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對一道高考題的推廣

2015-05-30 13:11朱允洲
數(shù)學學習與研究 2015年3期
關鍵詞:圓錐曲線

朱允洲

【摘要】2013年江蘇一道高考題是關于函數(shù)y=1x(x>0)圖像上一動點與直線y=x上的定點之間的距離的最小值問題,本文將函數(shù)y=1x(x>0)進行了推廣,即介紹了雙曲線、橢圓和拋物線上的動點P與其對稱軸x軸上的點A(m,0)之間的距離|AP|的最小值問題,通過推導發(fā)現(xiàn)|AP|min隨著m的變化而變化,點P的個數(shù)及其在圓錐曲線上的位置均與m的臨界值(橢圓、雙曲線是ce,拋物線是焦參數(shù)p)有關,推廣了高考題中原有的相關結論.

【關鍵詞】最小值;圓錐曲線;臨界值

題1 (2013年高考江蘇卷第13題)在平面直角坐標系xOy中,設定點A(a0,a0),P是函數(shù)y=1x(x>0)圖像上一動點,若點P,A之間的最短距離為22,則滿足條件的實數(shù)a0的所有值為.

文獻指出了對題1“秒殺”結果的錯誤,并給出了改編題2,研究了|AP|min=AP0時點A在直線y=x上的位置.

題2 在平面直角坐標系xOy中,點A在直線y=x上,P是函數(shù)y=1x(x>0)圖像上一動點,直線y=x與函數(shù)y=1x(x>0)圖像交于點P0,若對于直線y=x上任意點A,|AP|≥AP0恒成立,則點A橫坐標的取值范圍是.

筆者研讀后發(fā)現(xiàn),可將函數(shù)y=1x(x>0)推廣到雙曲線、橢圓、拋物線的方程,得到一般性的結論,供大家參考.

此時點P與M重合.

類似地,如果P為雙曲線左支上一動點,由雙曲線的對稱性可得:

以上是對于點P僅在雙曲線的單支上,當點A在x軸上移動時,|AP|的最小值及相應m的取值情況.

那么,對于點P在整個雙曲線上,當點A在x軸上移動時,|AP|的最小值及相應m的取值情況要隨P在雙曲線的哪支上作相應的調(diào)整?P與A位于y軸的同側,所以

推廣2 在平面直角坐標系xOy中,P為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一動點,M1,M為左、右頂點,A(m,0)是x軸上任意一點,則|AP|的最小值及相應m的取值范圍是:當m

設P(x,y),則AP2=(x-m)2+y2=(x-m)2+(1-x2a2)b2=e2(x-me2)2+(1-m2c2)b2.

①若-ce

(AP2)min-AM2=m2c2-1b2-(m-a)2=-1e2(m-ce)2<0(或(AP2)min-AM21=m2c2-1b2-(m+a)2=-1e2(m+ce)2<0),所以|AP|min=bcc2-m2,此時P點有兩個:(me2,±b1-m2a2e4).

②若m≥ce(或m≤-ce),即me2≥a(或me2≤-a),當x=a(或x=-a)時,(AP2)min=e2(±a-me2)2+m2b2c2-b2=(ma)2,故|AP|min=a-m=|AM|(或|AP|min=|a+m|=|AM1|),此時P與M(或M1)重合.

推廣3 在平面直角坐標系xOy中,P為拋物線y2=2px(p>0)上一動點,O為頂點,A(m,0)是x軸上任意一點,則|AP|的最小值及相應m的取值范圍是: 當m>p時,|AP|min=-p2+2pm;當m≤p時,|AP|min=m.

設P(x,y),則AP2=(x-m)2+y2=(x-m)2+2px=[x-(m-p)]2-p2+2pm.

①若m>p,即m-p>0,當x=m-p時,|AP|min=-p2+2pm,此時P點有兩個:(m-p,±2p(m-p)).

②若m≤p,即m-p≤0,當x=0時,|AP|min=m,此時點P與點O重合.

【參考文獻】

李培穎.一道2013年高考試題的“秒殺”引發(fā)的探究[J].數(shù)學通報,2013(3).

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