楊偉

摘 要 文章針對(duì)當(dāng)前應(yīng)用型本科院校的特點(diǎn)和線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀，根據(jù)實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中如何進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量，探討線(xiàn)性代數(shù)課堂教學(xué)的一些心得和體會(huì)。

關(guān)鍵詞 線(xiàn)性代數(shù) 應(yīng)用型本科院校 數(shù)學(xué)軟件

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.09.037

Explore Applied Undergraduate Colleges Linear Algebra Teaching

YANG Wei

（Department of Mathematics and Physics， Shanghai Dianji University， Shanghai 201306）

Abstract Based on the characteristic of application-oriented college and university， the current situation of education of Liner Algebra and the practical teaching experience， this paper discusses how to further improve the teaching quality in teaching process， and shares the teaching experience and result.

Key words Linear Algebra; application-oriented college and university; mathematical software

線(xiàn)性代數(shù)同微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等一樣，是大學(xué)數(shù)學(xué)的一部分，是一門(mén)具有實(shí)用價(jià)值的工具學(xué)科。線(xiàn)性代數(shù)主要處理線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題，即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系，是以一次形式來(lái)表達(dá)的，它的理論與方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的很多分支，同時(shí)也能應(yīng)用到物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科。①因此，在大多數(shù)高校中，不管是理工科學(xué)生還是文科商科學(xué)生，線(xiàn)性代數(shù)是安排在大一或者大二上學(xué)期，這樣安排既能使學(xué)生慢慢適應(yīng)大學(xué)課程的學(xué)習(xí)節(jié)奏，為后續(xù)課程打好基礎(chǔ);又非常有益于提高學(xué)生抽象思維能力和邏輯思維能力，為提高學(xué)生的創(chuàng)新能力做好鋪墊。因此線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)既擔(dān)負(fù)著傳授知識(shí)的責(zé)任，又起到培養(yǎng)學(xué)生理性邏輯思維能力的重要作用。

線(xiàn)性代數(shù)的研究對(duì)象是向量、向量空間（或稱(chēng)線(xiàn)性空間）、線(xiàn)性變換和有限維的線(xiàn)性方程組等。②③向量空間是大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題，而且被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)、泛函分析、物理學(xué)、導(dǎo)航等;含有多個(gè)未知量的一次方程稱(chēng)為線(xiàn)性方程，關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱(chēng)為線(xiàn)性函數(shù)，線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)性問(wèn)題，解線(xiàn)性方程組的問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的線(xiàn)性問(wèn)題。隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線(xiàn)性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線(xiàn)性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線(xiàn)性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。

在一些新建的理工類(lèi)本科院校中，學(xué)生水平參差不齊，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的需求由于專(zhuān)業(yè)的不同而存在差異，這就給數(shù)學(xué)課的教學(xué)增加了難度。下面介紹這些年作者在應(yīng)用型本科院校線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐中所得出的一些想法和體會(huì)。

1 提高教師自身知識(shí)水平

教好一門(mén)課的首要前提條件是教師能夠深刻理解和把握教學(xué)內(nèi)容。教師在上課之前備課的過(guò)程中，要深刻理解所授知識(shí)，知道它的來(lái)龍去脈、推導(dǎo)過(guò)程、演變?cè)虻鹊?。?duì)于線(xiàn)性代數(shù)來(lái)說(shuō)，就要深刻理解矩陣和行列式的意義，從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，將這些定義介紹給學(xué)生，并要認(rèn)真貫通地講解行列式計(jì)算方法、矩陣求逆的方法等，并比較所有方法的優(yōu)缺點(diǎn)。如果教師對(duì)自己所教的內(nèi)容缺乏深刻的理解，或者處于似懂非懂的狀態(tài)，則在教學(xué)過(guò)程中，將無(wú)法把教學(xué)內(nèi)容最本質(zhì)的東西交給學(xué)生。線(xiàn)性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一部分，具有很強(qiáng)的邏輯性，是一門(mén)要用心去思考的課。教師能夠真正理解它的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)和這些知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，才能在教學(xué)的時(shí)候游刃有余，把其中的難點(diǎn)、重點(diǎn)用通俗易懂的語(yǔ)言全部點(diǎn)到，縮短學(xué)生思考領(lǐng)悟的時(shí)間，并且有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。④

2 幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)，尤其是線(xiàn)性代數(shù)的信心

由于數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性以及運(yùn)算的復(fù)雜性等原因，使得很多學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)之前就對(duì)它產(chǎn)生了畏懼和抵觸心理，學(xué)習(xí)過(guò)程中，更是有多數(shù)學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)較困難，以至于沒(méi)有學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

