張建成 ，賈金青，馬英超

（大連理工大學(xué)海岸與近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

非線(xiàn)性 Cosserat擴(kuò)展模型及在地下巖體工程中的應(yīng)用

張建成 ，賈金青，馬英超

（大連理工大學(xué)海岸與近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

摘要：由于Cosserat連續(xù)介質(zhì)應(yīng)力、應(yīng)變張量的非對(duì)稱(chēng)性，經(jīng)典的Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則在Cosserat連續(xù)介質(zhì)中不可直接應(yīng)用，故需推導(dǎo)宜于Cosserat連續(xù)介質(zhì)彈塑性有限元分析的Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，并將其應(yīng)用于互層巖體Cosserat擴(kuò)展本構(gòu)模型?；诘认驈?qiáng)化模型和增量型的塑性勢(shì)理論，利用MATLAB平臺(tái)分別編寫(xiě)Cosserat連續(xù)介質(zhì)及經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)的有限元程序，并對(duì)在互層巖體中開(kāi)挖的洞室進(jìn)行了變形分析。結(jié)果表明，對(duì)應(yīng)力梯度不可忽略、彎曲效應(yīng)比較明顯的結(jié)構(gòu)體，Cosserat介質(zhì)法不僅計(jì)算更簡(jiǎn)便，而且有更好的適用性。

關(guān)鍵詞：Cosserat理論；互層巖體；擴(kuò)展模型；彈塑性有限元

20個(gè)世紀(jì)80至90年代，Cosserat理論開(kāi)始應(yīng)用于地下巖體工程領(lǐng)域。Adhikary、Mühlhaus［1-4］、佘成學(xué)、陳勝宏［5-6］及劉?。?-8］等為驗(yàn)證該理論在巖土工程（特別是層狀巖體）中的有效性、適用性及數(shù)值模擬等方面做了很多卓有成效的工作。由于層狀巖體中順層滑移和彎曲變形破壞等特點(diǎn)尤為突出，與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論相比，該理論能更好地分析層狀巖體中的破壞現(xiàn)象。平面及空間狀態(tài)下互層巖體的Cosserat擴(kuò)展本構(gòu)模型由李銀平、楊春和等［9-10］建立而成。由于楊樂(lè)［11］利用王啟耀［12］的層狀巖體屈服條件過(guò)于簡(jiǎn)化，僅適用于兩種巖層彈模相差較大的情況，通用性較差。本文基于彈塑性力學(xué)的張量理論，參照李育超等［13］推導(dǎo)宜于Cosserat介質(zhì)的廣義Mohr-Coulomb塑性屈服條件，并運(yùn)用MATLAB數(shù)值模擬軟件編寫(xiě)平面應(yīng)變情形下Cosserat擴(kuò)展模型的彈塑性有限元程序，并用算例驗(yàn)證了程序的有效性及模型的優(yōu)越性。

1　二維Cosserat擴(kuò)展模型

1.1二維Cosserat理論基本方程

Cosserat理論是Cosserat兄弟［14］于1909年首先提出，又稱(chēng)偶應(yīng)力理論。其具有一定特征尺度的單元體上除受常規(guī)應(yīng)力外 ，還有偶應(yīng)力的作用。對(duì)于平面問(wèn)題的單元體有兩個(gè)平動(dòng)分量和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量。

圖1　單元體的廣義應(yīng)力

將Cosserat介質(zhì)理論中單元體滿(mǎn)足的平衡方程、幾何方程、相容方程、邊界條件以及本構(gòu)方程用張量形式統(tǒng)一表示為

式中：fj、v分別為單元體的體積力、體積力偶；pj、m分別為單元體邊界上的面力和面力偶 ；ωC為Cosserat單元體的轉(zhuǎn)角；Eijkl、Bi為材料經(jīng)典彈性常數(shù)；i、j均取1、2；eij為排列算子。

