陳慶竹

[摘要]邏輯思維能力，是正確、合理地進(jìn)行思考的能力。它在能力培養(yǎng)中起到核心的作用。對(duì)中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，邏輯思維的培養(yǎng)，主要采取三個(gè)步驟：一是在形成、理解和深化數(shù)學(xué)概念過(guò)程中培養(yǎng)邏輯思維能力，二是通過(guò)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展培養(yǎng)邏輯思維能力，三是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練培養(yǎng)邏輯思維能力。

[關(guān)鍵詞]中學(xué)生；數(shù)學(xué)；邏輯思維；培養(yǎng)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6

數(shù)學(xué)教學(xué)，是不斷幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中建立各類(lèi)數(shù)學(xué)概念體系的過(guò)程。而數(shù)學(xué)概念體系的形成和發(fā)展的過(guò)程，則是分析、綜合、抽象、概括、比較、分類(lèi)等各種邏輯方法的形成和發(fā)展的過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)又大都通過(guò)數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系而表達(dá)數(shù)學(xué)命題的，這些命題的結(jié)構(gòu)形式和論證方法以及相互的研究都屬于邏輯學(xué)的范疇。

邏輯思維能力，是正確、合理地進(jìn)行思考的能力。它在能力培養(yǎng)中起到核心的作用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)所不可缺少的基本能力。

在中小學(xué)階段，學(xué)生的思維是從具體的形象思維向邏輯思維發(fā)展的階段。小學(xué)階段，算術(shù)學(xué)習(xí)以具體形象為主要的思維形式。進(jìn)入初中，就要為從具體形象向邏輯思維形式過(guò)渡奠定基礎(chǔ)。從初二到高一，則是邏輯思維的培養(yǎng)階段，但此時(shí)還是以學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，傾向于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維。高二到高三的邏輯思維能力的培養(yǎng)，則以已有的理論知識(shí)為基礎(chǔ)，屬于理論型邏輯思維。在高中階段，辨證邏輯思維成分在逐漸增加。在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力時(shí)，應(yīng)該很好地考慮這些階段的特點(diǎn)。特別要抓住初中一、二年級(jí)這個(gè)思維發(fā)展的重要時(shí)期，對(duì)于打好發(fā)展邏輯思維能力的基礎(chǔ)有著重要的意義。

邏輯思維能力的強(qiáng)弱表現(xiàn)在概念、判斷、推理這些思維形式運(yùn)用能力的強(qiáng)弱上，表現(xiàn)在語(yǔ)言的表達(dá)運(yùn)用和思維開(kāi)展時(shí)每步的依據(jù)是否充足上。教師的數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)在這方面下功夫、花氣力，以求邏輯思維能力得到提高。

一、在形成、理解和深化數(shù)學(xué)概念過(guò)程中培養(yǎng)邏輯思維能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，沒(méi)有正確的數(shù)學(xué)概念，就不可能有正確的數(shù)學(xué)思維，不深化數(shù)學(xué)概念，就不能發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

1.數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)概念隸屬于一般概念，它是人腦反映數(shù)學(xué)對(duì)象（客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式和結(jié)構(gòu)關(guān)系）的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念作為概念，它的形式遵循一般概念形成的規(guī)律，然而又將體現(xiàn)出其本身的特殊性，其形成過(guò)程可概述為：⑴對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行感知辨認(rèn)，在頭腦中建立數(shù)學(xué)映象；⑵通過(guò)觀察、分析，從各個(gè)數(shù)學(xué)映象中分化出各種屬性，通過(guò)比較概括成共同屬性，使學(xué)生形成鮮明的數(shù)學(xué)表象；⑶通過(guò)分析、綜合、抽象、概括的思維活動(dòng)，抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象的共同本質(zhì)屬性；⑷用數(shù)學(xué)詞語(yǔ)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象。其過(guò)程是：

上述數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，包含了四個(gè)階段，其中，第一、二階段為形象思維階段，第三、四階段為邏輯思維階段。從概念形成的過(guò)程可以看出，形象思維是邏輯思維的先導(dǎo)，它滲透合在邏輯思維之中，如果沒(méi)有形象思維的滲入，邏輯思維就不可能很好地展開(kāi)。

2.數(shù)學(xué)概念的掌握——理解和深化過(guò)程

形成數(shù)學(xué)概念以后，還須進(jìn)一步理解和深化概念。使學(xué)生形成對(duì)概念的掌握，即進(jìn)入認(rèn)知過(guò)程的發(fā)展階段，其標(biāo)志是概念之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系的揭露，建立概念體系。這也意味著對(duì)概念有了進(jìn)一步的理解：⑴感性認(rèn)識(shí)于理性認(rèn)識(shí)已經(jīng)結(jié)合起來(lái)；⑵新概念與原有知識(shí)已有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)；⑶能用自己的語(yǔ)言表述出來(lái)。

