趙　潔，陳永當(dāng)，李　鵬

（1.西安職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，陜西西安710077；2.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安710048）

古塔變形后各層中心位置的研究

趙潔1，陳永當(dāng)2，李鵬2

（1.西安職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，陜西西安710077；2.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安710048）

摘要：為研究古塔變形后的中心位置坐標(biāo)，通過空間圓和空間球體，建立了基于三維坐標(biāo)的空間圓擬合模型，提出計(jì)算古塔各層中心位置的通用方法。通過各層 Z坐標(biāo)的最值點(diǎn)和中值點(diǎn)，計(jì)算出對應(yīng)層的空間平面方程 ，將剩余觀測點(diǎn)數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過離差分析，得出了相同年份同層的8個觀測點(diǎn)共面。采用牛頓插值得到了缺失數(shù)據(jù)，利用檢驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了空間球體方程。將空間平面和空間球體方程聯(lián)立，得到了空間圓特征方程，進(jìn)而分析出古塔各層的中心位置坐標(biāo)。

關(guān)鍵詞：古塔變形；牛頓插值；空間圓方程；離差分析

我國是世界文明古國，古塔是古代文明的重要標(biāo)志之一，在建筑藝術(shù)、結(jié)構(gòu)形式、材料應(yīng)用以及施工技術(shù)等方面，體現(xiàn)了我國古代在政治、經(jīng)濟(jì)、歷史、文化、藝術(shù)、宗教和外交等方面的杰出成就［1-3］。古塔通常由多層組成，如西安的大雁塔共有7層，塔身及塔頂總高59.05 m，至今已有一千多年的歷史［4］。可以說古塔是我國古代最偉大的高層建筑［5］。

古塔作為祖先傳承下來寶貴的歷史文化遺產(chǎn)［6-8］，具有重要的文化價值。是發(fā)展旅游事業(yè)，進(jìn)行愛國主義教育的寶貴人文資源［9］。然而，由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響［10-11］，古塔會產(chǎn)生各種變形 ，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。因此，采取必要的措施，對古塔進(jìn)行糾偏和加固［12-13］，具有重要的應(yīng)用價值和現(xiàn)實(shí)意義。

目前，已有許多學(xué)者研究古塔的糾偏和加固以及變形情況的監(jiān)測 ，國外有許多學(xué)者研究古塔的材料組成［14-16］。陳平等對西安大雁塔的抗震能力進(jìn)行分析 ，研究了抗震機(jī)理和動態(tài)特性。張舵等［17］利用有限元數(shù)值方法，通過引入梁單元組模擬斗拱連接，建立了具有木塔較細(xì)致結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型，對木塔進(jìn)行了地震作用計(jì)算。黃強(qiáng)［18］研究了在城市復(fù)雜地形上采集古塔數(shù)據(jù)的內(nèi)容和方法，分析了前方交匯法測塔頂中心位置的方法。周偉等［19］利用激光掃描技術(shù)，將整體點(diǎn)云數(shù)據(jù)拼接，用以監(jiān)測大型古建筑傾斜變形情況。楊佳文等［20］運(yùn)用空間平面擬合和多邊形重心公式 ，確定古塔中心的位置坐標(biāo)。

綜上所述，現(xiàn)有的研究多數(shù)集中于如何監(jiān)測古塔的變形，變形的糾偏措施等 ，對塔各層中心坐標(biāo)的確定并不多見。本文提出空間圓和空間平面法，根據(jù)圓的方程得出古塔各層的中心坐標(biāo) ，對古塔的糾偏和加固而言，具有有重要的參考價值。

本文以2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題（古塔的變形）為原始數(shù)據(jù)，問題簡述如下：某古塔已有上千年歷史 ，是我國重點(diǎn)保護(hù)文物。為保護(hù)古塔，文物部門需適時對某古塔進(jìn)行觀測，了解各種變形量。該塔共13層，并先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月，對該塔進(jìn)行了4次觀測。每層測量具有代表性的8個點(diǎn)，每個點(diǎn)測繪出三維坐標(biāo)。由于某種原因，1986年和1996年測繪時，第13層的第5個測量點(diǎn)出現(xiàn)了數(shù)據(jù)缺失。塔尖測量4個點(diǎn)，由于塔隨時間的變形，2009年和2011年測繪時，塔尖數(shù)據(jù)出現(xiàn)了部分缺失。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，研究古塔各層中心位置的計(jì)算方法，計(jì)算各次測量時古塔各層的中心坐標(biāo)。

1　數(shù)據(jù)分析與處理

數(shù)據(jù)的觀測和采集，對于后續(xù)的研究至關(guān)重要。觀測數(shù)據(jù)的采集需要大量的人力、財(cái)力和物力，而且還會對研究對象造成一定程度的破壞。因此，在制定具體采樣策略和計(jì)劃時 ，要充分估計(jì)每個樣品所能反映的最大信息，樣品太少無法得到正確的結(jié)果，太多又會造成不必要的浪費(fèi)［21-22］。所給的古塔各層數(shù)據(jù)，具有代表性，要能夠反映古塔各層的變形情況。從理論上講，同年同層觀測點(diǎn)應(yīng)該共面?；谝陨戏治?，可認(rèn)為這8個點(diǎn)分布在以該層中心點(diǎn)為原心的圓周上［23］。1986年和1996年的觀測數(shù)據(jù)如表1所示，其它年份可查閱當(dāng)年數(shù)據(jù) ，在此不再贅述。