1.2Cosserat彈性擴(kuò)展模型的本構(gòu)關(guān)系［9-10，14-15］

地下巖體工程中常遇到互層巖體，即在兩層巖體之間有一層較薄特性不同的巖體。單獨(dú)模擬對(duì)其往往很難。對(duì)這種巖體，考慮具有不同力學(xué)特性相鄰巖層之間的細(xì)觀(guān)位移協(xié)調(diào) ，引入偶應(yīng)力，利用其非對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力、應(yīng)變張量，建立宏觀(guān)平均意義下考慮細(xì)觀(guān)彎曲效應(yīng)的Cosserat介質(zhì)擴(kuò)展本構(gòu)模型。

在平面應(yīng)變情況下，該模型由經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論推導(dǎo)出Cosserat介質(zhì)擴(kuò)展的本構(gòu)關(guān)系時(shí)利用三個(gè)假設(shè)，即連續(xù)性假設(shè)、平截面假設(shè)和小變形假設(shè)。模型中所取單元體包含兩種物理性質(zhì)不同、厚度不同的材料，如圖2所示。

圖2　層內(nèi)正應(yīng)力

在滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)時(shí)，單元體中兩種介質(zhì)的厚度、物性均有不同，其上的正應(yīng)力分布也不再均勻。故考慮將Cosserat應(yīng)力類(lèi)似地定義為沿 x2方向在單元體高度上的平均化：

我想起我在牢獄里度過(guò)的三年青春，不知道用什么來(lái)補(bǔ)償。我說(shuō)我真后悔當(dāng)年那一磚頭沒(méi)砸死他，只讓他縫了八針。是我，一浩說(shuō)，那一磚頭是我砸的。多年以來(lái)，我一直不能確定那一磚頭到底是不是我砸的。除了一浩以外，所有人（包括我）都認(rèn)為是我砸的。我只記得我站在那人面前，痛罵他，煽他耳光，用磚頭砸他的摩托車(chē)。然后他大叫一聲捂著后腦勺趴倒在地。一浩一直在他身后?；貞涀屖聦?shí)更加清晰，我知道是一浩，但我自始至終堅(jiān)持這一磚頭是我拍的。那時(shí)一浩正復(fù)習(xí)考研。一浩說(shuō)，是我，我一直很后悔，當(dāng)時(shí)沒(méi)敢承認(rèn)。我說(shuō)，一浩，別管誰(shuí)砸的，都是為了我。一浩哭了，我摟住他的肩。

式中 ：ˉσ11A、ˉσ12A、ˉσ11 B、ˉσ12B分別代表各巖層應(yīng)力的均值，上標(biāo)“C”特指Cosserat介質(zhì)點(diǎn)的量。

由于單元體中兩巖層的彈性模量及泊松比均不同，為了滿(mǎn)足前兩個(gè)假設(shè)條件，應(yīng)力分布沿整個(gè)截面不再是連續(xù)和等梯度的，如圖3所示。

圖3　復(fù)合層的偶應(yīng)力與曲率

復(fù)合層的偶應(yīng)力定義為：h/2式中的 σ11As、σ11 Bs分別代表A、B層的實(shí)際正應(yīng)力 ；x20為“復(fù)合層”中性軸的位置。由于沿層面方向是均勻的，故沒(méi)有考慮 m23作用。

建立Cosserat擴(kuò)展模型的本構(gòu)方程 ε=Cσ，其矩陣表達(dá)式為：

其中：式中：E′=E/（1-μ2）、μ′=μ/（1-μ），E、μ、G分別為經(jīng)典意義上的彈性模量、泊松比與剪切模量；h 為A、B巖層厚度之和，α為體積分量：αA=hA/h；αB=hB/h。GC為Cosserat剪切模量。

2　Cosserat連續(xù)介質(zhì)下的屈服條件［13］

屈服準(zhǔn)則是用來(lái)確定塑性變形時(shí)的應(yīng)力水平，經(jīng)典理論中，屈服準(zhǔn)則可通過(guò)三個(gè)應(yīng)力不變量 I1、J2和 J3來(lái)表示：

