陳春苗，高　婧

（廈門大學土木工程系 ，福建廈門361005）

基于 Tikhonov正則化方法的移動荷載識別實驗研究

陳春苗，高婧

（廈門大學土木工程系 ，福建廈門361005）

摘要：根據(jù)正交異性板理論和模態(tài)疊加法，推導了移動荷載作用下簡支板橋的荷載識別方程。為了解決識別方程病態(tài)問題，考慮Tikhonov正則化方法，選擇最優(yōu)正則參數(shù)值，從而得到方程的正則化解。為了驗證Tikhonov正則化方法的有效性，進行了簡支板橋的移動荷載識別模型實驗，通過實驗確定不同速度車輛經(jīng)過板橋時的應變響應歷程，并將所測得數(shù)據(jù)代入識別方程求得車輛荷載信息。實驗和計算結(jié)果對比表明 ，通過引進Tikhonov正則化方法可以獲得識別方程的穩(wěn)定解，提高識別精度，識別結(jié)果與實際小車重量吻合較好。

關鍵詞：荷載識別；簡支板橋；Tikhonov正則化方法

移動荷載識別是在不中斷交通的情況下通過橋梁動態(tài)響應來識別橋上的移動荷載，從而獲得車輛軸重、軸距、車速等信息，它不僅可以確定移動荷載的大小、密度和種類，而且對橋梁健康監(jiān)測與超載的治理等都具有重要的意義［1］。通過實測應變與理論計算應變相等而建立的識別方程往往存在嚴重的病態(tài)性，即使測量的數(shù)據(jù)中存在較小的噪聲 ，也可能引起識別荷載較大的偏離［2］。為了獲得穩(wěn)定的荷載識別結(jié)果，一般引入正則化方法。

正則化方法分為直接正則化方法與迭代正則化方法［3］。直接正則化方法主要有截斷奇異值法與Tikhonov正則化方法，而迭代正則化方法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共軛梯度法等。迭代正則化用于處理各種無限維或者有限維的適定問題［4］，截斷奇異值法的奇異值個數(shù)很難確定，而Tikhonov正則化方法通過選取不同的正則參數(shù)降低方程的病態(tài)程度得到穩(wěn)定解，其基本原理就是通過對病態(tài)方程施加約束，改變方程中矩陣的條件數(shù)，從而減輕方程的病態(tài)程度［5-6］。Zhu通過應變和加速度對簡支梁板橋的移動荷載進行識別，采用Tikhonov正則化方法對識別結(jié)果進行了平滑度處理，得出Tikhonov正則化方法能降低識別誤差并且對應變荷載識別的改善效果更為顯著［7］。Buro Happold在Vransko大橋的荷載識別實驗中測得了一輛三軸車經(jīng)過橋梁時應變響應歷程，通過有限元計算獲取了應變影響線，采用Tikhonov正則化方法識別出橋面比較粗糙的情況下的車輛軸重，并且指出的識別結(jié)果較最小二乘法的識別結(jié)果誤差更小［8］。李忠獻在簡支梁和連續(xù)梁的荷載識別參數(shù)分析中，運用Tikhonov正則化方法降低了噪聲敏感性，改善識別精度。并且得到正則參數(shù)隨著噪音水平增大而增大。同等噪音水平下，簡支梁的識別效果好于連續(xù)梁［9］。

為了驗證Tikhonov正則化方法在簡支板橋荷載識別方程求解中的有效性，本文主要通過簡支板橋移動荷載識別的理論獲得應變影響線，通過模型實驗獲得實測數(shù)據(jù) ，并考慮Tikhonov正則化方法求解識別方程。

1　移動荷載識別的理論基礎及Tikhonov正則化

圖1為各向同性簡支板橋模型 ，x=0和x=a為簡支邊，y=0和 y=b為自由邊，有雙向多車荷載移動作用，其中一列車載離橋中心線距離為 e1，以速度v1從左向右移動，另一列車載離橋中心線距離為 e2，以速度v2從右向左相向而行。由此得到移動荷載作用下簡支板橋的運動方程［10］：