對(duì)于數(shù)學(xué)概念的掌握，還要求將數(shù)學(xué)概念加以深化，深化的關(guān)鍵則是運(yùn)用，數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用，即看在實(shí)踐中能否將一般與個(gè)別密切聯(lián)系起來(lái)，是一般化與特殊化的思維方法在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用。只有從一般到特殊、特殊上升到一般的過(guò)程中。能將數(shù)學(xué)概念運(yùn)用自如，才意味著概念得到了深化。

二、通過(guò)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展培養(yǎng)邏輯思維能力

從某種意義上講，邏輯思維能力就是解決問(wèn)題的能力。思維活動(dòng)是對(duì)所研究的材料進(jìn)行加工的過(guò)程，通過(guò)邏輯推理，得到符合客觀規(guī)律的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)。因此要發(fā)展邏輯思維能力，應(yīng)該著重于邏輯思維能力的培養(yǎng)。

要培養(yǎng)邏輯推理能力，就要重視數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)。由于每一個(gè)數(shù)學(xué)命題，都是按照一定的邏輯關(guān)系構(gòu)成的，深入掌握命題的過(guò)程，就是邏輯推理能力增長(zhǎng)的過(guò)程。

邏輯思維對(duì)推理的基本要求是：推理要合乎邏輯，也即在進(jìn)行推理時(shí)要合乎推理的形式，遵守推理的規(guī)律。因此，必須通過(guò)推理思維的訓(xùn)練和推理形式的訓(xùn)練這兩個(gè)方面來(lái)培養(yǎng)邏輯思維能力。

1.推理的每一步都要求有邏輯依據(jù)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于命題的推論都要有正確的根據(jù)。要指導(dǎo)學(xué)生，能指出推理的每一步所作依據(jù)的定義、公理、定理。在運(yùn)算時(shí)，要自覺(jué)意識(shí)到運(yùn)算的每一步都是根據(jù)相應(yīng)公式法則（包括運(yùn)算律）來(lái)進(jìn)行。如果是作圖，則要讓學(xué)生清楚地認(rèn)清是根據(jù)哪一項(xiàng)基本作圖法來(lái)實(shí)施。

2.作關(guān)于聯(lián)想思維方法的訓(xùn)練

推理過(guò)程的思維活動(dòng)，要進(jìn)行頻繁的聯(lián)想，通過(guò)聯(lián)想“穿針引線”接通思路。應(yīng)做一些便于作縱向和橫向聯(lián)想的練習(xí)，以便在聯(lián)想的實(shí)踐中學(xué)會(huì)聯(lián)想。

3.作關(guān)于分類(lèi)思維方法的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)對(duì)象一般都包含多個(gè)側(cè)面，如果只從對(duì)象本身所直接顯露的一面來(lái)進(jìn)行推證，則易出現(xiàn)以偏概全的形象，以致產(chǎn)生遺漏等情況。因此，在推理進(jìn)行前，必須對(duì)推理的對(duì)象進(jìn)行全面、周密的觀察和思考，進(jìn)一步把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成若干種情況去考查，然后逐一進(jìn)行論證，這就需要使用分類(lèi)這種思維方法加以操作。注重于進(jìn)行分類(lèi)思維方法的訓(xùn)練，有助于周密的思考和合理的推理，以提高邏輯思維能力。

4.通過(guò)反例剖析，糾正邏輯性錯(cuò)誤

在中學(xué)教材和一些參考資料中，都有一些反例剖析的例子，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)給予重視，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，以加深自己對(duì)邏輯性錯(cuò)誤的印象，提高邏輯推理時(shí)的警覺(jué)。

最有效是推理形式的訓(xùn)練是加強(qiáng)三段論法的運(yùn)用。這種訓(xùn)練以在幾何學(xué)習(xí)中進(jìn)行為主，但在代數(shù)、三角學(xué)習(xí)中應(yīng)該加以必要的注意。

三、通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練培養(yǎng)邏輯思維能力

1.數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)邏輯思維的關(guān)系

⑴數(shù)學(xué)邏輯思維是借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)的。如在研究有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)或解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以畫(huà)一個(gè)草圖，也可以不作出圖形，而憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)思考。只有通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言這種物質(zhì)形式（說(shuō)出的、聽(tīng)到的、或看見(jiàn)的詞的信號(hào)），才能把所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象的共同本質(zhì)屬性和它們之間規(guī)律性的聯(lián)系固定下來(lái)，從而有可能進(jìn)行抽象、概括等邏輯思維活動(dòng)。⑵數(shù)學(xué)語(yǔ)言不能脫離數(shù)學(xué)思維而存在。由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身的意義就是通過(guò)數(shù)學(xué)思維——邏輯思維是其中核心而獲得的，數(shù)學(xué)語(yǔ)言必須要和數(shù)學(xué)思維聯(lián)系起來(lái)，才能有其數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，才能表達(dá)出數(shù)學(xué)思維所進(jìn)行的活動(dòng)。如果失去了數(shù)學(xué)思維所概括出來(lái)的數(shù)學(xué)特征，那它就不成為其數(shù)學(xué)語(yǔ)言了。因此，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力是培養(yǎng)邏輯思維能力的重要途徑。

