全然

【摘要】結(jié)合Matlab在高等數(shù)學(xué)中的計(jì)算和繪圖功能，討論了Matlab在高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)中的作用.

【關(guān)鍵詞】Matlab軟件；高等數(shù)學(xué)；輔助教學(xué)

【項(xiàng)目資助】國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71201049）

高等數(shù)學(xué)是我國(guó)高等院校大多數(shù)專業(yè)要求必修的一門(mén)基礎(chǔ)課，學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要性毋庸贅述.然而，由于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容多，抽象性和邏輯性強(qiáng)，而課時(shí)相對(duì)較少，給教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”帶來(lái)了一定的難度.數(shù)學(xué)是一門(mén)“數(shù)”與“形”完美結(jié)合的科學(xué)，高等數(shù)學(xué)中數(shù)主要體現(xiàn)在初等函數(shù)的各種計(jì)算，而形則主要體現(xiàn)在初等函數(shù)的圖形.Matlab由美國(guó)的MathWorks公司于1984年開(kāi)發(fā)，和Mathematic、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件.與Mathematic、Maple相比，Matlab更擅長(zhǎng)計(jì)算，現(xiàn)在已發(fā)展成為一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，適合數(shù)學(xué)、電氣工程、計(jì)算機(jī)等多學(xué)科使用，幾乎成了國(guó)內(nèi)外大學(xué)生和研究生必須掌握的一項(xiàng)基本技能.Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算能力，可以實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中各種問(wèn)題的數(shù)值和符號(hào)計(jì)算；Matlab強(qiáng)大的繪圖功能可以實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中各種函數(shù)的圖形描繪.將Matlab用于高等數(shù)學(xué)的輔助教學(xué)，不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主觀能動(dòng)性，而且能改善教師的教學(xué)效果和質(zhì)量，達(dá)到教與學(xué)的良性互動(dòng)、共同提高.

1.應(yīng)用Matlab進(jìn)行計(jì)算有利于提高學(xué)生的主觀能動(dòng)性

在高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中，計(jì)算占據(jù)了大部分內(nèi)容，是名副其實(shí)的主角，主要包括一元函數(shù)和多元函數(shù)極限的求解、一元函數(shù)和多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的求解、一元函數(shù)的積分（包括不定積分和定積分）和多元函數(shù)積分的求解，以及向量與無(wú)窮級(jí)數(shù)相關(guān)問(wèn)題的求解等.毋庸置疑，掌握求解這些問(wèn)題的計(jì)算方法和計(jì)算技巧是大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本要求.然而，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多，計(jì)算復(fù)雜，而學(xué)時(shí)又相對(duì)較少，導(dǎo)致部分學(xué)生逐漸感覺(jué)高等數(shù)學(xué)枯燥乏味，不好學(xué)，不喜歡學(xué)，久而久之，就演變成了高等數(shù)學(xué)難學(xué)的不良局面.這樣，就出現(xiàn)了教師在課堂上傾心授課、學(xué)生在課桌上盡情酣睡的囧相，甚至有教師調(diào)侃自己有時(shí)上課是在自?shī)首詷?lè).

為了改善和扭轉(zhuǎn)這種不良的局面，基于Matlab求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的輔助教學(xué)方法是一種有益的嘗試和實(shí)踐.Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能和符號(hào)運(yùn)算能力，能夠?qū)崿F(xiàn)高等數(shù)學(xué)中絕大部分計(jì)算問(wèn)題的求解，尤其是符號(hào)運(yùn)算能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的精確求解.不僅如此，Matlab語(yǔ)言和高等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)及人類的思維非常接近，所以高等數(shù)學(xué)問(wèn)題很容易實(shí)現(xiàn)Matlab的求解.

如，利用Matlab求解limx→0arctanx，limx→-∞arctanx，limx→+∞arctanx，可編寫(xiě)如下的小程序進(jìn)行求解：

syms x

f_x= atan（x）；

res_1 = limit（f_x，x，0）；

res_2 = limit（f_x，x，-inf）；

res_3 = limit（f_x，x，inf）；

res_1

res_2

res_3

運(yùn)行結(jié)果為：res_1=0，res_2=-pi/2，res_3=pi/2，耗時(shí)0.51 s.再如，利用Matlab求解積分問(wèn)題∫10arcsinxdx，可編寫(xiě)如下程序進(jìn)行求解：

syms x

f_x = asin（x）；

res =int（f_x，0，1）；

res

運(yùn)行結(jié)果為：res=pi/2-1，耗時(shí)0.82s.需要說(shuō)明的是，如果手動(dòng)計(jì)算該定積分，則需要應(yīng)用分部積分法和換元積分法來(lái)進(jìn)行求解，自然沒(méi)有Matlab求解時(shí)快捷方便.

可見(jiàn)，應(yīng)用Matlab求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，編程簡(jiǎn)單、計(jì)算快捷.通過(guò)授課教師的課堂演示，能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，進(jìn)而主動(dòng)嘗試?yán)肕atlab編程求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題.在經(jīng)過(guò)一定數(shù)量題目的練習(xí)后，學(xué)生很有可能會(huì)不斷增加求解問(wèn)題的難度和復(fù)雜性來(lái)獲得成功解決問(wèn)題的成就感，潛移默化的提高了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，鍛煉了學(xué)生的自學(xué)能力.不僅如此，學(xué)生還可以通過(guò)手動(dòng)和Matlab兩種手段來(lái)分別實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，互相驗(yàn)證運(yùn)算結(jié)果，既掌握了問(wèn)題手動(dòng)的求解方法和計(jì)算技巧，又在Matlab的應(yīng)用中獲得了樂(lè)趣和成就感，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力.