圖1　移動荷載識別板橋模型

使用模態(tài)疊加法（分離參數(shù)），將板橋的豎向位移w（x，y，t）做如下處理并寫成矩陣形式：其中：是板橋的振型 ；為廣義模態(tài)坐標。

將式（2）代入式（1）可得：

（m，n=1，2，3，4…分別為x方向和y方向的階數(shù)）

其中：

將式（4）帶入式（2）并對w（x，y，t）的x向求二階導數(shù)同時乘以中性軸到邊緣的距離 h/2，離散化得到［11］：

由此可見，方程的最終結(jié)果可以轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

式中：｛p｝是移動荷載的時間系列向量；｛ε｝橋面測點應變響應的時間系列向量；［A］是車橋系統(tǒng)相關的系數(shù)矩陣。

對式（6）進行Tikhonov正則化，轉(zhuǎn)化為求解以下最小值問題［8］。

其中‖?‖為矢量的范數(shù)，λ＞0為正則參數(shù)。式（7）的解p滿足如下方程：

對A進行奇異值分解（SVD），如果 A的秩為n，則有：

Tikhonov指出誤差大小未知時，可根據(jù)下面的擬最優(yōu)準則［12］來確定正則參數(shù) λ。基本思想是：讓正則參數(shù)λ以及正則解對該參數(shù)的變化率穩(wěn)定盡可能小的水平，也就是尋找參數(shù)λ，使得：

U=［u1，u2，…，um］∈Rm×m和V=［v1，v2，…，vn］∈Rn×n為正交矩陣 ，U的列向量為矩陣AAT的特征向量，V的列向量為矩陣ATA的特征向量?！茷閙 ×n階偽對角陣，其前 n行diag｛σ1，σ2，…，σn｝，（σ1≥σ2≥…≥σn≥0）其后m-n行的元素都為0，σ1，σ2，…，σn為矩陣A的奇異值。則（8）式的解為：

將式（11）得到的λ代入式（10）中便可得到識別方程的正則化解。

2　實驗研究

由于本文采用的是各向同性簡支板橋識別理論，因此實驗橋梁應盡量接近理想各向同性簡支板橋，而實際運營橋梁中各向同性和簡支邊界很難保證。在實驗室中的模擬實驗采用的鋼板保證了材料的各向同性，支座由兩根鋼管模擬，一根固定，一根自由滑動 ，與理想鉸支座接近（圖2），室內(nèi)縮尺模型的環(huán)境噪聲相對實橋來說較低，而且車輛數(shù)量和速度容易控制。

圖2　實驗模型

2.1實驗模型及過程

本次實驗采用的模型主要包括兩部分：加載車輛及承重板，承重板為三跨簡支板，兩個邊跨采用木板，用于車輛的加速和減速，中跨采用8 mm厚鋼板，其計算跨徑1.9 m，板寬52 cm，設計為雙車道，兩車道中心線間25.4 cm。加載小車軸距為24.5 cm，輪距14.4 cm。實驗中選取主跨跨中截面和3/4截面作為測量截面，并在兩個截面分別粘貼5個應變片并依次編號，跨中截面編號為1～5號，3/4截面編號為6～10號，全跨共布設10個應變片。實驗模型如圖2所示。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是DH5922動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)，采樣頻率為200 Hz。實驗由前側(cè)馬達牽引小車前進 ，包括單輛小車單車道行駛和兩輛小車以不同的速度不同的起始時間分別在兩個車道上同向行駛。

2.2實驗結(jié)果和測點影響線

2.2.1實驗車輛動應變響應

圖3是單獨一輛小車在單側(cè)車道行駛過程的動應變響應過程，各個波形對應的測點編號如圖3所示?？缰?號，2號，4號測點的兩個波峰分別表示車輛前后軸經(jīng)過跨中截面時響應歷程。對于3/4截面處的測點，兩個車軸經(jīng)過此處時，峰值應變并沒有出現(xiàn)兩個明顯的波峰，而是呈現(xiàn)緩慢均勻增加的趨勢，這與測點影響線中跨中截面應變單峰突起，3/4截面峰值應變變化平緩相一致。