2.注意提高運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力

在教學(xué)實(shí)踐中，“語(yǔ)病”是由于對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和運(yùn)用的能力薄弱所導(dǎo)致的思維的混亂。如：

①x2、︱a-2︱、√x-1都是正數(shù)（實(shí)際應(yīng)為非負(fù)數(shù)）；②三角形兩邊之和大于第三邊（應(yīng)為“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，不能漏去“任意”兩字）；③同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等（缺少了前提，漏了“兩條平行直線被第三條直線所截”這一狀語(yǔ)成分）；④大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊（缺少“同一三角形”這一狀語(yǔ)成分）。再如，關(guān)于“同類(lèi)項(xiàng)”的定義：“所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng)”。有的同學(xué)對(duì)條件中的“字母相同”不明確，以為只要有一個(gè)字母相同即可，以致出現(xiàn)3ax+5bx=8abx這類(lèi)錯(cuò)誤。

以上種種，都說(shuō)明了由于對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解和運(yùn)用上的薄弱導(dǎo)致了思維上的混亂。因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須重視對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力的提高。

1.要指導(dǎo)學(xué)生搞清楚數(shù)學(xué)語(yǔ)言的字義詞意

在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，每一個(gè)字、詞都有著確切的意義，要準(zhǔn)確地理解這些字、詞，就需要“咬文嚼字”（尤其是初中），如“x比y大a”，這是表示兩數(shù)之差，這個(gè)“比”是個(gè)連接詞，而“x與y的比是a”，則表示兩數(shù)之商，這里的“比”是個(gè)名詞，同一個(gè)“比”字就有不同的含義；“增加了”，后面的數(shù)是凈增數(shù)，不包括原數(shù)，而“增加到”，后面的數(shù)是凈增數(shù)與原數(shù)的和，要能準(zhǔn)確地把握“了”和“到”的不同意義。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的詞比較隱蔽，但起的都是關(guān)鍵作用，決不是可有可無(wú)的。如“a與b的絕對(duì)值的和”與“a與b兩數(shù)的絕對(duì)值的和”，兩者雖只有“兩數(shù)”二字之差別，但意義是不同的，前者表示的是“a+︱b︱”，后者則是表示“︱a︱+︱b︱”。但不少同學(xué)卻誤以為“兩數(shù)”這二字是可有可無(wú)的，因而兩者列出的卻是同一個(gè)式子。有的同學(xué)對(duì)于字在語(yǔ)言中的順序毫不在意，如“不都”與“都不”他們以為是同一個(gè)詞意。其實(shí)“不都”是對(duì)“都”的否定，一般有多種情況。而“都不”僅有一種情況。

2.要指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確地表述命題

正確理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力的強(qiáng)弱表現(xiàn)之一，是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確地?cái)⑹鰯?shù)學(xué)命題，為此，要指導(dǎo)學(xué)生從自己的實(shí)際出發(fā)，做針對(duì)性的練習(xí)。

在理解數(shù)學(xué)命題時(shí)，要對(duì)命題的字、詞逐詞逐字細(xì)細(xì)推敲。例如，在學(xué)習(xí)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”這一定理時(shí)，注意不能把“兩組”當(dāng)作“兩條”；不要以為“對(duì)”字可有可無(wú)；也要注意“分別”這一關(guān)鍵詞的重要作用。根據(jù)這種實(shí)際情況，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，可以通過(guò)變換教學(xué)語(yǔ)言中的字、詞，展開(kāi)比較、分析、思維操作，找出哪些字、詞作了變動(dòng)，對(duì)于表達(dá)命題的意義有何影響。通過(guò)比較。分析，并要求學(xué)生舉出例子加以說(shuō)明，就能加深對(duì)關(guān)鍵詞、字所起作用意義的理解。

對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可以采用“分解”的方法來(lái)學(xué)習(xí)。如對(duì)方程的同解原理2：“方程兩邊都乘以（或除以）不等于零的同一數(shù)，所得的方程是同解方程”。有的同學(xué)很難全面加以理解和掌握，為此，可把同解原理2“分解”為“方程兩邊都乘以（或除以）”、“不等于零的同一個(gè)數(shù)”、“所得的方程與原方程是同解方程”。抓住“都”、“同”這兩個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)學(xué)習(xí)。

3.采用簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行“變式”，逐步提高對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解、運(yùn)用能力

數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身抽象程度上也存在著層次之分，首先可用淺層次、簡(jiǎn)明易懂的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，由淺入深地逐步提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和運(yùn)用能力。例如，關(guān)于異面直線所采用的定義，下面的三種表述就是由淺入深的：

A既不平行又不相交的兩條直線，稱(chēng)為異面直線。

B不同在任何平面的直線稱(chēng)為異面直線。

C不在同一平面的兩條直線稱(chēng)為異面直線。

再做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，如找出正方體、四面體等中與某一條棱所在直線異面的那些棱所在直線，以加深對(duì)異面直線定義的理解和運(yùn)用。