王賀瑤，黃朝煊

（1.浙江省寧波市寧?？h水利局，浙江寧波315600；2.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州310002）

典型無(wú)壓長(zhǎng)隧洞恒定漸變流水面線計(jì)算的新解析法

王賀瑤1，黃朝煊2

（1.浙江省寧波市寧?？h水利局，浙江寧波315600；2.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州310002）

摘要：針對(duì)現(xiàn)有水面線計(jì)算采用的逐段試算法計(jì)算較繁瑣等問(wèn)題 ，對(duì)典型無(wú)壓長(zhǎng)隧洞如城門(mén)洞形、卵形無(wú)壓隧洞恒定漸變流沿程水深的計(jì)算進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)。根據(jù)漸變流水力微分方程，利用數(shù)值計(jì)算理論及無(wú)量綱化原理，將恒定漸變流基本微分方程轉(zhuǎn)換為高精度的可解析積分函數(shù)形式，進(jìn)而得到典型無(wú)壓長(zhǎng)隧洞水面線計(jì)算得解析式，利用該解析式可直接算得沿程水深。該解析算法比《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》建議的逐段試算法更簡(jiǎn)捷，并通過(guò)工程算例分析，該新解析法成果精度可靠，方便快捷，完全滿足工程實(shí)踐要求。

關(guān)鍵詞：恒定漸變流；城門(mén)洞形斷面；卵形斷面；斷面水力要素

對(duì)典型無(wú)壓隧洞恒定漸變流水面線計(jì)算，文獻(xiàn)［1-3］中均推薦采用基于差分格式的分段求和試算法，其水面線計(jì)算較復(fù)雜，需借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代試算求解，張建民等［4］得出收斂迭代算法，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者提出Runge-Kutta法、Newton迭代法等多種算法［5］，但這些算法大多均是利用逐段試算各段面水深的思路 ，這種計(jì)算理念可能導(dǎo)致誤差積累效應(yīng)。黃朝煊［6］對(duì)梯形斷面水力特性也進(jìn)行了探討，黃朝煊［7］對(duì)梯形明渠水面線進(jìn)行了研究，黃朝煊［8-9］分別對(duì)圓形、馬蹄形無(wú)壓隧洞水面線進(jìn)行了嘗試性探討。水面線計(jì)算中特征水深如臨界水深、正常水深計(jì)算也很重要，其中王正中等［10］對(duì)馬蹄形斷面隧洞

由于基于差分法的分段求和試算法需利用軟件編程計(jì)算，工作量大，不利于工程手算推廣。因此，該文根據(jù)漸變流水力學(xué)微分方程，利用MATLAB軟件編程計(jì)算［14-16］，推導(dǎo)出流程 S與始、末斷面水深之間的解析計(jì)算式，進(jìn)而可利用該解析式直接計(jì)算沿程各斷面的水深。

1　無(wú)壓長(zhǎng)洞的漸變流微分方程

1.1恒定漸變流水力微分方程

當(dāng)0.15b＜h＜d時(shí)，其水力要素為：；B為水面寬度（m），A為斷面過(guò)水總面積（m2），R為過(guò)水?dāng)嗝娴乃Π霃剑╩）；J為過(guò)水?dāng)嗝嫠ζ陆?；n為隧洞底坡平均糙率；Q為隧洞過(guò)流流量（m3/s）；v為過(guò)水?dāng)嗝媪魉伲╩/s）；Fr為斷面弗汝德數(shù)。

（1）典型城門(mén)洞形斷面

當(dāng)0＜h≤r1=0.15b時(shí)，其水力要素為：

當(dāng) h≥d時(shí)，其水力要素為：

式中：b為過(guò)水?dāng)嗝娴讓挘╩）；h為過(guò)水?dāng)嗝嫠睿╩）；d為城門(mén)形斷面直墻段墻高（m）；r為城門(mén)形斷面頂部圓弧半徑（m）；α為城門(mén)形斷面頂部圓弧總中心角（rad）；β為過(guò)水?dāng)嗝嫠嫣巿A弧中心角（rad）。本文依據(jù)新版《水工設(shè)計(jì)手冊(cè)》中典型城門(mén)洞斷面（見(jiàn)圖1），選取d=0.5b、α=2π/3時(shí)的典型斷面分析。

圖1　城門(mén)洞型無(wú)壓長(zhǎng)隧洞斷面圖

（2）典型卵形斷面（見(jiàn)圖2）

圖2　卵形無(wú)壓長(zhǎng)隧洞斷面圖

當(dāng) h＞r2=0.207b時(shí)，其水力要素為：

其中 h=0.207b+bsinφ

根據(jù)規(guī)范［3］，對(duì)于無(wú)壓長(zhǎng)隧洞，過(guò)水?dāng)嗝骓敳績(jī)艨彰娣e應(yīng)不小于總斷面面積的15%，并且頂部?jī)艨崭叨炔恍∮?.4 m。

