林菡密， 孫紹榮

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093； 2.杭州師范大學(xué) 錢江學(xué)院,浙江 杭州 310036)

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密封第一價格拍賣中的競拍者串謀分析
——基于“強”卡特爾的第一價格預(yù)拍

林菡密1,2， 孫紹榮1

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093； 2.杭州師范大學(xué) 錢江學(xué)院,浙江 杭州 310036)

已有密封一價拍賣競拍者串謀均衡研究中存在不符合現(xiàn)實的諸多約束，鑒于此，在串謀只包含部分競拍者、串謀成員與非串謀爾成員間形成獨立、非對稱以及連續(xù)的價值分布并同時存在競價策略互動的假設(shè)下，建立串謀方和非串謀方互動的競價優(yōu)化模型以及拍賣方的保留價格優(yōu)化模型，得到串謀方和非串謀方的最優(yōu)競拍出價以及競拍方的最優(yōu)保留價格。結(jié)果表明串謀方和非串謀方的出價策略不僅與自身的估價、競標(biāo)人數(shù)、串謀人數(shù)相關(guān)，也與對方的估價存在關(guān)聯(lián)性；拍賣方的最優(yōu)保留價格設(shè)定與非串謀方和串謀方的價值分布存在關(guān)聯(lián)。

第一價格預(yù)拍；“強”卡特爾；競拍者串謀；非對稱性；保留價格

0 引言

拍賣在經(jīng)濟領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，引起了許多學(xué)者的重視，近年來有不少拍賣方面的科研成果[1～3]，然而這些成果都是基于標(biāo)準(zhǔn)拍賣模型，即假設(shè)拍賣中不存在串謀問題，然事實是不管拍賣方采取何種拍賣方法，都存在競拍者串謀現(xiàn)象，只是不同的拍賣機制下串謀的穩(wěn)定性不同。理論上，第一價格密封拍賣比第二價格密封拍賣[4～8]更不容易產(chǎn)生串謀[9～12],因此在在實踐上，第一價格密封拍賣也被廣泛應(yīng)用于各種采購事物中，但Porter & Zona[13,14]、 Bajari and Ye[15]、Gaurab and Maria[16]采用貝葉斯方法、非參數(shù)檢驗方法等不同的方法檢測到第一價格密封拍賣拍賣在高速公路建設(shè)、學(xué)校牛奶采購、小麥拍賣等各行業(yè)應(yīng)用中確實存在競拍者串謀現(xiàn)象。研究充分表明，通過一價拍賣或者二價拍賣的預(yù)拍機制確定串謀組織在正式拍賣中的競拍代表，并在正式拍賣中采用控制非競拍代表的串謀合作者的競拍出價以保證串謀收益的實現(xiàn)[17～19]，同時以強制執(zhí)行地區(qū)分配(territory allocation)、輪流坐樁(bid rotation)、虛假(互補)出價(phony bidding)等手段以維持組織內(nèi)部的穩(wěn)定性。

第一價格預(yù)拍串謀機制有著與第二價格預(yù)拍不同的性質(zhì)，從而決定了第一價格預(yù)拍更具研究難度：首先，第一價格預(yù)拍的串謀機制不是激勵相容的，無法自我實施，此時的串謀組容易遭致背叛從而使得串謀不穩(wěn)定。為了簡要說明這一點，考慮所有競拍者都參與了串謀。假設(shè)最高價值大于拍賣方設(shè)定的保留價格，串謀組織可以只提交一份等于保留價格的報價，并確保其他報價都不超過這個數(shù)目，從而以保留價格獲得物品?，F(xiàn)在考慮某個競拍者，他的價值在保留價格以上，卻不是最高的，因此，他就有激勵去采取偏離協(xié)議規(guī)定的行動，以剛剛超過保留價格的報價贏得該物品。其次，第一價格預(yù)拍的串謀機制運作會自然在串謀方和非串謀方之間引入不對稱性[14](假使串謀不存在時，所有競拍者事先是對稱的。)，從而使得串謀方和非串謀方的出價策略發(fā)生了變化。而在第二價格預(yù)拍中則不存在這種情況，按價值出價仍然是占優(yōu)策略，串謀方的存在也不會影響非串謀方的策略。