F（σij，κ）=f（I1，J2，J3，κ）≤0（5）式中：κ是與材料有關(guān)的強(qiáng)化參數(shù)，或稱(chēng)內(nèi)變量。

由于應(yīng)力、應(yīng)變張量在Cosserat介質(zhì)中非對(duì)稱(chēng)，故需對(duì)傳統(tǒng)的三個(gè)應(yīng)力不變量進(jìn)行修正。將Cosserat應(yīng)變張量分為兩部分，即對(duì)稱(chēng)與反對(duì)稱(chēng)：

同樣，Cosserat應(yīng)力張量也可分為對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)兩部分：

利用式（7），修正傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)中的三個(gè)應(yīng)力不變量：現(xiàn)假設(shè)Mohr-Coulomb（以下簡(jiǎn)稱(chēng)M-C）屈服函數(shù)仍可表示為應(yīng)力不變量的函數(shù)，且形式與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)相同［13］。利用式（8），建立Cosserat連續(xù)介質(zhì)下的M-C屈服準(zhǔn)則：

式中：c和φ分別為材料的黏聚力和內(nèi)摩擦角；θ角的表達(dá)式為：I1、J2和 J3的表達(dá)式詳見(jiàn)式（8）。

假設(shè)塑性應(yīng)變滿(mǎn)足相關(guān)流動(dòng)法則，流動(dòng)矢量a=?f/?σ，且σ是I1、J2和θ的函數(shù)，因而有

由式（12）可得：

將上式代入式（13）得：

對(duì)于Cosserat連續(xù)介質(zhì)理論的平面問(wèn)題，a1、a2和 a3的表達(dá)式為：

于是，Cosserat連續(xù)介質(zhì)下Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的 c1、c2、c3表達(dá)形式如表1所示。

表1　Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的 ci 值

3　算　例

某地下洞室工程下伏基巖為砂質(zhì)泥巖與砂巖。砂質(zhì)泥巖為主巖層，中間夾含砂巖層，地下洞室剖面的具體尺寸及各監(jiān)測(cè)跟蹤點(diǎn)如圖4（a）所示。表2為軟硬互層巖體基本參數(shù)。

表2　互層巖體的各項(xiàng)基本參數(shù)

運(yùn)用MATLAB分別編寫(xiě)傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)法和Cosserat介質(zhì)法的彈塑性有限元程序?qū)λ憷M(jìn)行數(shù)值分析。計(jì)算域的邊界取4倍于洞室孔徑，范圍是10 m×10 m，上覆巖層重量引起的3.5 MPa均布荷載作用?？紤]結(jié)構(gòu)及荷載均沿中軸線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故取其右半部分計(jì)算，如圖4（b）所示。模型側(cè)面為水平約束，底面為固定約束。

圖5網(wǎng)格中的點(diǎn)代表在荷載作用下各單元中發(fā)生了塑性屈服的高斯點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6～圖9、表3。

由最大主應(yīng)力圖6可知：最大拉應(yīng)力產(chǎn)生于洞室的頂部、底部及邊墻的中部；而最大壓應(yīng)力產(chǎn)生于洞室下方的兩個(gè)拐角，其原因是由于此處洞室形狀突變，應(yīng)力集中所致。圖6與圖7（b）應(yīng)力分布均顯齒狀，有明顯層狀形態(tài)，而其各自的（a）圖由于Cosserat擴(kuò)展模型的等效緣故，則顯得比較平滑。

圖4　地下洞室剖面和計(jì)算簡(jiǎn)圖

圖5　塑性區(qū)分布圖

圖6　最大主應(yīng)力分布圖

圖7　最大切應(yīng)力分布圖

由圖8可見(jiàn)：洞室最大轉(zhuǎn)角因應(yīng)力集中 ，出現(xiàn)在形狀突變區(qū)域，即洞室下方兩個(gè)拐角及拱頂兩側(cè)；而圖9清晰地顯示出洞室的最大偶應(yīng)力產(chǎn)生于洞室的頂部和底部的中間位置，這與在層狀巖體中開(kāi)挖地下洞室時(shí)往往在洞室的頂部和底部出現(xiàn)頂板彎折和巖層潰屈等破壞現(xiàn)象的位置是一致的。

