陳吉標

摘 要：數(shù)學解題小結指學生解題后對題型特征、問題內涵、思維陷阱、解題方法等有關內容進行分析與梳理的學習活動.引導學生進行解題小結，作為一種學習方法指導，它既是貫徹“教會學生學會學習并掌握學習”的課程教育理念的有效方式，又是大幅度提高課程學習質量的重要手段.

關鍵詞：解題小結；題型歸類；辨識題結；拓展變換；方法梳理

課程教學的育人功效是促進學生思想的形成、情感的孕育、思維的發(fā)展、能力的提升等，而教會學生解決與課程知識有關的實際問題則是課程教學的基準點 [1 ].換句話說，課程教學必須教會學生解題.這不僅因為考試成績決定著學生的學業(yè)前途，更重要的是通過考察學生的解題來評價課程教學在知識與技能目標方面的落實程度.

數(shù)學解題小結是指學生解題后對題型特征、問題內涵、思維陷阱、解題方法等有關內容進行分析與梳理的學習活動.本文就初中數(shù)學課程教學如何指導學生開展解題小結，談談個人的實踐與認識.

1 題型特征歸類

題型特征，指題目在知識的適用范疇或數(shù)學方法運用等方面有著顯性或潛在的特點.如題目“已知A=a4-2a2+1，B=-3a4-4a2+2，計算3A-B”， 就知識的適用范疇來說，其特征就是代數(shù)多項式的加減運算.就運算方法而言，其特征就是“合并同類項”.

按題目的構成背景，數(shù)學題目大致可以分為兩大類，第一類是數(shù)學知識問題，用于直接考查學生對數(shù)學知識與方法的運用能力.第二類是數(shù)學應用問題，即數(shù)學知識在實際生活中的應用問題.

在數(shù)學課程學習中，學生所形成的知識結構中數(shù)學符號或圖形為主要結構元素.如有關一元二次方程的知識結構：方程的一般化形式為ax2+bx+c=0（a≠0），對于解方程方法，如果b=0，采用開平方方法，如果c=0，采用分解因式方法，如果b、c均不等于0，一般用公式法，即x=■.雖然學生對數(shù)學知識具有這樣的建構特點的認知，似乎有助于辨識第一類數(shù)學題的特征，但是由于問題形式的變化，要迅速準確的判定每題的知識適用范疇或方法運用還須經(jīng)歷一個分析與歸類的解題反思過程.如題目“已知2+■是方程x2-4x+c=0的一個根，求方程的另一個根及c的值”，它似乎屬于解一元二次方程，但其中又牽涉到“兩數(shù)和的平方展開、代數(shù)多項式加減、解一元一次方程”等有關問題，如果沒有經(jīng)歷其實際解題過程且進行解題后的小結，學生就難以認識本題的綜合特征.

題型特征歸類的重點在于第二類問題.這類問題的構成背景是實際生活，有的問題會給出某種數(shù)學知識模型，有的則沒有.如題目“一個直角三角形的斜邊長7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，求兩條直角邊的長度”，它屬于什么知識或運用什么方法的問題，只有經(jīng)過解題并反思的思維活動方能明確.

對于題型特征歸類，不僅要分析當前所做的題目，還要分析與當前類似的問題，既要尋找它們的共同點，又要辨識它們的不同點.如2（x+3）2=x（x+3）與（x+1）2-3（x+1）+2=0，共同的解法是先轉化為一元二次方程的標準形式再解方程，不同點是后者可以化為y2-3y+2=0，前者則不能.

2 辨識題眼題結

“題眼”指題目文字中的關鍵詞或體現(xiàn)某種數(shù)學特征的文句.如題目：一件夾克衫按成本價提高50%后標價，后因季節(jié)關系按標價的8折出售，每件以60元賣出，這批夾克每件的成本價是多少元？其中“成本價”就是本題關鍵詞，假設成本價為x元，出售標價就是x+50%x元，賣出價則是（x+50%x）×0.8元.顯然，在本題有關的問題分析中，都與“成本價”有關.再如題目：某汽車在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時間t（s）之間的關系為s=10t+3t2 ，那么行駛200m需要多長時間？其中 “它行駛的路程s（m）和時間t（s）之間的關系為s=10t+3t2”的文句就是“題眼”，它表征本題屬于解一元二次方程的應用問題.

所謂“題結”，指解答題目的困惑或障礙所在.“題結”往往體現(xiàn)為方法或技巧問題，如幾何證明題的補作輔助線，代數(shù)問題中數(shù)學形式的巧妙轉換等.認識“題結”，往往表現(xiàn)在分析題意后突然會覺得“束手無策”.解開“題結”，就思維過程而言，就是指思維方向的突破或思維角度的變換.如題目：一次會議上，每兩個參加會議的人都互相握了一次手，有人統(tǒng)計一共握了66次手，這次到會的人數(shù)是多少？“互相握手”是本題的“題眼”，本題應從互相握手的特點來分析.假設到會人數(shù)為x，那么第一個人與其他人握手的次數(shù)為（x-1）次，第二、三……等每個人的握手次數(shù)分別為（x-2），（x-3）……（x-x+1）次，總次數(shù)為66=（x-1）+（x-2）+（x-3）……+（x-x+1）.

本題的“題結”就是右邊多項式的合并運算.它牽涉到的方法或技能就是將右邊多項式之和轉化為某種確定的代數(shù)形式.如果認真分析，右邊多項式為1+2+3+……（x-1），它屬于連續(xù)自然數(shù)之和，依據(jù)連續(xù)自然數(shù)之和的計算公式■，則前面等式可以寫為■=66，顯然，它是解一元二次方程的問題.

