朱國慶

設(shè)計理念

從意外獲得啟發(fā)，向?qū)W生提供了一個充分從事數(shù)學(xué)活動的機會.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，喚起求知欲，幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本數(shù)學(xué)知識與技能，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力，享受學(xué)習(xí)的快樂.

教學(xué)流程

一、課前準(zhǔn)備

作圖工具準(zhǔn)備：直尺，三角尺，圓規(guī)，鉛筆，橡皮等

幾何知識準(zhǔn)備：全等三角形的意義和性質(zhì)，作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角等.

二、引入、新授、鞏固

教師：先請同學(xué)們在課堂練習(xí)本上用直尺隨意畫一個△ABC，不論邊的長短，不論角的大小.”

板書：作△A1B1C1，使得A1B1=AB，∠B1 = ∠B，B1C1 = BC.

這些對于學(xué)生來說并非一件難事.因為△ABC的形狀已經(jīng)事先擺出，比起下一節(jié)的作三角形，難度降低不少.而作一條線段等于已知線段是七年級的內(nèi)容，學(xué)生掌握良好；作一個角等于已知角，

學(xué)生甲的作法：作∠B1 = ∠B，作線段A1B1 = AB，B1C1 = BC.△A1B1C1就是所求作的三角形.

在完成鞏固練習(xí)之后，通過課內(nèi)練習(xí)3強調(diào)SAS條件夾角的重要性.照舊要通過一個反例說明問題，然而出乎意料的是，原本平淡無奇的舉例因為兩名學(xué)生的意外圖形再度令整個教學(xué)異彩紛呈，滿室生輝.

三、反 例

如果兩個三角形有兩邊和一個角對應(yīng)相等，這樣的兩個三角形一定全等嗎？

教師提示：SAS條件說，兩邊必須是夾這個角的兩邊，不然又會怎么樣呢？請同學(xué)們再來用尺規(guī)作△A1B1C1，使得∠B1 = ∠B，A1B1 = AB，C1A1 = CA.

板書：作△A1B1C1，使得∠B1 = ∠B，A1B1 = AB，C1A1 = CA.

學(xué)生乙的作法：作∠B1 = ∠B，A1B1 = AB.以A1為圓心，CA長為半徑作圓弧交∠B1的另一邊于C1，D1. △A1B1C1與△A1B1D1都是所求作的三角形.

教學(xué)反例的成功構(gòu)造不僅要求學(xué)生對真命題本身能牢固掌握，而且要求有廣泛全面的思考問題能力，因此對大多數(shù)學(xué)生來說困難不小.正是由于學(xué)生對這兩種作圖的疑惑，讓我意識到對反例的說明不能如原先打算一般輕描淡寫，翩然收場，而是需要作進一步的深入.

四、特殊全等

SSA命題敘述：如果兩個三角形有兩邊和其中一組對應(yīng)邊的對角對應(yīng)相等，那么這樣的兩個三角形全等.

學(xué)生丙的作法：作∠B1 = ∠B，作線段B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧與∠B1的另一邊只相交于一點C1.△A1B1C1就是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.

圓弧與∠B1的邊只產(chǎn)生一個交點（切點），完全緣于△ABC的特殊性.我讓學(xué)生觀察學(xué)生丙的圖形，并且提出了這樣一個要求：請同學(xué)們觀察思考∠ACB與∠A1C1B1的度數(shù)！

學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這兩個角都是直角.

教師：這名同學(xué)非常聰明，想出了SSA的特殊全等條件.但是大多數(shù)同學(xué)的圖形中，圓弧與∠B1的邊都有兩個交點.因此符合作圖條件的三角形有兩個.請問得到的兩個三角形是不是都和全等呢？

學(xué)生：一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等.

教師：那么就請同學(xué)們回憶一下，三角形按內(nèi)角大小可以分為哪幾種類型？

學(xué)生：銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形.

教師：同學(xué)們已經(jīng)知道SSA條件下的兩個三角形不一定全等.但是通過剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)只要對兩個三角形的類型附加條件，它們就能全等.誰能來總結(jié)一下？

我分別請三種三角形的同學(xué)給出結(jié)論.

SSA全等方案1：如果兩個三角形都是銳角三角形（直角三角形，鈍角三角形），那么SSA成立.

學(xué)生丁的作法：作∠B1 = ∠B，作線段B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧與∠B1的另一邊交于C1，與∠B1的這一邊的反向延長線交于D1.只有△A1B1C1是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，作圖效果如學(xué)生乙的（圓弧與角的邊的兩個交點都在射線上） BA > AC，B1A1 > A1C1，作圖效果如學(xué)生丁的（圓弧與角的邊的交點分別在射線和射線的反向延長線上） BA < AC，B1A1 < A1C1.

SSA全等方案2：如果兩個三角形中這個角的對邊是兩邊中的較大邊，那么SSA成立.

教師：把△ABC中的∠B設(shè)計成直角和鈍角，然后按SSA的要求畫△A1B1C1……

學(xué)生戊的作法：作∠B1 = 90°，B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧交∠B1的另一邊于C1，交這一邊的反向延長線于D1.△A1B1C1和△A1B1D1都是所求作的三角形.

△A1B1C1 ≌ △ABC，△A1B1D1 ≌ △ABC.

SSA全等方案3：如果兩個三角形的這個對角都是直角，那么SSA成立.

這個方案相當(dāng)于以后判定直角三角形全等的HL定理.

學(xué)生己的作法：作鈍角∠B1 = ∠B，作線段B1A1 = BA.以A1為圓心，AC長為半徑作圓弧與∠B1的另一邊交于C1，與∠B1的這一邊的反向延長線交于D1.△A1B1C1就是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.