0）]→0，也就是f（x）→f（x0），于是就得到limx→x0f（x）=f（x0），反之，由靜態(tài)定義式也可以推導(dǎo)出動(dòng)態(tài)定義式，可以讓學(xué)生自行推導(dǎo).由此，通過授課教師的分析和學(xué)生的實(shí)踐，得出兩個(gè)公式是完全等價(jià)的.在不同的情形下，可以根據(jù)已知條件靈活選擇不同的公式來(lái)判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù).

以上提出了“函數(shù)連續(xù)性”這一概念教學(xué)的一種新方法，在我們實(shí)際授課過程中這種形象、生動(dòng)的教學(xué)方法，學(xué)生易于接受，通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步加深理解，在老師的引導(dǎo)和啟發(fā)下，他們通過觀察、對(duì)比從多角度深入理解了概念本質(zhì)，收到了良好的效果.對(duì)這個(gè)概念有了全面深入的分析以后，后面我們?cè)龠M(jìn)行函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性教學(xué)時(shí)，學(xué)生就相對(duì)更容易理解和接受了.