圖3　單車道應變歷程

圖4是兩輛小車在兩個車道上同向行駛的測點應變歷程圖?？缰袦y點有5個波峰，其中第1、2、4、5個波峰為車軸經(jīng)過跨中時的應變響應。第一輛小車前后軸經(jīng)過跨中位置過程中，第二輛小車對測點應變的貢獻越來越大 ，因此第2個波峰比第1個波峰明顯要大。而第二輛小車前后軸經(jīng)過跨中位置過程中，第一輛小車對測點應變的貢獻越來越小 ，因此第4個波峰第5個波峰正好相反。在1號、2號和4號測點應變中，4號測點應變先由最小變?yōu)樽畲笫怯捎趦奢v小車在不同的車道上出發(fā)的先后順序不同引起的。9號測點也出現(xiàn)了相同的變化。

圖4　雙車道應變歷程

2.2.2測點影響線

圖5是通過公式（5）數(shù)值計算并擬合繪制的左側(cè)車道7號測點不同模態(tài)數(shù)的應變影響線。從圖中可以得知，識別模態(tài)數(shù)決定著應變影響線的變化形式。第3階模態(tài)對于3/4截面處測點的應變影響線變化趨勢影響最大，第6階模態(tài)已經(jīng)使影響線形態(tài)發(fā)生偏離。顯然，模態(tài)數(shù)為2和6時影響線與實測數(shù)據(jù)不符，模態(tài)數(shù)為3、4、5時，影響線的應變值依次增大，但增加的幅度較小。由于識別模態(tài)數(shù)影響著識別精度，荷載識別精度隨模態(tài)數(shù)的增加先增高后降低［9，13］，因此，本次影響線的識別模態(tài)選擇前四階。圖6是取前四階模態(tài)時各個測點的應變影響線，各測點的影響線均呈現(xiàn)出先上升后下降的趨勢。

2.3車輛軸重反算

從影響線中取出相應數(shù)值和實驗中獲取的實測應變代入識別方程，并通過Tikhonov正則化方法計算就可以得到車輛軸重。由公式（10）可知正則參數(shù)λ取值成了荷載識別的關鍵。正則參數(shù)λ的大小不僅影響著方程解的誤差還影響著解的穩(wěn)定性。從誤差的角度看，正則參數(shù)越小越好；而從穩(wěn)定性的角度考慮，正則參數(shù)值越大越好［2］。本次計算過程采用的擬最優(yōu)準則確定正則參數(shù)的方法，兼顧誤差和穩(wěn)定性，得到識別方程最優(yōu)解。表1是選擇不同測點和測點數(shù)的車輛軸重數(shù)值計算結(jié)果。從表1中可以看出數(shù)值計算正則參數(shù) λ均小于10-7，說明方程正則解的誤差較小。單車道前軸計算重量變化范圍在3.0 kg～4.5 kg之間，而前軸的實際重量為3.7 kg。單車道車輛計算總重在10 kg～12 kg之間，實際重量為11.3 kg。識別荷載基本與小車實際荷載相吻合，其它各種工況下的與之類似。識別荷載變化不大說明通過Tikhonov正則化方法計算的車輛軸重穩(wěn)定性較好。

圖5　7號測點不同模態(tài)數(shù)的應變影響線

圖6　測點應變影響線

表1　車輛軸重識別結(jié)果

圖7和圖8是表1中的車輛軸重識別結(jié)果與實際值的對比圖。從圖7和圖8可知，各種工況下，小車的識別軸重圍繞實際軸重上下波動，并且變化幅度不大。單車道和雙車道的荷載識別軸重與實際軸重標準差均小于0.6，識別荷載的離散程度不高。圖8車輛1中后軸重最大相對誤差為14.2%，車輛2中前軸重最大相對誤差為15.1%。其它大部分相對誤差在10%之內(nèi)。滿足車輛軸重初步識別要求。另外，由于測點應變選取的隨機性 ，選擇不同測點和測點數(shù)對荷載識別結(jié)果的影響比較大，這一點在圖中表現(xiàn)得很明顯。因此，在選取的數(shù)據(jù)時可以適當增加測點數(shù)，提高識別精度。

圖7　單車道識別軸重與實際軸重對比圖

圖8　雙車道識別軸重與實際軸重對比圖

3　結(jié)　論

（1）荷載識別理論中，將豎向位移分離成廣義模態(tài)坐標和板橋振型的乘積，并由時域法積分獲得振型函數(shù)，然后通過豎向位移得到荷載識別方程。對該方程進行Tikhonov正則化并根據(jù)擬最優(yōu)準則選擇最優(yōu)正則參數(shù)值，則可得到識別方程的正則化解。這種方法兼顧解的誤差和穩(wěn)定性，降低病態(tài)方程的病態(tài)程度。