需要指出的是，授課教師要注意引導(dǎo)學(xué)生不要本末倒置，更不要過(guò)度依賴應(yīng)用Matlab求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題.掌握求解高等數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的基本方法和基本技巧是學(xué)生的主要目標(biāo)，而學(xué)會(huì)應(yīng)用Matlab進(jìn)行相關(guān)計(jì)算只是一種輔助手段，兩者可以相輔相成、相得益彰.

2.應(yīng)用Matlab進(jìn)行圖形演示有利于改善教學(xué)效果

數(shù)學(xué)是一門(mén)“數(shù)”與“形”完美結(jié)合的科學(xué)，數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的圖形可以直觀的展示數(shù)學(xué)之美，大大提高了人們對(duì)客觀事物的直覺(jué)認(rèn)識(shí)，從而幫助人們能更直觀的認(rèn)識(shí)世界，更好地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題.Matlab不僅具有強(qiáng)大的計(jì)算能力，而且擁有優(yōu)秀的繪圖功能.從而在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，可借助Matlab的繪圖功能，實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的可視化教學(xué).

比如在學(xué)習(xí)空間二次曲面時(shí)，截痕法是認(rèn)識(shí)空間曲面圖形的重要方法，然而，有的學(xué)生不能很好掌握這一方法，有的學(xué)生即使對(duì)截痕法掌握的很好，還是對(duì)空間曲面的圖形認(rèn)識(shí)不夠清晰，不能想象出空間圖形的樣子，對(duì)教材上給出的圖形也半信半疑，自然也難以熟練掌握各種二次曲面的空間圖形，甚至將它們混淆在一起，給后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難.這時(shí)，就可以應(yīng)用Matlab來(lái)繪制曲面方程的圖形，讓學(xué)生獲得直觀的認(rèn)識(shí).為了獲得良好的視覺(jué)效果，可以對(duì)所畫(huà)圖形進(jìn)行著色處理，也可以從不同視角展示圖形，甚至可以做出動(dòng)畫(huà)的效果，使學(xué)生通過(guò)色彩鮮明、生動(dòng)有趣的動(dòng)畫(huà)效果認(rèn)識(shí)空間曲面圖形，增強(qiáng)學(xué)生的直觀印象，從而更好地建立空間曲面數(shù)學(xué)模型和空間圖形的聯(lián)系.再比如在學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，有的同學(xué)總是懷疑一般的任一函數(shù)竟然能用同樣類型的三角級(jí)數(shù)來(lái)表示.為了消除這種懷疑，可以借助Matlab的繪圖功能，一方面畫(huà)出函數(shù)的圖像，另一方面畫(huà)出不同項(xiàng)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)部分和的圖像，進(jìn)而對(duì)兩種圖像進(jìn)行比較，讓學(xué)生在直覺(jué)上體會(huì)隨著項(xiàng)數(shù)的增多，傅里葉級(jí)數(shù)會(huì)越來(lái)越逼近所給函數(shù)，從而可以加深級(jí)數(shù)能表示函數(shù)的理解和掌握.通過(guò)Matlab進(jìn)行圖形演示，給學(xué)生以生動(dòng)直接的視覺(jué)享受，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，自然能在一定程度上改善教師的教學(xué)效果.

3.應(yīng)用Matlab編程有利于提高學(xué)生的綜合能力

通過(guò)初始階段Matlab的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，學(xué)生逐漸掌握了Matlab求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和基本命令格式.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生就有興趣嘗試編程求解較為復(fù)雜的問(wèn)題，比如，利用Matlab編程求解一元函數(shù)或多元函數(shù)的最值.要實(shí)現(xiàn)Matlab求解函數(shù)的最值，大致有兩種方法.第一種方法是利用教材上的方法，這要求學(xué)生首先要掌握最值的求解方法和算法步驟，然后應(yīng)用Matlab編程實(shí)現(xiàn).在編程時(shí)，不僅要用到Matlab求解函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）的方法，還要用到Matlab求解（非線性/線性）方程或方程組的方法；而且能夠智能的輸入問(wèn)題和輸出結(jié)果.第二種方法則是直接調(diào)用Matlab的優(yōu)化工具包，相當(dāng)于求解有約束或無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題.對(duì)于第二種方法，授課教師可以不講，而是引導(dǎo)學(xué)生自己去查資料來(lái)學(xué)習(xí)掌握該方法.這不僅可以開(kāi)闊學(xué)生的視野，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.對(duì)于求解函數(shù)最值的這兩種方法，有的學(xué)生可能會(huì)經(jīng)過(guò)多次修改調(diào)試程序后才能最終運(yùn)行出正確結(jié)果，也正是在反復(fù)的修改和調(diào)試的基礎(chǔ)上，函數(shù)最值的求解方法得到鞏固，學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及編程的能力也會(huì)不斷得到鍛煉和提高，學(xué)生的綜合能力自然而然就得到了提高.

應(yīng)用Matlab進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的輔助教學(xué)，不僅能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主觀能動(dòng)性，而且能改善教師的教學(xué)效果，培養(yǎng)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及編程等方面的綜合能力，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的良性互動(dòng)，達(dá)到改善和提高教學(xué)質(zhì)量的效果.不僅如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)其他課程時(shí)，也可以應(yīng)用Matlab求解相關(guān)問(wèn)題，如，可以應(yīng)用Matlab求解線性代數(shù)和概率論課程中的相關(guān)問(wèn)題，而且，學(xué)生在參加諸如全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等課外活動(dòng)時(shí)，也可以應(yīng)用Matlab求解遇到的相關(guān)問(wèn)題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中享受快樂(lè)，在編程解決問(wèn)題中獲得成功.

【參考文獻(xiàn)】

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