王仁龍+章勤瓊

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出了數(shù)學(xué)教學(xué)要注意“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系”的“三重聯(lián)系”，還提出要發(fā)展學(xué)生的“四基”與“四能”，相比實驗稿課標，著重強調(diào)了數(shù)學(xué)基本思想與基本活動經(jīng)驗，以及提出問題和發(fā)現(xiàn)問題能力的重要性。在“三重聯(lián)系”的觀點下，在數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生的“四基”與“四能”，主要可以著眼于以下三點：探究數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系以獲得基本思想;探索數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系以獲得基本活動經(jīng)驗;探知數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系以培養(yǎng)提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力。

【關(guān)鍵詞】三重聯(lián)系;四基;四能

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0018-03

【作者簡介】1.王仁龍，浙江師范大學(xué)（浙江金華，321004）教育碩士，浙江泰順教師發(fā)展中心研訓(xùn)員; ? ? ? ? ? ?2.章勤瓊，溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院（浙江溫州，325035）教育學(xué)博士，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士后。

一、探究數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系以獲得基本思想

數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展有著千絲萬縷的關(guān)系，本著聯(lián)系是客觀存在的唯物主義觀點，我們平時設(shè)計問題時要注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。課堂教學(xué)要注重知識的聯(lián)系性，注重知識螺旋上升的同時考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷“跳一跳”的過程。

案例一 探索最短路線問題。

引例：教材原題：（浙教版《數(shù)學(xué)》七年級下冊第196頁）如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

圖1 圖2

這個問題聯(lián)系了幾個知識點：兩點之間線段最短、軸對稱圖形性質(zhì)等。為此，引導(dǎo)學(xué)生進行討論，設(shè)街道上一點為P，求PA+PB最小，要進行轉(zhuǎn)化，如何轉(zhuǎn)化呢？就是合二為一，將兩條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上去，為此想到軸對稱中“軸兩側(cè)的圖形關(guān)于對稱軸對稱”。引導(dǎo)學(xué)生作A（或B）關(guān)于l的對稱點A（或B′），連接BA′交l于點P，P即為所求。這個問題就是著名的我國古代“將軍飲馬問題”。問題的求解依賴原有知識聯(lián)系，將問題進行轉(zhuǎn)化。

學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得轉(zhuǎn)化的思想后，我們將問題深入。

應(yīng)用和延伸：

1.如圖3，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

將問題變式，聯(lián)系上一題，引導(dǎo)學(xué)生找“兩點一線”，不難找到E關(guān)于BD的對稱點E′，連接CE′，與BD相交，得到交點Q，如圖4。

圖3 ? ? ?圖4 ? ? ?圖5

2.如圖5，在河灣處M點有一個觀察站，觀察員要從M點出發(fā)，先到AB岸，再到CD岸然后返回M點，請畫出該船應(yīng)該走的最短路線。

此題增加了復(fù)雜程度，由前面的兩條線段增加為三條線段，但本質(zhì)沒有變化。在第一題的基礎(chǔ)上，學(xué)生容易看到問題本質(zhì)，即不論是多少條線段，要求最短距離，都需要將這些線段“搬到一起”。問題設(shè)置落在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)上，讓孩子“跳一跳”就能夠得著，給孩子以思考的空間，聯(lián)系軸對稱和兩點之間線段最短等相關(guān)知識，順利將問題轉(zhuǎn)化為“合三為一”，在感受前后知識的聯(lián)系中水到渠成獲得轉(zhuǎn)化思想。

二、探索數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系以獲得基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸根結(jié)底是“數(shù)學(xué)化”的學(xué)習(xí)，即需要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼睛去認識世界。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能更多地運用數(shù)學(xué)與學(xué)生生活的聯(lián)系，則可以幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)。

案例二：婚宴上的數(shù)學(xué)。

這是一個來源于現(xiàn)實生活的問題，經(jīng)過適當(dāng)加工，可以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中很好地應(yīng)用。有一天在婚宴上，我們在等候客人期間，上來一盤糖果，其中有11顆大白兔奶糖，當(dāng)時有人提出了一個問題，若這些大白兔奶糖全部送給你，每天至少吃一顆，請問有幾種吃法？