McAfee and McMillan[20]、Marshall and Marx[21]、Lopomo and Marx[19]和敬輝蓉[22]都對第一價格預(yù)拍做出了一定研究。文獻(xiàn)[20]設(shè)計了兩種第一價格預(yù)拍下的串謀機制——強卡特爾和弱卡特爾(強卡特爾可以在組織內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付而弱卡特爾則不行)，在假設(shè)正式拍賣中存在一個包含了所有潛在競拍者的串謀團體(且人數(shù)確定)的條件下，證明了強卡特爾和弱卡特爾下的最優(yōu)串謀機制。強卡特爾的最優(yōu)機制是在組織內(nèi)進(jìn)行預(yù)拍賣，獲勝者在正式拍賣中以保留價格出價，而其他成員則不參與競標(biāo)，獲勝者將預(yù)拍賣中的報價通過轉(zhuǎn)移支付分配給其他卡特爾成員；弱卡特爾的最優(yōu)機制是所有競標(biāo)者以統(tǒng)一價格出標(biāo)，并不進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付。文章的最后也考慮到了卡特爾不一定能包含所有的競拍者的現(xiàn)實情況，并對卡特爾只包含部分潛在競標(biāo)成員的情況進(jìn)行了簡略的分析：(1)非串謀成員考慮到串謀方的存在，對串謀方的出價做出策略性反映。(2)所有競拍者的對拍賣物品的估價是在區(qū)間[0,1]上的離散分布，而沒有考慮到連續(xù)分布的情況，而且所有成員的估價是對稱的。文獻(xiàn)[21]在文中提出了BCM(bid coordination mechanism)和BSM(bid submission mechanism)兩種預(yù)拍機制——BCM機制規(guī)定卡特爾內(nèi)部能進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付并且為串謀成員建議出價，但是沒有權(quán)利控制競拍者的出價。BSM機制中規(guī)定卡特爾有權(quán)利控制串謀成員的出價，其中一種解釋就是卡特爾選出一位代表參加正式拍賣并能阻止其他串謀者參與競拍。作者主要研究了兩種拍賣機制在第一價格密封拍賣和第二價格密封拍賣下的生存能力和收益性。文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步證明BCM機制在第一價格拍賣中雖然無法增加收益但一定能保證串謀的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[22]研究了第一價格預(yù)拍“強”卡特爾串謀機制中，串謀方在預(yù)拍賣和正式拍賣中的最優(yōu)報價。

綜上，關(guān)于第一價格預(yù)拍的研究存在以下幾點不足：(1)主要考慮卡特爾包含了所有潛在的競拍成員情況；(2)當(dāng)考慮到卡特爾沒有包含所有競拍者時，認(rèn)為非串謀成員會對串謀成員做出策略性反映，但是所有競拍者的對拍賣物品的估價是在集合{0,1}上的離散的對稱分布，而沒有考慮到連續(xù)的非對稱分布的情況；(3)在密封第一價格正式拍賣中，串謀方和非串謀方之間并未形成策略互動。

本文在以往研究的基礎(chǔ)上，以基于“強卡特爾”第一價格預(yù)拍的第一價格密封正式拍賣中的競拍者顯性串謀機制為研究對象，關(guān)注正式拍賣中事實情況——卡特爾并不總能包含所有競拍成員，此時非串謀成員和串謀成員一般會考慮對方的存在而形成競價策略上的互動，并且串謀方與非串謀方之間的價值分布是非對稱且連續(xù)的——的基礎(chǔ)上，主要考察了以下二個問題：(1)采用非對稱拍賣均衡的視角研究串謀方與非串謀方在正式拍賣中互動的競拍出價規(guī)律；(2)拍賣方針對競拍者可能存在的串謀行為從保留價格上采取的策略響應(yīng)。

1 預(yù)拍賣、正式拍賣的執(zhí)行過程及其假設(shè)條件

1.1 預(yù)拍賣、正式拍賣的執(zhí)行過程

本文設(shè)計的拍賣存在兩個階段，第一階段為正式拍賣之前的價格串謀預(yù)拍賣，串謀方能夠正常運作的前提是選擇并執(zhí)行一種價格串謀的機制，本文采用的是“強卡特爾”第一價格預(yù)拍的串謀機制，該串謀機制的具體實施如下：考慮存在一個協(xié)調(diào)串謀組織活動的中心執(zhí)行已經(jīng)確定的強卡特爾下的第一價格預(yù)拍預(yù)拍機制，特定的內(nèi)容包括：①將代表串謀方出席正式拍賣活動的權(quán)利分配給具有最高估價的成員；②確定代表成員應(yīng)支付給中心的轉(zhuǎn)移支付的數(shù)額為預(yù)拍賣中獲勝競拍者提出的報價；③將代表成員向中心提交的轉(zhuǎn)移支付分配給串謀組織內(nèi)的所有成員(包括競拍獲勝者)；④建議正式拍賣中，代表成員低于其估價出價，所有其他串謀組織的成員不參與競價、提交零報價或者以保留價格出價；⑤對背叛組織的成員實行某種方式的懲罰。

第二階段為預(yù)拍賣之后的正式拍賣，正式拍賣采用的是密封第一價格拍賣。拍賣方公布保留價格，所有估價高于保留價格的潛在拍賣者都會實際參與拍賣，參與拍賣的成員根據(jù)自己的估價向拍賣方密封遞交報價，遞交報價最高的成員贏得物品(最高價提交者有可能是串謀成員也有可能是非串謀成員)，以其報價為最終成交和支付的價格。如果有兩個或者更多的競拍者具有相同的最高報價，那么他們就以相等的概率贏得該物品。

