林致桐

4 動點(diǎn)變化產(chǎn)生的平行四邊形問題

例4 （2012年湖北襄陽中考）如圖15所示，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處.分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、D、C三點(diǎn).

（1）求AD的長及拋物線的解析式.

（2）一動點(diǎn)P從E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？

（3）點(diǎn)N在拋物線對稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

4.1 平行四邊形存在性問題的模式識別

通常在平行四邊形問題中，會確定一條邊，但這條邊可能作為邊，也可能作為對角線，則出現(xiàn)二種模式，如圖16.

4.2 平行四邊形存在性問題的剖析圖

構(gòu)成平行四邊形作圖法為：（1）定邊長為邊作平行四邊形；（2）定邊長為對角線作平行四邊形.如圖17，圖18，圖19.

4.3 解題思維點(diǎn)撥：

（1）利用△BDC和△DEC重疊性質(zhì)，算出△EOC和△AED中各線段的大小，再利用勾股定理求出AD的大小和點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把D、O、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解.（2）根據(jù)條件，先判斷∠DEA=∠OCE，再分類討論△PQC中另一個角為90°，然后利用相似三角形對應(yīng)線段成比例求解.（3）由于以M、N、C、E為頂點(diǎn)的平行四邊形中已知線段EC是邊還是對角線不明確，因此要分情況討論：①當(dāng)EC是平行四邊形的邊時，利用點(diǎn)M到對稱軸的距離，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再確定點(diǎn)N的坐標(biāo)；②當(dāng)EC是平行四邊形的對角線時，根據(jù)對角線互相平分，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再確定點(diǎn)N的坐標(biāo).

5 動點(diǎn)變化產(chǎn)生的菱形問題

例5 （2012年遼寧省鐵嶺中考）如圖20所示，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)D，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（-2，m），且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F.

（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的解析式.

（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從F點(diǎn)出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若能，請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動時間t的值；若不能，請說明理由.

5.1 菱形存在性問題的模式識別

通常在菱形問題中，會確定一條邊，但這條邊可能作為菱形的邊也可能用為菱形的對角線，則出現(xiàn)二種模式：見圖21.

5.2 菱形存在性問題的剖析圖

構(gòu)成菱形作圖法：（1）定邊長為邊構(gòu)圖，如圖22，圖23，圖24；（2）定邊長為對角線構(gòu)圖，如圖25.

5.3 解題思維點(diǎn)撥：

（1）直接把B（-2，m）代入一次函數(shù)解析式，求出m.直接將A、B、O三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求解.（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，根據(jù)同底等高三角形面積相等，得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo).（3）由于以Q、A、E、M為頂點(diǎn)的菱形中，已知線段AE是邊還是對角線沒有明確，因此要分情況討論：①當(dāng)AE是菱形的邊時，利用ME=AE=■，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出線段MF的長度，從而得到運(yùn)動時間t的值.②當(dāng)AE是菱形的對角線時，根據(jù)對角線互相垂直平分，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出線段MF的長度，從而得到運(yùn)動時間t的值.

6 動點(diǎn)變化產(chǎn)生的梯形問題

例6 （2011年山東省萊蕪中考）如圖26所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，-4），OB=2，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，試求AM+BM的最小值.

（3）在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.1 梯形存在性問題的模式識別

通常在梯形問題中，會確定三個頂點(diǎn)，形成三條邊，但這三條邊是底還是腰沒有明確，則產(chǎn)生三種模式：如圖27.

6.2 梯形存在性問題的剖析圖

構(gòu)成梯形問題的作圖法：分別以一邊為底或?yàn)檠鲌D.如圖28，圖29，圖30.

6.3 解題思維點(diǎn)撥：

（1）直接將A、O、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求解.（2）點(diǎn)O、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接AB，根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，AB與對稱軸的交點(diǎn)即為符合條件的M點(diǎn).（3）由于以O(shè)、A、B為頂點(diǎn)頂點(diǎn)梯形中，已知線段AO、BO、AB是底還是腰沒有明確，因此要分三種情況討論：①BO是梯形的底，即OB∥AP，OB≠AP，過點(diǎn)A作直線AP∥OB，求出直線AP與拋物線的交點(diǎn)即可；②AO是梯形的底，即AO∥BP，AO≠BP，過點(diǎn)B作直線BP∥OA，求出直線BP與拋物線的交點(diǎn)即可；③AB是梯形的底，即AB∥OP，AB≠OP，過點(diǎn)O作直線OP∥AB，求出直線OP與拋物線的交點(diǎn)即可.

從以上的例析中可以看出，對動點(diǎn)變化產(chǎn)生的特殊圖形通過模式化與構(gòu)圖，不僅讓學(xué)生明晰了一類題型的解題思路、方法和技巧，也提升了教師自身研題和教學(xué)的能力.我們雖然反對“題海戰(zhàn)術(shù)”，但不應(yīng)輕視數(shù)學(xué)解題研究，尤其是對學(xué)生困惑問題的研究.我們要把解題上升到研題、編題，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，讓學(xué)生知其然而知其所以然.

〔連載完〕