當(dāng)水深較淺0＜h≤r2=0.207b時(shí)，其水力要素為：

1.2無(wú)綱量函數(shù)的數(shù)值計(jì)算分析

（1）典型城門(mén)洞形斷面

對(duì)于典型城門(mén)洞形斷面即 d=0.5b、α=2π/3時(shí)，無(wú)綱量函數(shù)f（ˉh）、g（ˉh）是相對(duì)水深ˉh=h/b之間的函數(shù) ，分析函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）的變化關(guān)系，見(jiàn)圖3。

（2）典型卵形斷面

對(duì)于典型卵形斷面，無(wú)綱量函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）是相對(duì)水深 ˉh=h/b之間的函數(shù)，分析函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）的變化關(guān)系，見(jiàn)圖4。

圖3　典型城門(mén)洞型斷面無(wú)量綱函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）與ˉh=h/b關(guān)系

圖4　典型卵形斷面無(wú)量綱函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）與ˉh=　h/b關(guān)系

利用Matlab軟件數(shù)值計(jì)算分析，利用形式簡(jiǎn)單、可解析積分的雙曲函數(shù)對(duì)無(wú)量綱函數(shù)進(jìn)行高精度數(shù)值擬合，數(shù)值擬合公式如表1所示，為了簡(jiǎn)化記函數(shù)為：

1.3漸變流水面壅、降趨勢(shì)分析

根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知，明流下恒定漸變流水面線的壅、降變化可分為以下三種情形：

第1區(qū)，當(dāng)滿足條件：h＞hk且h＞h0時(shí)，該區(qū)內(nèi)水面線屬于壅水線。

第2區(qū)，當(dāng)滿足條件：hk＜h＜h0或h0＜h＜hk時(shí)，該區(qū)內(nèi)水面線屬于降水線。

第3區(qū)，當(dāng)滿足條件：h＜hk且h＜h0時(shí)，該區(qū)內(nèi)水面線屬于壅水線。

1.3.1典型城門(mén)形斷面特征水深分析

對(duì)城門(mén)形無(wú)壓隧洞的正常水深 h0解析算式分析，眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究，但算式較復(fù)雜，本文利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，給出了簡(jiǎn)潔的解析

算式，記：，通過(guò)CurveExpert軟件擬合得相對(duì)正常水深的高精度計(jì)算表達(dá)式：

表1　典型無(wú)壓長(zhǎng)洞無(wú)綱量函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）與相對(duì)水深ˉh=h/b 高精度擬合參數(shù)

典型城門(mén)形斷面特征水深曲線見(jiàn)圖5。

圖5　典型城門(mén)形斷面特征水深曲線圖

1.3.2典型卵形斷面特征水深分析

筆者暫未見(jiàn)有深入研究，本文以相對(duì)水深作用待求變量，設(shè)無(wú)量綱量：同上文，通過(guò)CurveExpert軟件擬合得相對(duì)正常水深的表達(dá)式：

筆者暫未見(jiàn)有深入研究，本文重新給出卵形隧洞的臨界水深計(jì)算公式（設(shè)無(wú)量綱量同上文）：典型卵形斷面特征水深曲線見(jiàn)圖6。

圖6　典型卵形斷面特征水深曲線圖

1.4無(wú)壓隧洞恒定漸變流水面線計(jì)算的解析解

將高精度擬合函數(shù) f（ˉh）、g（ˉh）代入方程（7）：

變化以上微分方程為簡(jiǎn)單函數(shù)積分形式：

積分方程式（14）得：

其中常參數(shù)：

最后，得恒定漸變流沿程水面線應(yīng)滿足以下解析函數(shù)：

式中：S為流程（m）；常數(shù) a1、a2見(jiàn)式（14）；ˉh1= h1/b、ˉh2=h2/b，為相對(duì)斷面水深；ξ、ζ見(jiàn)式（15）；擬合常數(shù) f3（m）、g3（m）可查表1。

本文沿程水深直接算式（16）計(jì)算簡(jiǎn)單快捷，精度可靠。

2　算例分析

算例1：某長(zhǎng)距離輸水無(wú)壓隧洞過(guò)水?dāng)嗝鏋榈湫统情T(mén)洞型，見(jiàn)圖1所示，隧洞頂?shù)陌雸A直徑 d=3 m，隧洞底部平均坡比0.0137，糙率0.015，設(shè)計(jì)流量25.47 m3/s，起始斷水深1.80 m，無(wú)壓輸水隧洞長(zhǎng)1 km，按無(wú)壓“長(zhǎng)洞”計(jì)算，試求沿程各斷面水深。