1.2 模型假設(shè)條件

基于上文對第一價格預(yù)拍“強”卡特爾串謀機制和密封第一價格正式拍賣兩者的運作過程和性質(zhì)的分析，下文設(shè)計的模型存在如下假設(shè)條件：

①參與正式拍賣的競標(biāo)者人數(shù)為N，其中參與價格串謀的人數(shù)為K(2≤K

②競標(biāo)者和拍賣方都是風(fēng)險中性；

④暫時假設(shè)，第一價格預(yù)拍“強”卡特爾機制中存在一個均衡，其中串謀方和非串謀方分別相應(yīng)地采用策略βc和βn，進(jìn)一步假設(shè)βc和βn是遞增的可微函數(shù)。

⑤假定串謀組織能夠采用某些懲罰措施，使得串謀成員被組織要求以不能中標(biāo)的價格出價時他也不會背離串謀機制。此時，強卡特爾的第一價格預(yù)拍雖不能阻止卡特爾成員向組織撒謊，但能夠引導(dǎo)串謀成員遵守串謀機制。

⑥最后，也是本文的重點假設(shè)非串謀方考慮到串謀方的存在，會在出價競標(biāo)策略上進(jìn)行策略性響應(yīng)。

2 串謀方和非串謀方的策略互動

本文第二部分內(nèi)容將考察，在密封第一價格正式拍賣中，串謀方和非串謀方在出價競標(biāo)策略上的互動性問題。

由于串謀組織未包含所有潛在競標(biāo)成員，因此最后中標(biāo)的有可能是串謀方也有可能為非串謀方的其中之一成員。假設(shè)b1為正式拍賣中的最高出價(根據(jù)密封第一價格拍賣規(guī)則b1也為中標(biāo)者的支付價格)。

(4)

(5)

由(4)(5)可得

(6)

(7)

化簡后得：

兩邊同時求積分得到：

最終可得：

(8)

如下圖1給出N=3,K=2時非串謀方在不同z值下的最優(yōu)策略βn(νn)對比。從圖中可以看出隨著z值得增加，串謀方和非串謀方的信息差距增大，因而對于非串謀方而言其最優(yōu)策略的取值區(qū)間隨z值得增加而在縮小。表明作為弱勢方隨著z值的增加而縮小，且下限在不斷隨之增大，這表明作為弱勢方隨著z值得增加，其在競拍中更為弱勢，為了獲得競拍，隨著z值得增加其需要支付更多。

圖1 N=3,K=2時非串謀方在不同z下的最優(yōu)策略βn(νn)對比圖

同理(7)式，根據(jù)F和G的分布可得：

對上式求一階條件并簡化，可得：

兩邊求積分：

可以得到關(guān)于βc(νc)和估價、正式拍賣中的出價、以及參加拍賣的人數(shù)和串謀人數(shù)的關(guān)系式：

(9)

如下圖2給出N=3,K=2時非串謀方在不同z值下的最優(yōu)策略βc(νc)對比。從圖中可以看出隨著z值的增加，串謀方和非串謀方的信息差距增大，因而對于串謀方而言隨著z值的增加其獲得競拍的估值下限在隨之降低，即隨著z值的增加，強弱之間的差距更大，作為強勢方的串謀方獲得競拍的估值下限在不斷降低，即對他們估值的要求在不斷放寬，其可以以更低的估值來確定最優(yōu)策略從而獲得競拍。

圖2 N=3,K=2時串謀方在不同z值下的最優(yōu)策略βc(νc)對比圖

3 基于串謀方和非串謀方策略互動的拍賣方策略性響應(yīng)

本文第三部分分析了拍賣方考慮串謀方和非串謀方在出價競標(biāo)策略的互動性從而以保留價格的變動作為策略性響應(yīng)。這里沿用上文b1為正式拍賣中的最高報價(即正式拍賣中的中標(biāo)者支付價格)，同時為了分析方便，增加以下假設(shè)：①拍賣方對拍賣物品的估價為V0；②Y(1)和Y(2)分別表示正式拍賣中的最高和次高順序統(tǒng)計量，當(dāng)所有競標(biāo)者的估價都小于保留價格r，即Y(2)

(1)當(dāng)Y(2)

①Y(1)是非串謀方某個成員的最高順序統(tǒng)計量，也就是說非串謀成員之一估價大于r，且在正式拍賣中為最高估價，其余非串謀成員的估價都小于r，同時，K個串謀成員的估價也都小于r，此種情況發(fā)生的概率為：(N-K)[1-G(r)]G(r)N-K-1F(r)k。

