朱衛(wèi)星

摘 要： 中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含著許多思想方法，就解決問題而言，化歸思想是解決問題的基本思想方法.利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，化生為熟；應(yīng)用思維策略，化繁為簡(jiǎn)；運(yùn)用逆向思維，化正為反；借助數(shù)學(xué)圖形工具，化抽象為具體.通過化歸思想，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)與能力.

關(guān)鍵詞： 化歸思想 解題能力 初中數(shù)學(xué)教學(xué)

在中學(xué)，就解決問題而言，化歸方法是解決問題的基本思想方法.所謂化歸，就是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中，借此獲得原問題解決的一種思想方法.在初中生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，貯藏了一定量的數(shù)學(xué)公理、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知識(shí)，通過化歸方法，把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生比較熟悉、比較容易的問題，方便求解.化歸的基本模式：

以下是我結(jié)合教學(xué)過程中的體會(huì)，對(duì)初中數(shù)學(xué)運(yùn)用化歸思想解題的初探.

一、利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，化生為熟

學(xué)習(xí)是一個(gè)在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)體系基礎(chǔ)上不斷積累的過程，后續(xù)新知識(shí)的學(xué)習(xí)與解決問題的策略方法，都離不開學(xué)生原有的知識(shí)體系和數(shù)學(xué)素養(yǎng).化歸之“化”，即是將面臨的新問題“轉(zhuǎn)化”為比較熟悉的問題，在陌生中努力尋找熟悉的因素，以便將問題向著我們熟悉的方向轉(zhuǎn)化，努力尋找與問題比較接近而又是相對(duì)熟悉的問題，化生為熟，運(yùn)用已知結(jié)論或已有解題經(jīng)驗(yàn)，使問題得到解決.

例1：蘇科版九年級(jí)上冊(cè)中，證明圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

分析：經(jīng)過操作與思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)到一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，這些圓周角對(duì)于圓心的位置有3種.如圖，①圓心在圓周角的一邊上；②圓心在圓周角的內(nèi)部；③圓心在圓周角的外部.對(duì)于第一種情形，①圓心在圓周角的一邊上，利用等邊對(duì)等角、外角性質(zhì)，學(xué)生能證明其余兩種情形.引導(dǎo)學(xué)生自主探索，通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化成第一種情形來證，從而總結(jié)出一般規(guī)律，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

解：如圖1，①當(dāng)圓心在圓周角的一邊上

設(shè)∠A=x

∵OA=OB

∴∠OBA=∠OAB=x

∵∠BOC是∠OBA的外角

∴∠BOC=∠OBA+∠OAB=2x

∴∠BAC=∠BOC

如圖2，②當(dāng)圓心在圓周角的內(nèi)部：

作直徑AD，轉(zhuǎn)化成①的情形，圓周角∠BAC=∠BAD+∠CAD；

③當(dāng)圓心在圓周角的外部：

作直徑AD，轉(zhuǎn)化成①的情形，圓周角∠BAC=∠BAD-∠CAD.

上述例題中，在學(xué)生已解決問題①：當(dāng)圓心在圓周角的一邊上的前提下，采用迂回的手段將要解決的問題②：圓心在圓周角的內(nèi)部；③：圓心在圓周角的外部，通過添設(shè)輔助線，作直徑AD，變換成熟悉的第一種情形，使問題得以解決.

二、應(yīng)用思維策略，化繁為簡(jiǎn)

當(dāng)所遇問題結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，對(duì)于一般學(xué)生來講很難直接求解時(shí)，我們通?？伤伎急M可能將問題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的易于確定解題方向的問題，從而使新問題得到解決.

∴原方程的解為：-2和1.

通過恰當(dāng)換元，對(duì)問題做形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出問題的內(nèi)在聯(lián)系，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，使問題輕松獲解，有利于后進(jìn)生樹立學(xué)習(xí)信心.

三、運(yùn)用逆向思維，化正為反

我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)，一般從分析題目中的已知條件入手，層層推理，得出所需要求證的結(jié)論，有時(shí)我們也可以運(yùn)用逆向思維，化正為反，從與常規(guī)思維相反的方向認(rèn)識(shí)問題，從對(duì)立的角度思考問題，尋求解題途徑，提高學(xué)生分析思維能力和解決復(fù)雜問題的能力.

例3：判斷命題“在一個(gè)三角形中，至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角”的真假.

分析：假設(shè)三角形中銳角的個(gè)數(shù)少于2個(gè)，那么三角形中就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的角是鈍角或直角，兩個(gè)鈍角或兩個(gè)直角的和加上第三個(gè)角的度數(shù)一定大于180°，這就違背了三角形內(nèi)角和是180°的性質(zhì)，所以一個(gè)三角形至少有2個(gè)銳角，最多有1個(gè)鈍角，從而得出原命題是假命題.

例4：二次函數(shù)y=x+bx+c的圖像向左平移三個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得二次函數(shù)y=x-2x+1的圖像，求b、c的值.

分析：將二次函數(shù)y=x-2x+1的圖像沿著反方向平移，即向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到二次函數(shù)y=x+bx+c的圖像，就能輕松求出b、c的值.

我們?cè)诮鉀Q一些問題時(shí)，可以運(yùn)用逆向思維，從問題的對(duì)立面入手，化正為反，易于問題的解決.

四、借助數(shù)學(xué)圖形工具，化抽象為具體

數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性，為了便于理解問題，平時(shí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，把涉及的各個(gè)數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系用圖形表示出來，化抽象為具體，增強(qiáng)直觀性，有利于問題的求解.

例5：如圖1，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC.已知AB=2，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；

（2）請(qǐng)問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小；

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)求出代數(shù)式的最小值.

分析：在解決問題（3）時(shí)，我們可以模仿圖1，并由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，如圖2，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值.借助數(shù)學(xué)圖形工具，把求形如的代數(shù)式的最小值，化為直角三角形，利用勾股定理求解.把“數(shù)”的問題，通過“形”使之直觀化，使原問題易于獲得解決.

在列方程解決應(yīng)用題中，我們常常通過畫線段或畫圖表等方法，將問題直觀化，這樣就容易理解問題中相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系.

例6：某種商品以8元購進(jìn)，若按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法來增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件.

（1）當(dāng)售價(jià)提高多少元時(shí)，每天利潤(rùn)為700元？

（2）設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，請(qǐng)你探究售價(jià)為多少元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？分析：設(shè)應(yīng)漲價(jià)x元，每天利潤(rùn)為700元.

在此銷售問題中，涉及漲價(jià)前、后的進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)和銷售量，數(shù)量較多，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖表的方法，把這些相關(guān)的數(shù)量列出來，增強(qiáng)直觀性，方便學(xué)生表達(dá)漲價(jià)后銷售量的代數(shù)式，有利于本題的解決.

化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要思想，是數(shù)學(xué)解題中普遍使用的方法，平時(shí)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生充分審題，仔細(xì)觀察，挖掘題意中隱藏的化歸思想方法，充分調(diào)動(dòng)和運(yùn)用我們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，有利于問題的解決，不斷總結(jié)應(yīng)用化歸方法解決問題的規(guī)律，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)與能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫高傳.淺談運(yùn)用化歸思想解題的策略.

[2]曹曉梅.如何在初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用化歸思想.