表1　觀測點(diǎn)坐標(biāo) 單位：m

1.1數(shù)據(jù)的增補(bǔ)

在表1所給數(shù)據(jù)中，1986年和1996年13層觀測點(diǎn)5數(shù)據(jù)缺失。為了后續(xù)數(shù)據(jù)處理的完整性，在此，采用牛頓插值法，利用對應(yīng)年中前兩層第五點(diǎn)的數(shù)據(jù)，推測出缺失的數(shù)據(jù)，利用MATLAB計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表2　第13層觀測點(diǎn)5插值結(jié)果　　單位：m

1.2共面情況研究

鑒于此，筆者認(rèn)為我國事業(yè)單位在實(shí)施經(jīng)費(fèi)管控的過程中，單位管理者及相關(guān)人員應(yīng)放眼宏觀市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境，積極轉(zhuǎn)變陳舊思想，主動學(xué)習(xí)成本費(fèi)用管控知識，提高認(rèn)知度和重視程度。唯有主觀上予以重視，才能從根本上接受，才能號召單位內(nèi)部各部門、各人員共同參與經(jīng)費(fèi)管控之中。與此同時，有條件的事業(yè)單位還應(yīng)在單位內(nèi)部組織培訓(xùn)和制度宣貫，加強(qiáng)對成本費(fèi)用管理思想的宣傳，逐漸消除單位員工對經(jīng)費(fèi)管控的抵觸思想。通過這種方式，力爭將經(jīng)費(fèi)管控的作用發(fā)揮到最大。

觀測中，當(dāng)同層的塔面出現(xiàn)斷裂、錯位時，其觀測點(diǎn)將不在同一平面，這樣就不能利用空間圓法。因此，首先通過已知數(shù)據(jù)，對各層觀測點(diǎn)的共面情況加以檢驗(yàn)，根據(jù)取樣原理可知 ，每次觀測取點(diǎn)對稱且均勻。將 k年塔的第i層上取坐標(biāo)z值的最大值、最小值和中間值對應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)記為系數(shù)數(shù)據(jù)，利用系數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)建空間平面方程。記任意一層的 z坐標(biāo)最大值 ，最小值和中值對應(yīng)的點(diǎn)為 Mmax（x0j，y0j，z0j），Mmin（x1j，y1j，z1j），Mmid（x2j，y2j，z2j）。這三點(diǎn)可以構(gòu)成一個平面，首先計(jì)算出過這三點(diǎn)平面的法向量→n，根據(jù)向量垂直的相互關(guān)系，法向量→n與向量x都垂直，而，，取他們的向量積為n→，則有：化簡整理后，運(yùn)算結(jié)果記為：

則根據(jù)空間平面的點(diǎn)法式，可得出這三點(diǎn)的平面方程為：

式（2）經(jīng)過化簡，可得到過這三個觀測點(diǎn)的空間平面一般方程：式中：i=1，2，…，13；k=1986，1996，2009，2011。得到平面方程后，k年塔的第j層上其余的5個點(diǎn)記為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，設(shè)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為 S（xrj，yrj，zrj），則 S到平面的距離為：

該距離稱為離差，它反映了檢驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離該平面的程度。離差越大，說明該點(diǎn)離該平面越遠(yuǎn)；離差越小，觀測點(diǎn)越靠近該平面。如果第 i層上的8個觀測點(diǎn)共面，則式（4）得到的結(jié)果應(yīng)該均為零，即這些點(diǎn)共面。由于測量手段、人為原因的影響，實(shí)際中即使相同層級的觀測點(diǎn)均處于同一平面，測出的數(shù)據(jù)也不會完全吻合［24］，當(dāng)誤差在一定的范圍內(nèi)時 ，可以認(rèn)為同層所有觀測點(diǎn)共面。因此，通過上述分析 ，每層到平面的距離都會有五個數(shù)據(jù) ，計(jì)算出各層檢驗(yàn)數(shù)據(jù)后，分析各層中最大的｛Drj｝，作為該層的離差，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。不同年份各層離差統(tǒng)計(jì)如圖1所示。

圖1　離差統(tǒng)計(jì)曲線圖

從圖1可知，年份不同，各層離差并不相同，最大離差在1986年第13層觀測點(diǎn)，離差為0.0801 m；最小離差在2011年的第1層觀測點(diǎn)，離差為0.0581 m，離差的變化范圍為0.022 m，基于以上分析，可認(rèn)為古塔各層的8個觀測點(diǎn)在空間上均處于同一平面。

2　模型的建立

在空間平面中，根據(jù)分析可知觀測點(diǎn)是關(guān)于該層中心對稱且均勻分布。設(shè)任意一層中心位置的坐標(biāo)為O（xki，yki，zki），其中 i=1，2，…，13為古塔的層數(shù)，k=1986，1996，…，2011為觀測的年份，則中心到該層8個觀測點(diǎn)的距離，從理論上分析應(yīng)該相等，觀測點(diǎn)到該層中心點(diǎn) O的距離記為Rki。