②Y(1)是串謀方某個成員的最高順序統(tǒng)計量，也就是說參與串謀的K個競標(biāo)者中至少有一個競標(biāo)者的估價大于r，且在正式拍賣中為最高估計，而其他N-K個非串謀成員估價都小于r，此種情況發(fā)生的概率為[1-Fk(r)]G(r)N-K。

通過對以上兩種情況的分析，可得Y(2)

Pr(Y(2)

那么拍賣方此時的收益為：

πs=(b1-v0)Pr(Y(2)

(10)

(2)當(dāng)r

Pr(r

這種情況下，拍賣方所得到的收益為：

πs=(b1-ν0)Pr(r

(11)

綜上，在競拍成功情況下，拍賣方的收益為(10)+(11)即：

πs=(b1-ν0)[1-FK(r)GN-K(r)]

(12)

求一階條件可得：

(13)

4 結(jié)論

本文研究了密封第一價格正式拍賣下的競拍者串謀問題，且以串謀方內(nèi)部實行具有轉(zhuǎn)移支付的“強”卡特爾第一價格預(yù)拍機制為前提。雖然已有文章對第一價格預(yù)拍賣機制進(jìn)行研究，但已有研究成果主要存在一下幾點不足：(1)主要考慮卡特爾包含了所有潛在的競拍成員情況；(2)當(dāng)考慮到卡特爾沒有包含所有競拍者時，認(rèn)為非串謀成員會對串謀成員做出策略性反映，但是所有競拍者的對拍賣物品的估價是在集合{0,1}上的離散分布，而沒有考慮到連續(xù)分布的情況；(3)在密封第一價格正式拍賣中，串謀方和非串謀方之間并未形成非對稱的價值分布。而在事實情況中，正式拍賣中，串謀方并不總能包含所有競拍成員，當(dāng)存在非串謀方時，非串謀成員一般會考慮串謀情況的存在，形成串謀方與非串謀方之間的非對稱的連續(xù)的價值分布，基于這種價值分布，在正式拍賣中，非串謀方與串謀方在競價策略上形成互動，研究得到兩個主要結(jié)論如下：(1)串謀方和非串謀方的出價策略不僅與自身的估價、競標(biāo)人數(shù)、串謀人數(shù)相關(guān)，也與對方的估價存在關(guān)聯(lián)性。特別地，考慮到串謀方的存在，非串謀方在正式拍賣中出價時會隱藏自身的真實估價。(2)拍賣方的最優(yōu)保留價格設(shè)定與非串謀方和串謀方的價值分布存在關(guān)聯(lián)。特別地，拍賣方在面臨全包含卡特爾情況下設(shè)置的最優(yōu)保留價格是面臨部分包含卡特爾情況下設(shè)置的最優(yōu)保留價格的特例。

本文是對單期單物品的IPV的擴展研究,而在實際拍賣領(lǐng)域，多物品的拍賣廣泛存在，同時重復(fù)拍賣中價格串謀更加穩(wěn)定。所以在本文已有模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計針對多物品重復(fù)拍賣的價格串謀問題的防范機制是未來研究的方向所在。

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Analysis of Bidder Collusion in First-Price Sealed-Bid Auction——based on “Strong” Cartel Mechanism of First-Price Pre-auction Knockout

LIN Han-mi1,2, SUN Shao-rong1

(1.Business college, university of shanghai for science and technology, Shanghai 200093, China; 2.Qianjiang college, Hangzhou normal university, Hangzhou 310036, China )

The existing researches of bidder collusion in first-price sealed-bid auction have many constraints that do not conform to the reality. In view of this, by the assumption that cartels include only a partial of the bidders, collusive and non-collusive members whose value are independent,continuous and asymmetric will respond strategically to each other on bidding, this paper gets the optimal bidding price of collusive members and non-collusive members and the optimal reserve price of the auctioneer. As a result, bidding strategy of collusive and non-collusive members is not only decided by their own valuations, the numbers of bidders, the number of collusive members, but also the valuations of the other side. Optimal reserve price is related to valuation distribution of collusive and non-collusive members.Key words:first-price pre-auction knockout; “strong cartel”; bidder collusion; asymmetric distribution; reserve price

2013-12-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(70871080，71171134)；上海市教委科研創(chuàng)新重點項目(11ZS138)；上海市哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃課題(2011BGL006)；上海市一流學(xué)科建設(shè)項目(S1201YLXK)；杭州市哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃課題(D14GL01)

林菡密(1981-)，女，浙江奉化人，博士生；孫紹榮(1954-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，中國系統(tǒng)工程學(xué)會教育系統(tǒng)工程專業(yè)委員會副主任兼秘書長，研究方向：制度的工程化設(shè)計方法。

F713.359

A

1007-3221(2015)03- 0258- 08