（2）為了驗證理論的有效性，本文通過模型實驗獲取了簡支板橋在車輛荷載作用下的應變響應，并將結(jié)果代入識別方程中進行反算。計算結(jié)果表明，識別荷載與實際荷載吻合較好，因此將Tikhonov正則化方法運用于荷載識別方程求解是有效的，并且識別精度較高，穩(wěn)定性較好。

參考文獻：

［1］李小年，陳艾榮，馬如進.橋梁動態(tài)稱重研究綜述［J］.土木工程學報，2013，46（3）：79-85.

［2］朱南海.基于Tikhonov正則化和遺傳算法的桿系結(jié)構(gòu)荷載識別方法研究［D］.汕頭：汕頭大學，2008.

［3］范千，方緒華，范娟.病態(tài)問題解算的直接正則化方法比較［J］.貴州大學學報：自然科學版，2011，28（4）：29-32.

［4］肖庭延，于慎根，王彥飛.反問題的數(shù)值解法［M］.北京：科學出版社，2003.

［5］Phillips D L.A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind［J］.Journal of the Association for Computing Machinery，1962，9（3）：84-97.

［6］Tikhonov A N.On solving incorrectly posed problems and method of regularization［J］.Doklady Akademii Nauk USSR，1963，151（3）：501-504.

［7］Zhu X Q，Law S S.Identification of vehicle axle loads from bridge dynamic response［J］.Journal of sound and vibration，2000，236（4）：705-724.

［8］Rowley C，Gonzalez A，O’Brien E，et al.Comparison of conventional and regularized bridge weigh-in-motion algorithms［C］//Proceeding of the Internation Converence on Heavy Vehicle.Paris，F(xiàn)rance：John Wiley，2008.

［9］李忠獻，王波，陳鋒.橋梁移動荷載的識別與參數(shù)分析［J］.福州大學學報：自然科學版 ，2005，33（S1）：56-61.

［10］Huffington N J，Hoppmann W H.On the transverse vibration of rectangular orthotropic Plates［J］.Journal of Applied Mechanics ASME，1958，25（2）：389-395.

［11］Zhu X.Vehicular load on bridge deck［D］.Hong Kong：Hong Kong Polytechnic University，2001.

［12］Tikhonov A N，Arsenin V Y.Solution of Ill-posed Problems ［M］.New York：John Wiley&Sons，1977.

［13］余嶺，朱軍華 ，陳敏中.基于矩量法的橋梁移動車載識別試驗研究［J］.振動與沖擊，2007，26（1）：16-20.

中圖分類號：U446

文獻標識碼：A

文章編號：1672—1144（2015）03—0012—05

DOI：10.3969/j.issn.1672-1144.2015.03.003

收稿日期 ：2015-01-30修稿日期：2015-03-04

基金項目 ：中央高?；究蒲袠I(yè)務費項目（2013121028）

作者簡介 ：陳春苗（1988—），男，湖南郴州人，碩士研究生，研究方向為橋梁健康監(jiān)測。E-mail：lovechen2012@foxmail.com

Experiment on Moving Load Identification Based on Tikhonov Regularization Method

CHEN Chun-miao，GAO Jing
（Department of Civil Engineering，Xiamen University，Xiamen，F(xiàn)ujian 361005，China）

Abstract：Based on the orthotropic plate theory and the modal superposition method，the load identification equations for simply supported slab bridges subjected to moving loads were deduced.Tikhonov regularization method was applied to solve the ill conditioned moving load identification equations，through which an optimal regularization parameter was selected to obtain the solution of regularization.In order to check the validity of Tikhonov regularization method，the moving loads identification model of a simply supported slab bridge was established in the experiment.The strain history was obtained when the model truck passed through the bridge at different speeds.Then，the measured data was substituted into the identification equations to get the load information.The calculation results indicate that the identification results are in good agreement with the actual weight of the model truck，which means that the Tikhonov regularization method is effective in obtaining a stable solution for load identification equations with improved accuracy.

Keywords：load identification；simply supported slab bridge；Tikhonov regularization method