由表3可知，各跟蹤點(diǎn)均向洞室的內(nèi)側(cè)移動(dòng)，2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)分別與5點(diǎn)、6點(diǎn)、7點(diǎn)的水平與垂直向位移數(shù)值一致，但水平方向相反。Cosserat介質(zhì)由于多考慮了偶應(yīng)力的影響，彎曲效應(yīng)明顯。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明：在開(kāi)挖面上，Cosserat方法在洞室頂部的垂直位移值要比傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)方法大 ，而水平位移值前者要比后者小，更加接近于實(shí)際情況。

4　結(jié)　論

（1）通過(guò)對(duì)算例數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比：Cosserat介質(zhì)法與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)法相近，顯示MATLAB編制的Cosserat彈塑性有限元程序的正確性。

圖8　轉(zhuǎn)角分布圖/×10-5

圖9　偶應(yīng)力分布圖

表3　彈塑性分析各跟蹤點(diǎn)位移值　　單位：mm

（2）相較于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)法 ，Cosserat介質(zhì)法的有限元網(wǎng)格無(wú)需細(xì)化，即可保證其計(jì)算精度 ，運(yùn)用簡(jiǎn)便。

（3）由于Cosserat介質(zhì)在單元體中多考慮了偶應(yīng)力影響，故在層狀巖體中模擬彎曲效應(yīng)更明顯。相較于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)法，Cosserat介質(zhì)法計(jì)算的塑性區(qū)不僅出現(xiàn)在洞室開(kāi)挖面的邊墻，而且在其頂部與底部也發(fā)生了屈服。同時(shí)，在開(kāi)挖面的洞室頂部，Cosserat介質(zhì)法比經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)法計(jì)算的垂直位移更大，而水平位移變化卻比后者小。這些均表明：Cosserat介質(zhì)法計(jì)算的結(jié)果更接近于實(shí)際情況。

綜上 ，對(duì)于互層巖體，Cosserat擴(kuò)展模型不僅可行，且能帶來(lái)較大便利。

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中圖分類(lèi)號(hào)：TU45

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672—1144（2015）03—0066—06

DOI：10.3969/j.issn.1672-1144.2015.03.013

收稿日期 ：2015-01-11修稿日期 ：2015-04-16

基金項(xiàng)目 ：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51078059，51178078）

作者簡(jiǎn)介 ：張建成（1984—），男，江蘇連云港人 ，博士研究生 ，研究方向?yàn)閹r石力學(xué)與工程。E-mail：zjc15951087073@126.com

Nonlinear Cosserat Expanded Constitutive Model and Its Application of Underground Rock Engineering

ZHANG Jian-cheng，JIA Jin-qing，MA Ying-chao
（State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning 116024，China）

Abstract：Classical yield criterion of Mohr-Coulomb cannot be directly applied to Cosserat continuum due to the asymmetry of the strain and stress tensors in Cosserat continuum theory.Therefore，the application of the Mohr-Coulomb yield criterion in the Cosserat continuum expanded constitutive model was established.On the basis of the isotropic hardening and incremental plastic potential theory，the elasto-plastic finite element codes for the Cosserat expanded constitutive model and classic continuum model were developed by using MATLAB.Then，it was applied to flexural deformation analysis of the underground cave excavated in interlayered rock mass.The results suggest that the Mohr-Coulomb-based Cosserat medium method is simpler and more applicable for the structures with obvious stress gradient or bending effect. Keywords：Cosserat continuum theory；interlayered rock mass；expanded constitutive model；elasto-plastic FEM