為便于分析計(jì)算，將公式（3）列為矩陣的形式，首先對公式（3）進(jìn)行化簡，化簡后得：為便于運(yùn)算，將式（5）寫成矩陣的形式 ，則有：

將各層的最大值 Zmax、最小值 Zmin和中值 Zmid對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入式（6），即可求出不同年份各個塔層的平面方程。

2.2空間球體的擬合

根據(jù)前文分析，同層的八個觀測點(diǎn)分布在以O(shè)（xki，yki，zki）為圓心 ，以Rki為半徑的圓周上。設(shè)過任意一層八個觀測點(diǎn)的空間球體方程為：

整理化簡可得：

令 A=2 a，B=2b，C=2c，D=a2+b2+c2-R2可以得到：寫成矩陣形式：

解得A、B、C、D，代入：

由于最值和中值的觀測點(diǎn)數(shù)據(jù)已用于空間平面的擬合和求解，故在求解空間球體時，用其余五個觀測點(diǎn)的其中四個數(shù)據(jù)解析。

2.3空間圓的擬合和圓心的求解

空間圓沒有特征方程，需要采用一定的方法對其表征。在此提出空間圓擬合法，當(dāng)空間平面Π與球體Ω相交時，球體被平面截切，在其表面產(chǎn)生的交線稱為截交線，如圖2所示。截交線具有典型的共有性和封閉性，即截交線上的任意一點(diǎn)均在空間平面與球體表面的共有線上，所形成的線段是封閉的。根據(jù)空間幾何可知，空間平面與球體的截交線形成的圖形是圓。

圖2　平面和球體相交

圓上任意一點(diǎn)既在平面上，又在球體表面，其圓心為 O。因此，將空間平面方程和球體方程聯(lián)立，得空間圓方程為式（11）：

通過帶入觀測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，即可求出球體方程和空間平面方程，兩方程聯(lián)立，即可求出古塔各層的中心位置坐標(biāo)，利用消元法的思想，分析計(jì)算出圓心的空間坐標(biāo)，即古塔各層中心位置坐標(biāo)，利用MATLAB軟件計(jì)算，得到1986年、1996年古塔各層的中心位置坐標(biāo)如表3所示；2009年和2011年古塔各層中心位置坐標(biāo)如表4所示。

表3　1986年、1996年測量的古塔各層的中心坐標(biāo)　　單位：m

3　結(jié)　語

古塔作為古代杰出建筑的代表，具有重要的歷史意義。古塔不同層級的中心位置偏移，最能表征古塔的整個變形情況和發(fā)展趨勢。通過綜合考慮各層的中心位置偏移特性，能夠從宏觀上整體反映其變形的傾向。通過同一年份不同層級的中心位置偏移情況，可以定量的分析出不同層級的偏移程度。通過比較不同年份相同層級的中心位置變化情況，可以定量分析出隨著時間的推移 ，古塔變形的發(fā)展趨勢。綜上所述，通過本文的分析研究，可為相關(guān)部門的古塔保護(hù)和監(jiān)測提供參考和借鑒。

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中圖分類號：TU196

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672—1144（2015）03—0082—05

DOI：10.3969/j.issn.1672-1144.2015.03.016

收稿日期 ：2015-01-12修稿日期：2015-02-05

基金項(xiàng)目 ：陜西省科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（2013KRZ21）；陜西省教育廳科研項(xiàng)目（14JK1309）；西安市科技計(jì)劃項(xiàng)目（CXY1439（2））

作者簡介 ：趙潔（1977—），女 ，陜西西安人 ，講師 ，主要從事給水處理方面的研究。E-mail：7711zhaojie@163.com

Study on the Location of Each Floor Center in an Ancient Tower After Deformation

ZHAO Jie1，CHEN Yong-dang2，LI Peng2
（1.Department of Architectural Engineering，Xi’an Vocational and Technical College，Xi’an，Shaanxi 710077，China；2.School of Mechanical&Electrical Engineering，Xi’an Polytechnic University，Xi’an，Shaanxi 710048，China）

Abstract：In order to locate the coordinate of the tower center after deformation，a spatial circle fitting model was established based on the 3-D coordinates of the spatial circle and spatial sphere.Moreover a universal method of calculating the center of each floor in the tower was developed.At first，through the calculation of the maximum and intermediate value of coordinate Z，the spatial plane equation of corresponding floor was deduced.The remaining data of the observation points was used as test data to do a deviation analysis，through which a coplane of 8 observation points on the same floor of the same year was obtained.And then Newton interpolation was applied to acquire the missing data.According to the test data，the equation of the spatial sphere was established，and the characteristic equation of the spatial circle was derived by combining the the spatial plane equation with the spatial sphere equation，through which the center coordinate of each floor in the ancient tower was determined.

Keywords：ancient tower deformation；Newton interpolation；spatial sphere equation；deviation analysis