在提出這個問題后，學(xué)生首先提出了一個一個數(shù)的方法，但很快他們就發(fā)現(xiàn)由于每天吃糖的顆數(shù)可以從1到11，又分別可以產(chǎn)生不同的組合，情況太多，用數(shù)的方法難以解決。進而教師進行引導(dǎo)，之所以數(shù)的難度大，是因為糖的數(shù)量太多，因此，可以將糖的數(shù)量“退”到最少，即從一顆開始。學(xué)生很快就明白可以將糖進行排列，一起吃的就連在一起，隔開吃的就分開排，具體如表1所示。

表1：不同數(shù)量糖果的不同吃法（其中“-”表示合起來一天吃掉）

通過列表，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)糖果數(shù)量是1、2、3、4時，不同的吃法分別是1、2、4、8。此時，有學(xué)生提出猜想，當(dāng)糖果數(shù)量是5的時候，吃法總數(shù)應(yīng)該就是16，因為規(guī)律都是“乘以2”。

至此，學(xué)生已通過觀察發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，接下來可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考，為什么當(dāng)糖果數(shù)量增加1時，吃法總數(shù)會在前面的基礎(chǔ)上乘以2呢？ ?經(jīng)過了長時間的探索、思考之后，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：每增加一顆糖果，都是在原來每一種吃法的基礎(chǔ)上去加，加上的這一顆要么和最后一顆一起吃，要么分開吃，也就是說在原來吃法的基礎(chǔ)上又可以分為兩種情況，所以要乘以2。

在學(xué)生通過列表這一“操作性”的數(shù)學(xué)活動解決了這一問題后，還可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考，進行“反思性”的數(shù)學(xué)活動。之后有學(xué)生提出另一種想法，我們將11顆糖果排成一行，然后往中間插空格，11顆糖果，10個空格，每個空格可以選或不選，有兩種方法，那么就有210種，這樣還可以得到一般的情形，有n顆糖果，就有2n-1種不同的方法。如果對這一問題進一步深入，就可以轉(zhuǎn)化成排列組合問題。因為插入的空格數(shù)目可以是0到10，那么就有C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+C1010=210。這與之前通過列表得到的結(jié)果是一樣的，不過，學(xué)生分別經(jīng)歷了“操作性”與“反思性”兩種基本活動經(jīng)驗。在這個例子中，通過生活中學(xué)生熟悉的例子，引導(dǎo)探究操作，發(fā)展學(xué)生思維，學(xué)會抓住問題難點，獲得解決問題的基本活動經(jīng)驗，讓學(xué)生都獲得了不同層次的思維鍛煉。

此外，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，運用學(xué)生熟悉的生活情境，有利于教學(xué)活動的開展。譬如，在教學(xué)三角形時，如果考慮學(xué)生的生活經(jīng)驗與興趣點，準備意大利面，讓孩子將面條折成三段，然后構(gòu)造出三角形。這個活動易操作，且符合學(xué)生的生活經(jīng)驗，就可以更好地調(diào)動學(xué)生的主動性。而在折面條的過程中，部分學(xué)生因為沒有考慮三邊關(guān)系，沒法構(gòu)造出三角形。學(xué)生自己在課堂上操作，產(chǎn)生沖突，主動思考原因，最后自然地給出了三角形的定義以及三邊長度的關(guān)系。

三、探知數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系以培養(yǎng)提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力

發(fā)掘?qū)W科之間的關(guān)聯(lián)，能經(jīng)常帶給學(xué)生新鮮感，數(shù)學(xué)作為科學(xué)研究的工具，我們要注重培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)有用的意識。注重聯(lián)系數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的教學(xué)設(shè)計，不斷引導(dǎo)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，常能得到意想不到的效果。

案例三：物理運動下的圖形問題。

圖6是一個街區(qū)的平面圖。如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點，點P從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA勻速向點A運動，設(shè)它運動的時間為t秒，你能提出什么問題？

學(xué)生設(shè)計了如下一些問題：

問題一：連接P、D點，t為何值時，△PDB是等腰三角形？

問題二：以點P為圓心、BP為半徑畫圓，t為何值時，⊙P與AD相切？

問題三：t為何值時，S△PDB=S△ABC？

在學(xué)生小組合作快速解決以上問題后，教師在第一題一個動點的基礎(chǔ)上增加一個動點，不斷補充條件，不斷加深難度，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地對動點問題進行探討。

