薛建彪

筆者參加了2015年蘇州市中考閱卷工作，所在的閱卷組批閱第24題，題目是一道較簡單的幾何題.學(xué)生對第1問的解法五彩紛呈，現(xiàn)對幾種典型的解法作評價分析.通過此題，筆者談?wù)剬虒W(xué)的思考和啟發(fā)，與同行交流.

1.原題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中，AB=AC.分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧，設(shè)兩弧交于點D，與AB、AC的延長線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD.

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結(jié)果保留）.

第1問標(biāo)準(zhǔn)答案提供的解法：由作圖可知BD=CD.

在△ABD和△ACD中，

AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

筆者本以為大多數(shù)學(xué)生能夠輕松地解答出第1問，但沒想到蘇州大市此題的平均分為5.15分（滿分為8分），得分較低.再看看學(xué)生的幾種典型解法：

學(xué)生1的解法：由作圖可知：BD=CD，又∵AB=AC，∴D點、A點都在BC的垂直平分線上，即AD為BC的垂直平分線，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD（三線合一），即AD平分∠BAC.

學(xué)生2的解法：由作圖可知：BD=CD，∴∠DBC=ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

學(xué)生3的解法：過點D作DH⊥AE，DG⊥AF，由作圖可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBH=∠DGC，在△DHB和△DGC中，∠DHB=∠DGC，∠DBE=∠DCF，BD=DC，∴△DHB≌△DGC，∴DH=DG，又∵DH⊥AE，DG⊥AF，∴AD為∠EAF的角平分線，∴AD平分∠BAC.

學(xué)生4的解法：連接DE、DF，由作圖可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF，在△AED和△AFD中，AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.

學(xué)生5的解法：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.

2.分析與評價

2.1本題特點

筆者查閱了近4年來蘇州市基礎(chǔ)解答題中對三角形全等判定的考察，無一例外地都放在了四邊形中，學(xué)生似乎習(xí)慣了“直來直去”的圖形，處理起來游刃有余.然而，2015年出卷老師在四邊形的基礎(chǔ)上增添了圓的元素——弧，兩個基本圖形（四邊形、?。耙恢币粡潯狈旁谝黄饡r，一部分學(xué)生就懵了，得出“BD=BA=BE”的結(jié)論，從而導(dǎo)致錯誤.

2.2學(xué)生的解法

學(xué)生1的解法中，抓住了特征條件：AB=AC，BD=CD，利用線段的垂直平分線的逆定理進(jìn)行證明，方法另辟蹊徑，簡潔明了；學(xué)生2的解法運(yùn)用三角形全等的判定條件邊角邊，雖然與標(biāo)準(zhǔn)答案中邊邊邊的解法相比，略顯繁瑣，但基本還在“通性通法”的范疇；學(xué)生3是通過構(gòu)造到角的兩邊的垂線段，證明一次三角形全等得到垂線段長度相等，利用角平分線定理的逆定理得證；從學(xué)生4的解法中可以看出，此類學(xué)生雖然學(xué)會了三角形全等的證法，但不能靈活地篩選提取、組織有利條件，形成最佳方案解決問題；學(xué)生5的問題在于對圓的概念的理解不夠深刻，想當(dāng)然地認(rèn)為∠EAD和∠EBD是同圓或等圓中的圓周角與圓心角，缺乏學(xué)習(xí)幾何應(yīng)該具備的“言之有據(jù)”的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

3.幾點思考與教學(xué)啟示

3.1在“通性通法”的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維

章建躍博士指出：“‘通性’就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；‘通法’就是概念所蘊(yùn)含的思想方法。教學(xué)中，注重基礎(chǔ)知識及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的‘長期利益’.”第1問要證明AD平分∠BAC，實質(zhì)上是要證明∠BAD=∠CAD，學(xué)生最容易想到證明兩個角相等的“通法”就是證明兩個三角形全等，共有五種方法，結(jié)合圖形與條件，最簡便的方法就是利用三邊對應(yīng)相等證明.然而，筆者欣喜地看到，學(xué)生1和學(xué)生3能夠抓住“角被平分”這一基本圖形，聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，運(yùn)用線段的垂直平分線逆定理和角平分線逆定理證明，無不彰顯出這兩類學(xué)生優(yōu)秀的發(fā)散性思維品質(zhì).因此，在日常課堂上，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生基本的“通性通法”意識，在此基礎(chǔ)上鼓勵學(xué)生采用多種方法解決問題，逐步發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維.