根據(jù)式（9）可求正常水深：M0=0.1741，h0= 1.35 m，根據(jù)式（10）可求臨界水深：Mk=0.2723，hk=1.95 m。屬第2區(qū)，利用式（16）可直接求得沿程降水水面線，fi（m）、gi（m）查表1，成果見(jiàn)圖7。

圖7　算例1水面線曲線圖

算例2：某長(zhǎng)距離輸水無(wú)壓隧洞過(guò)水?dāng)嗝鏋榈湫吐研?，?jiàn)圖2所示，b=3 m，隧洞底部平均坡比0.0149，糙率0.015，設(shè)計(jì)流量25.57 m3/s，起始斷水深1.80 m，無(wú)壓輸水隧洞長(zhǎng)1 km，按無(wú)壓“長(zhǎng)洞”計(jì)算，試求沿程各斷面水深。

根據(jù)式（11）可求正常水深：M0=0.1081，h0= 1.35 m。根據(jù)式（12）可求臨界水深：Mk=0.2747，hk=1.95 m。屬第2區(qū)，利用式（16）可直接求得沿程降水水面線，fi（m）、gi（m）查表1，成果見(jiàn)圖8。

圖8　算例2水面線曲線圖

根據(jù)以上計(jì)算比較可知 ，本文斷面水深直接計(jì)算式（16）精度可靠、方便快捷，便于工程師應(yīng)用推廣。

3　結(jié)　語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有水面線計(jì)算采用的逐段試算法計(jì)算較繁瑣等問(wèn)題，對(duì)典型無(wú)壓長(zhǎng)隧洞如城門(mén)洞形、卵形無(wú)壓隧洞恒定漸變流沿程水深的計(jì)算進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，主要結(jié)論如下：

（1）根據(jù)漸變流水力微分方程，利用數(shù)值計(jì)算理論及無(wú)量綱化原理，將恒定漸變流基本微分方程轉(zhuǎn)換為高精度的可解析積分函數(shù)形式，進(jìn)而得到典型無(wú)壓長(zhǎng)隧洞水面線計(jì)算的解析式。

（2）通過(guò)多個(gè)算例分析，利用推求得解析式可直接算的沿程水深 ，并與規(guī)范推薦的逐段試算法成果進(jìn)行了比較，認(rèn)為本文新解析法成果精度可靠，方便快捷，完全滿足工程實(shí)踐要求。

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中圖分類號(hào)：TV133+.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672—1144（2015）03—0077—05

DOI：10.3969/j.issn.1672-1144.2015.03.015

收稿日期 ：2015-01-05修稿日期 ：2015-02-06

基金項(xiàng)目 ：水利部公益性行業(yè)科研專項(xiàng)項(xiàng)目（201401010）；圍墾院軟基水閘創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)科標(biāo)業(yè)項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介 ：王賀瑤（1979—），女，遼寧清原人，碩士 ，主要從事水工結(jié)構(gòu)方面的研究工作。E-mail：3994528@qq.com臨界水深進(jìn)行了研究并給出了解析算式，趙延風(fēng)等［11］給出了普通城門(mén)洞形斷面臨界水深的近似計(jì)算方法 ，張寬地等［12］給出了明流條件下城門(mén)洞形隧洞臨界水深的直接計(jì)算法 ，張寬地［13］給出了普通城門(mén)洞形隧洞正常水深的直接計(jì)算方法，根據(jù)這些特征水深，能快速定位水面線的壅、降趨勢(shì)。

A New Analytical Method of Caculating Water Surface Profile of Gradually Varied Steady Flow for Typical Long Tunnels Without Pressure

WANG He-yao1，HUANG Chao-xuan2
（1.Zhejiang Ninghai County Water Conservancy Bureau，Ningbo，Zhejiang 315600，China；2.Zhejiang Design Institute of Water Conservancy&Hydro-electric Power，Hangzhou，Zhejiang 310002，China）

Abstract：The existing analytical method for calculating water surface profile adopts section by section trial calculation which is tedious and inconvenient.Here the gradually varied steady flow depth of the typical long non-pressure tunnels with horseshoe-shaped cross-section and oval cross-section was mathematically deduced，and then its basic differential equation was transformed into an analytical integral function with high-precision based on the numerical analysis theory and dimensionless principle，from which the analytical formula for calculating water surface profile of gradually varied steady flow for typical long non-pressure tunnels was obtained.The water depth can be calculated directly according to this formula and it’s more convenient and simple than the recommended method in the specification for design of hydraulic tunnel.According to the analysis of its application in an actual construction project，this method is more convenient and simple，and it can provide more accurate and reliable results that meet the requirements of the construction.

Keywords：gradually varied steady flow；horseshoe-shaped cross-section；oval cross-section；section hydraulic elements