徐曾春，盧洲（南京工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇南京211816）

基于HALLEN方程法的半波天線的參數(shù)計(jì)算*

徐曾春，盧洲
（南京工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇南京211816）

在現(xiàn)代電磁工程中，對(duì)于邊界不復(fù)雜的問(wèn)題，可用解析法得到精準(zhǔn)解，但較復(fù)雜的邊值問(wèn)題用解析法不能得到解答，需要數(shù)值法。在此導(dǎo)出HALLEN方程法，用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)，它能夠非常接近解析值，說(shuō)明其正確性。矩量法是求解電磁場(chǎng)邊界值問(wèn)題中一種行之有效的數(shù)值方法，利用矩量法將HALLEN法的積分方程化為差分方程，將積分方程中積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組，用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和仿真。最后得出結(jié)論，矩量法分析能夠接近其解析解，說(shuō)明其正確性。

矩量法；HALLEN方法；半波天線；MATLAB

0 引言

自赫茲和馬可尼發(fā)明了天線以來(lái)，天線在社會(huì)生活中的重要性與日俱增，如今已成不可或缺之勢(shì)。天線是人們見聞世界的耳目，是人類與太空聯(lián)系的紐帶，是文明社會(huì)的組成要素[1]。

矩量法是求解電磁場(chǎng)邊界值問(wèn)題中一種行之有效的數(shù)值方法，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種求解線性方程的方法[2]。矩量法[3-4]所做的工作是將積分方程化為差分方程，或?qū)⒎e分方程中的積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組，故它的主要工作是用計(jì)算機(jī)求解代數(shù)方程組，因而在電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方面得到了廣泛的應(yīng)用，并已得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的公認(rèn)。HALLEN E在1938年提出積分方程法[5-6]，首先從假定的電流分布用矢量磁位寫出天線表面外部的電場(chǎng)公式，然后令此電場(chǎng)等于天線表面內(nèi)部因克服集膚效應(yīng)引起的阻抗所需要的電場(chǎng)強(qiáng)度，由此求得表示電流分布的積分方程式。國(guó)內(nèi)外對(duì)半波天線的研究主要集中于激勵(lì)原理、特性、實(shí)驗(yàn)等方面的討論，而關(guān)于天線方向圖和電流分布等參數(shù)計(jì)算和分析很少。張黎明[7]、姜光興[8]等人利用矩量法對(duì)半波天線的參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算。HAFIANE A等人[9]利用天線陣模型對(duì)天線的參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算?；谝陨系难芯浚疚睦肏ALLEN方法計(jì)算并仿真出半波天線的電流分布、功率增益和方向圖，計(jì)算過(guò)程中不但簡(jiǎn)化了數(shù)值分析的復(fù)雜性，而且減小了計(jì)算量并提高了其精度。

1 天線的關(guān)鍵參數(shù)推導(dǎo)

1.1 矩量法的數(shù)學(xué)表述[7，10]設(shè)一個(gè)非其次方程為：

其中，L為微分算子或積分算子，f為待求的場(chǎng)量或響應(yīng)，g為已知的源或激勵(lì)。

設(shè)空間為線性的，在算子L的定義域內(nèi)選擇一組函數(shù){fn}，將待求函數(shù)f展開為它們的組合：

其中，an為待求系數(shù)，fn稱為基函數(shù)或展開函數(shù)，由自己選定。將式（2）代入式（1），并因L為線性算子，可得：

在L域內(nèi)選擇一組加權(quán)系數(shù)（或稱檢驗(yàn)函數(shù)）W1、W2、L、Wn的集合{Wm}，并對(duì)每個(gè)Wm取式（3）的內(nèi)積，可得：

式（4）可寫成如下的矩陣形式：

其中

如果[Lmn]有逆矩陣存在，記為[Lmn]-1，則待求系數(shù)an可由下式解得：

于是可將f寫成f=[fn][am]=[fn][Lmn]-1[gm]。

1.2 方向圖

將方向性函數(shù)以曲線方式描繪出來(lái)，稱之為方向圖。它是描述天線輻射場(chǎng)在空間相對(duì)分布隨方向（q，f）變化的圖形，通常指歸一化方向圖。

（1）立體方向圖

變化q和f得到的方向圖為立體方向圖，它綜合描述了天線在各個(gè)方向上的輻射情況。

（2）E面、H面方向圖

E面是包含最大輻射方向的電場(chǎng)矢量所在的平面。用E面去截取立體方向圖，則得到E面方向圖。

H面是包含最大輻射方向的磁場(chǎng)矢量所在的平面。用H面去截取立體方向圖，則得到H面方向圖。

1.3 半波對(duì)稱天線

由于半波天線是特殊的對(duì)稱天線，因此在這里先介紹對(duì)稱天線的概念，導(dǎo)出對(duì)稱天線的參數(shù)。

對(duì)稱天線由兩臂長(zhǎng)各為l、半徑為a的直導(dǎo)線或金屬管構(gòu)成，如圖1所示，它的兩個(gè)內(nèi)端點(diǎn)為饋電點(diǎn)。對(duì)稱天線是一種應(yīng)用廣泛的基本線形天線，它既可單獨(dú)使用，也可作為天線陣的組成單元。