辨識“題眼”有助于提升學生的讀題與審題能力，較好地把握題目的內涵，從而能迅速地將當前問題納入自己原有的知識與方法體系結構并形成正確地解題思路或方法.辨識“題結”有助于促進學生在解題方面的類化能力，如體育項目的循環(huán)賽場數(shù)統(tǒng)計、班級學生座位安排形式統(tǒng)計等蘊含組合性質的問題，都可以類化為“互相握手”問題來解決.

3 問題拓展變換

引導學生開展解題小結的思維活動目的在于促進學生達到“做一題通一類”的解題效果.應該說，對于某一數(shù)學問題模型，它所牽涉到的知識與方法內容，大體上是確定的，但它卻可以從不同的角度來設計不同的問題.如下面題目：

如圖1所示，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系式是y=-x2+2x+■（x>0），柱子OA的高度為多少米？若不計其它因素，水池的半徑為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？

本題屬于二次函數(shù)知識與圖像方法在生活中的應用，所牽涉到的知識主要有y=ax2+bx+c頂點坐標、圖像的開口方向、求圖像與坐標軸的交點等.就這個生活背景問題，它可以從如下不同角度來設計問題：

（1）原題設計思路：給出具體的函數(shù)形式，求圖像與x、y軸的交點坐標；

（2）變換設計思路①：給出具體的函數(shù)形式，求水柱最高點所形成的半徑；

（3）變換設計思路②：給出柱子OA高度值與圖像與x軸的交點坐標值，求拋物線的函數(shù)表達式；

（4）變換設計思路③：給出拋物線的頂點坐標值與柱子OA的高度值，求拋物線的函數(shù)表達式；

（5）變換設計思路④：給出噴頭高度值和噴頭與圖像在x軸交點的距離值，求水柱最高點所形成的半徑.

對于命題者，他可以從不同角度來設計問題，然而對于做題者，他也可以從不同的角度來拓展或變換原題的問題情境.做題者對原題的拓展與變換過程，實質上是將已構建的概念性知識與方法再次具體化，以致形成更豐富且更深刻的認知結構.因此，引導學生對原題嘗試拓展變換并構建相應的解題思路，不僅可以促進學生深刻把握原題的內涵，而且還可以促進學生貫通原題中牽涉到的數(shù)學知識與方法，從而收到“做一題通一類”的解題效益.當然，就初中學生，針對原題進行拓展變換，在思維方面，初始階段會呈現(xiàn)為能力欠缺，但隨著訓練次數(shù)的增加，這種能力就會逐步提升，一旦形成了這種能力與習慣，那就達到了掌握學習方法的較高層次.

4 解題方法梳理

解題方法梳理，就是指歸納或總結某類題型的解題思路與方法.問題拓展變換的思維活動為題型類化提供了豐富的素材，如果說拓展變換是“做一題通一類”的“發(fā)酵”過程，那么解題方法梳理則是形成解題能力的“提煉”過程.沒有“發(fā)酵”，何有“提煉”，前者是后者的具體化，后者是前者的概括化.從思維活動特征而言，前者是以知識內涵為出發(fā)點，而后者則是以技能方法為落腳點，知識轉化為能力就是在這兩個過程中得以實現(xiàn).

解題方法梳理，首先是分別列出原題和拓展變換后問題的解題思路或方法.如上面列舉的“噴水池”問題：

原題：求OA高度，令x=0，由函數(shù)求y值；求水池半徑，令y=0，解一元二次方程；

變換①：求水柱最高點所形成的半徑，依據(jù)頂點坐標公式計算；

變換②：設交點式函數(shù)y=（x-x1）（x-x2），代入A和圖像與x軸交點坐標值，解方程組；

變換③：設頂點式函數(shù)y=a（x-k）2+h， 代入頂點坐標值與A點高度值，解方程組；

變換④：依據(jù)直角三角形邊長關系求出圖像與x軸交點坐標值，應用變換②的解題方法.

其次是歸納或梳理關于解答二次函數(shù)問題的通用方法.對于上面問題的思路與方法，它可以歸納為以下通用思路或方法：

（1）已知函數(shù)而求圖像與兩坐標軸的交點：令x=0或令y=0，解函數(shù)方程；

（2）已知函數(shù)而求拋物線的頂點，依據(jù)頂點坐標公式求解；

（3）已知圖像中的某兩點坐標求函數(shù)形式，設交點式函數(shù)y=（x-x1）（x-x2），代入兩坐標值后解方程；

（4）已知圖像頂點坐標求函數(shù)形式，設頂點式函數(shù)y=a（x-k）2+h，再結合有關條件求解.

通過這種歸納，學生基本上掌握了解決二次函數(shù)問題的基本思路與方法.顯然，它與前面的拓展變換的思維活動有關.其中內容越豐富，歸納就越全面，對知識與方法的建構就越深刻，解題能力就越強.不難看出，上面未歸納出一般式y(tǒng)=ax2+bx+c的應用情形就是一種欠缺.可見，引導學生開展對問題的拓展變換是數(shù)學解題指導中的重頭戲.

引導學生進行解題小結，作為一種學習方法指導，它既是貫徹“教會學生學會學習并掌握學習”的課程教育理念的有效方式，又是大面積提高課程學習質量的重要手段.

參考文獻：

[1] 崔允漷，有效教學[M].上海：華東師范大學出版社，2009.