變式一：如圖7，另一動點Q同時以1cm/s的速度從點C出發(fā)，沿DB勻速向點B運動，過點Q作QF⊥BC交AC于點F，連接PF、PQ，其中一個動點到達端點時，另一動點也隨之停止運動，設(shè)它們運動的時間為t秒。

在條件增加的情況下，再讓學(xué)生提問題，學(xué)生提出如下問題。

問題四：點t為何值時，S△PDQ最大？

問題五：點t為何值時，△PFQ為直角三角形？

以上基于物理學(xué)科物體勻速直線運動的背景，根據(jù)路程、速度和時間關(guān)系探究動點問題，有效整合學(xué)科間聯(lián)系，將問題設(shè)置成開放題，在培養(yǎng)學(xué)生解決問題和分析問題的能力的前提下，很好地為學(xué)生搭建了提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的平臺，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能注意數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，還能培養(yǎng)學(xué)生提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力。譬如，講到《黃金分割》這個章節(jié)時，教師展示了美術(shù)作品《蒙娜麗莎的微笑》，蒙娜麗莎臉上的微笑神秘莫測且令人傾倒，蒙娜麗莎之所以給人以美的感受，是很好地運用了“黃金分割”定律。因為畫中很多地方都隱含了“黃金分割”：臉部長寬比例是0.618，眼睛到額頭與到下巴也是這個比例等。而且，很多植物兩片葉子所成的夾角是137°28'，這個夾角把圓周分成1：0.618的兩個角，據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對植物通風(fēng)和采光效果最佳。由于巧妙運用這一發(fā)現(xiàn)，美國少年艾丹·德懷爾被授予2011年度“年輕自然學(xué)家獎”。這樣的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生體驗到在大自然與其他學(xué)科中，數(shù)學(xué)的身影無處不在。

此外，還可以通過各種豐富多彩的方式來進行數(shù)學(xué)教學(xué)，譬如，可以利用剪紙折紙來教學(xué)三角形以及角平分線等基本線的概念與特征，以及彼此之間的聯(lián)系。在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生不僅用數(shù)學(xué)的眼睛看到了美術(shù)作品與大自然中獨特的美，更重要的是，通過學(xué)科之間的聯(lián)系，在設(shè)計中注重“問題意識”的培養(yǎng)，課堂中要時刻注意給學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題”的機會，如用開放題給孩子機會，多問“為什么？”“你是怎么想的？”“還有其他想法嗎？”學(xué)生的問題意識增強了，學(xué)習(xí)效率就會提高，思維品質(zhì)也就逐步完善。這也是學(xué)生創(chuàng)新精神培養(yǎng)和能力提升的基礎(chǔ)。

對于基礎(chǔ)知識與基本技能的落實是我國數(shù)學(xué)教育的特點，而傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計主要是注重學(xué)生分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)，在教學(xué)中往往對數(shù)學(xué)基本思想與基本活動經(jīng)驗不夠重視，忽視了學(xué)生提出問題與發(fā)現(xiàn)問題能力的培養(yǎng)。這種教學(xué)雖然扎實，卻有所缺失，不利于學(xué)生創(chuàng)新精神的養(yǎng)成。在“三重聯(lián)系”的觀點下，在數(shù)學(xué)教學(xué)中若能夠加強數(shù)學(xué)與前后知識、與學(xué)生生活以及與其他學(xué)科的聯(lián)系，則有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得，并能更好地給他們創(chuàng)建平臺，培養(yǎng)提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的意識與能力。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)課程標準（2011）的“另類解讀” [J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，（01）.

[2]徐文彬.如何認識《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中的三重聯(lián)系[J].江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2013（02）.

[3]徐文彬.基于“三重聯(lián)系”的課堂教學(xué)設(shè)計——以《一元二次方程》單元復(fù)習(xí)為例[J].江蘇教育：中學(xué)教學(xué)，2013（05）.

[4]方巖.從“雙基”到“四基”，從“兩能”到“四能”[J].教學(xué)月刊：中學(xué)版，2012（09）.