圖1 對(duì)稱天線的輻射場(chǎng)計(jì)算

對(duì)稱天線上的電流分布為：

故對(duì)稱天線的輻射場(chǎng)為：

可見，對(duì)稱天線的歸一化方向性函數(shù)為：

1.4 功率增益

天線增益用來(lái)衡量天線對(duì)某一特定方向的收發(fā)信號(hào)的能力，定量地描述某一天線將輸入功率集中輻射的程度[11]。在相同距離和相同輸入功率的條件下，天線在最大輻射方向上的輻射功率密度Wmax和理想無(wú)方向性天線的輻射功率密度之比以G表示，即：

其中，Pin是實(shí)際天線輸入功率，Pin0是理想無(wú)方向性天線的輸入功率。

對(duì)于有耗情況：Wr=hAWmax，Pr=hAPin。

此時(shí)增益表達(dá)式可以寫成：

得到天線增益與方向系數(shù)的關(guān)系為：

天線的有效輻射功率可以表示為：

1.5 電流分布

從前面的介紹可知，HALLEN法從積分方程求解天線的電流分布，知道了電流分布和加在輸入端上的電壓。

2 仿真結(jié)果與分析

前面用HALLEN方法計(jì)算出了半波天線的電流分布、功率增益和方向圖參數(shù)的表達(dá)式，最后用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和可視化[12]。

2.1 電流分布

用MATLAB仿真，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同L/l電流分布圖

由圖2可知，半波振子天線L/l=0.5的電流分布最大，饋點(diǎn)電流最大，輻射電阻近似等于輸入電阻，因?yàn)榘氩ㄕ褡拥妮斎腚娏髡檬遣ǜ闺娏鳌?/p>

2.2 方向圖

將方向性函數(shù)以曲線方式描繪出來(lái)，稱之為方向圖。它是描述天線輻射場(chǎng)在空間相對(duì)分布隨方向（q，f）變化的圖形[8，13]。

E面方向圖（二維）如圖3所示。

圖3 不同L/l的E面方向圖

H面方向圖（二維）如圖4所示，歸一化的H面方向圖如圖5所示。

圖4 未歸一化的不同L/l的H面方向圖

圖5 歸一化的不同L/l的H面方向圖

結(jié)果分析：

（4）L/l＞1.25時(shí)，隨L/l增大，主瓣變窄變小，副瓣逐漸變大；L/l繼續(xù)增大，主瓣轉(zhuǎn)為副瓣，而原副瓣變?yōu)橹靼辏妶D5。

2.3 功率增益

在本文的1.4節(jié)介紹了天線的增益，這里直接給出仿真結(jié)果，如圖6所示。

（2）當(dāng)L/l＜＜1（短振子）時(shí)，方向函數(shù)和方向圖與電流元的近似相同。

（3）L/l＜1.25時(shí)，最大輻射方向?yàn)?/p>

圖6 不同L/l的功率增益

從圖6可以看出，半波振子即為L(zhǎng)=0.5l，觀察L= 0.5l的這條曲線可知，增益半波振子的增益G=1.646 1。

3 結(jié)論

本文利用HALLEN方法計(jì)算半波天線的電流分布、功率增益和方向圖，利用矩量法將HALLEN法的積分方程化為差分方程，將積分方程中積分化為有限求和，從而建立代數(shù)方程組，最后用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和可視化。

[1]謝處方，邱文杰.天線原理與設(shè)計(jì)[M].陜西：西北電訊工程學(xué)院出版社，1985.

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Parameters calculate of half-w ave antenna based on HALLEN equation method

Xu Zengchun，Lu Zhou
（College of Electronic and Information Engineering，Nanjing Tech University，Nanjing 211816，China）

In modern electromagnetic engineering，for the boundary uncomplex problems，analytic method can get accurate solutions，but more complex boundary value problem cannot be answered by analytical method，so we need numerical methods.In this article we derive HALLEN equation method，and use MATLAB software to solve.The results can be very close to the analytical value，indicating its correctness.Moment of method for solving electromagnetic boundary value problems is an effective numerical method，and we use the moment of method to convert the integral equation of HALLEN method into differential equations and the integral equation into finite sums.Thus we establish algebraic equations，then use MATLAB programming to obtain the parameters and realize the simulation.Finally，some numerical results are compared with the corresponding analytical solutions.As a result，the validity of method-of-moments is validated.

method-of-moments；HALLEN method；half-wave antenna；MATLAB

TN823

A

1674-7720（2015）14-0061-03

2015-01-19）

徐曾春（1973-），女，本科，工程師，主要研究方向：信號(hào)處理。

連云港市科技支撐計(jì)劃（SH1110）

盧洲（1988-），通信作者，男，碩士研究生，主要研究方向：無(wú)線通信，信號(hào)處理。E-mail：luzhou2004@126.com。