3.2在預(yù)設(shè)基礎(chǔ)上關(guān)注生成，強(qiáng)化對比辨析，促進(jìn)認(rèn)知

教師除了要精心預(yù)設(shè)以外，更要關(guān)注教學(xué)生成.在日常教學(xué)中，伴隨教學(xué)進(jìn)程的推進(jìn)，一定會出現(xiàn)豐富的教學(xué)生成.這些生成是寶貴的教學(xué)資源，教師應(yīng)密切關(guān)注及時收集、整理.通過實物投影、圖片上傳等方式將一些可用的對比素材及時呈現(xiàn)，并讓學(xué)生仔細(xì)觀察這些資源，通過自主探究、合作交流等方式充分辨析.比如，在上述案例中，教師可以將5種解法“對比呈現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、辨析各種解法優(yōu)劣（包括錯誤）的過程，讓學(xué)生感知不同解法的繁簡，促進(jìn)學(xué)生對4種證明解法的認(rèn)知，提升學(xué)生問題解決的有效性與合理性，完善學(xué)生的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).

3.3引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)幾何概念，體會數(shù)學(xué)本質(zhì)

一般而言，概念是同類事物本質(zhì)特征的概括.讓學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程，使學(xué)生有機(jī)會通過自己的觀察與思考，從具體事例中抽象出概念的本質(zhì)特征進(jìn)而獲得概念.幾何概念的獲得亦是如此.

案例：《圓》的集合定義教學(xué)片斷

教師：同學(xué)們小學(xué)里就學(xué)過了圓，能畫出圓的圖形嗎？動手畫一畫.

學(xué)生：（用圓規(guī)在紙上紛紛畫起來……）

（兩分鐘后）

教師：（從學(xué)生作圖中選取兩張）這兩個圓為什么一大一小？

學(xué)生1：因為它們的半徑大小不一樣.

教師：說明半徑?jīng)Q定圓的——

學(xué)生：大小.

教師：（拿出其中一張放在不同位置上）圓的位置由什么決定？

學(xué)生2：圓心.

教師：如何確定一個圓？

學(xué)生3：只要確定圓心（定點）和半徑（定長）.

教師出示問題：4個同學(xué)正在做投圈游戲，呈“一”字型排開，同時投圈，這樣的隊形對每個人公平嗎？你認(rèn)為他們應(yīng)該怎樣站，投圈才公平？說說理由.

學(xué)生4：他們可以按圓形站.

教師：想法很好?。ǔ鍪緢D1）為什么這樣站公平？

學(xué)生4：因為這4名同學(xué)到玩具（圓心）的距離都相等，都等于半徑長.

教師：如果換成100名同學(xué)游戲呢？

眾生：情況是一樣的.

教師：假設(shè)這4個同學(xué)到玩具的距離是1米，后來又來了兩個同學(xué)，他們到玩具的距離也是1米（如圖2），那么這兩個同學(xué)站在哪里公平？

學(xué)生5：還是圓上.

教師：如果來了100名同學(xué)呢？

眾生：圓上.

教師：類比這個游戲，誰來說說圓是由怎樣的一些點構(gòu)成的？

學(xué)生6：到圓心（定點）的距離都等于半徑（定長）的一些點構(gòu)成的.

教師：這樣的點有多少個？

眾生：無數(shù)個.

點評：學(xué)生在小學(xué)時已經(jīng)對圓有了一定的認(rèn)識，基本能夠運(yùn)用圓規(guī)畫出圓的圖形，但要讓學(xué)生理解圓的集合定義則存在較大困難.因此，教師首先讓學(xué)生通過作圖經(jīng)歷圓的形成過程及明確確定圓的兩個要素（圓心、半徑），然后設(shè)計了一個學(xué)生頗為熟悉、具體形象的“套圈”游戲，讓學(xué)生類比感知，自主建構(gòu)出圓的集合定義“圓是到圓心的距離都等于半徑的點的集合”，體會圓概念的本質(zhì)屬性，學(xué)生深刻理解了圓的概念，解法5的錯誤就會少很多.

對于中考題，人們常常關(guān)注的是它的考試功能，事實上，筆者認(rèn)為，更應(yīng)該關(guān)注的是學(xué)生解答中考題所反映出的問題，以及給教師日常教學(xué)帶來的反思和啟示.此外，從教師自身專業(yè)發(fā)展來看，這些也是教師專業(yè)成長的寶貴資源.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.如何實現(xiàn)“思維的教學(xué)”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2015（4）：10-12.

[2]萬劍波.注重通性通法，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2014（9）：67-69.