石冶郝+林玲

盡管函數(shù)f（x）=是兩個(gè)基本初等函數(shù)相除的結(jié)果，但是一些涉及數(shù)列、不等式、方程的問(wèn)題，巧妙借助于函數(shù)f（x）=，可使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn). 我們還可以在高考題中找到函數(shù)f（x）=的身影.

例如2005年高考全國(guó)卷III第6題：若a=，b=，c=，則（ ）.

A. a

C. c

又如2013年北京高考理科數(shù)學(xué)卷第18題：設(shè)l為曲線C：y=在點(diǎn)（1，0）處的切線，

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

先用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=的性質(zhì)， 求導(dǎo)得f′（x）=

′=，令f′（x）=0，x=e，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）<0，因此f（x）=在（0，e）嚴(yán)格遞增，在（e，+∞）嚴(yán)格遞減，最大值為f（e）=；又f（1）=0，根據(jù)羅比塔法則[lim=][x→+∞][lim=][x→+∞][lim=0][x→+∞]，函數(shù)f（x）=的圖象如圖1 .

下面通過(guò)具體例子介紹函數(shù)f（x）=在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、求數(shù)列{}的最大項(xiàng)

考察函數(shù)f（x）=[x][]=[e][]，x≥1，求導(dǎo)得f′（x）=[e][]

′=[x][][-2]（1-lnx），令f′（x）=0，x=e；當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）<0，因此f（x）=[x][]在[1，e）嚴(yán)格遞增，在（e，+∞）嚴(yán)格遞減，點(diǎn)x=e為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f（e）=[e][]，又函數(shù)只有唯一的極大值點(diǎn)，極大值也是最大值，根據(jù)2

二、比較ab與ba（a>0，b>0）的大小

因?yàn)閍b=[eln][ab]=[e][blna]=[e][ab][]，ba=[eln][ba]=[e][alnb]=[e][ab][]，所以比較ab與ba的大小最終歸結(jié)為比較與的大小，不妨設(shè)a>b，

（1） a>b≥e，<，ab

（2） e≥a>b，>，ab>ba；

（3） a>e>b，當(dāng)0，ab>ba；

當(dāng)b>1時(shí)，與大小無(wú)法比較，因此abba都有可能. 例如52<25，42=24，32>23.

三、指數(shù)函數(shù)y=ax與冪函數(shù)y=xμ（a>0，a≠1，x>0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

問(wèn)題等價(jià)于討論方程ax=xμ（a>0，a≠1，x>0）有幾個(gè)不同的正實(shí)根.

方程兩邊取對(duì)數(shù)得lnax=lnxμ ，即xlna=μlnx，

整理得==[lna][]，

當(dāng)[lna][]>即[a][]>[e][]時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)[lna][]=即[a][]=[e][]時(shí)，方程有一個(gè)解；

當(dāng)>[lna][]>0，即[e][]>[a][]>1時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解；

當(dāng)0>[lna][]即1>[a][]>0時(shí)，方程有一個(gè)解.

特殊情形當(dāng)μ=1時(shí)，方程ax=x（a>0，a≠1，x>0）的根的結(jié)論是：

當(dāng)a>[e][]時(shí)，方程無(wú)解，即曲線y=ax與直線y=x無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)a=[e][]時(shí)，方程有一個(gè)解，即曲線y=ax與直線y=x有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)曲線與直線相切；

當(dāng)[e][]>a>1時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，即曲線y=ax與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)1>a>0時(shí)，方程有一個(gè)解，即曲線y=ax與直線y=x有一個(gè)交點(diǎn).

僅僅憑借冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，很難正確從圖形直觀上判斷出它們的交點(diǎn)數(shù)，直覺(jué)有時(shí)會(huì)欺騙人的眼睛.

四、感悟

縱觀上述三個(gè)應(yīng)用，雖然表面上風(fēng)馬牛不相及，但是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，最終歸結(jié)為討論函數(shù)f（x）=的性質(zhì). 尤其在高三復(fù)習(xí)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生探究知識(shí)產(chǎn)生的源頭和背景，利用函數(shù)思想解決問(wèn)題，舉一反三，觸類旁通，跳出題海，提高解題能力和學(xué)習(xí)效率.