針對(duì)這種情況，教師在教學(xué)時(shí)，就要逐步加強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，尤其是學(xué)好線(xiàn)性代數(shù)的信心。首先，在教學(xué)過(guò)程中，擺脫刻板的形象，改變教師的衣著、語(yǔ)氣等外在形象，使學(xué)生眼前一亮，引起他們的注意力。其次，在講課的過(guò)程中，盡量用他們聽(tīng)得懂的專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言。作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的老師，對(duì)線(xiàn)性代數(shù)都非常熟悉，講課時(shí)很容易用到一些學(xué)生并不掌握的數(shù)學(xué)用語(yǔ)或者符號(hào)，此時(shí)若不加以說(shuō)明，學(xué)生便會(huì)很茫然。在例題的選取過(guò)程中，一定要針對(duì)學(xué)生的接受程度選擇，而且要做到先易后難，循序漸進(jìn)，切不可揠苗助長(zhǎng)，操之過(guò)急，使學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，甚至使得有些學(xué)生產(chǎn)生“即使學(xué)了也學(xué)不會(huì)”的想法。再次，教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)以鼓勵(lì)為主，批評(píng)為輔。尤其是對(duì)那些自暴自棄的學(xué)生，更要多鼓勵(lì)，從簡(jiǎn)單的題目入手，如計(jì)算兩階行列式，使其慢慢增加學(xué)好線(xiàn)性代數(shù)的信心。在證明一些重要結(jié)論等講解理論的時(shí)候，不能讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感，讓他們自認(rèn)為很難不可能學(xué)會(huì)，適時(shí)適量地鼓勵(lì)督促往往能起到事半功倍的效果。

3 解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

隨著現(xiàn)代傳播技術(shù)的發(fā)展，學(xué)生感觀(guān)方面越來(lái)越挑剔，單純的理論講解證明不能吸引大多數(shù)學(xué)生的注意力，而一些實(shí)際問(wèn)題，尤其是與學(xué)生專(zhuān)業(yè)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題能極大地提高學(xué)生的興趣。另一方面，線(xiàn)性代數(shù)本身就是一種應(yīng)用工具，授課過(guò)程中，可以將一些日常生活問(wèn)題或者與學(xué)生專(zhuān)業(yè)相關(guān)的問(wèn)題作為例子在課堂上講解，并應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)予以解決，以滿(mǎn)足非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的需要。⑤此外，可以將一些實(shí)際問(wèn)題甚至一些趣味問(wèn)題作為實(shí)驗(yàn)的例子建立數(shù)學(xué)模型，綜合運(yùn)用線(xiàn)性代數(shù)、微積分、概率論等數(shù)學(xué)知識(shí)，并結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件的使用，讓學(xué)生得出結(jié)果，解決問(wèn)題，做綜合實(shí)驗(yàn)是很有益的。當(dāng)學(xué)生看到線(xiàn)性代數(shù)有這么多適合他們專(zhuān)業(yè)的應(yīng)用時(shí)，便提高了他們學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的興趣。

4 簡(jiǎn)化理論證明，加強(qiáng)計(jì)算能力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件解題目

和高等數(shù)學(xué)一樣，線(xiàn)性代數(shù)中也有較多的理論需要詳細(xì)講解和證明，證明的過(guò)程較復(fù)雜。對(duì)于應(yīng)用型本科院校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們更加想要學(xué)的是用現(xiàn)有的方法又快又準(zhǔn)確地解決問(wèn)題，并不是這些解決問(wèn)題方法的由來(lái)與證明，因此教學(xué)過(guò)程中，可以講解一下證明的思路與方法，并不需要詳細(xì)的證明。

線(xiàn)性代數(shù)的許多知識(shí)點(diǎn)都需要較復(fù)雜的計(jì)算，比如，計(jì)算矩陣的秩、求逆矩陣、行列式計(jì)算、求伴隨矩陣等等，這些計(jì)算既復(fù)雜又容易出錯(cuò)，是教學(xué)的重點(diǎn)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，考試時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)，因此教學(xué)過(guò)程中，需要著重講解這些計(jì)算方法，讓學(xué)生掌握計(jì)算過(guò)程以及容易出錯(cuò)的地方，通過(guò)例題和課后作業(yè)，加強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算能力。事實(shí)上，對(duì)于上述計(jì)算問(wèn)題，數(shù)學(xué)軟件都能既快又準(zhǔn)確地解決，比如Matlab等，因此，在學(xué)生學(xué)會(huì)筆算之后，可以圍繞線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)介紹如何使用Matlab解決這些計(jì)算問(wèn)題。

5 布置適量且難度適中的課后作業(yè);布置開(kāi)放作業(yè)以給學(xué)生自由發(fā)揮的空間

線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)較多，而且每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的計(jì)算方法有很多種，故需要大量針對(duì)性的練習(xí)以鞏固所學(xué)的內(nèi)容。結(jié)合人們學(xué)習(xí)過(guò)程中的“先快后慢”的遺忘規(guī)律，一定要在上完新課后馬上布置對(duì)應(yīng)的作業(yè)，讓學(xué)生有針對(duì)性的練習(xí)。但是，布置的作業(yè)除了使學(xué)生盡可能地記住所學(xué)知識(shí)，還需要照顧到大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和知識(shí)水平，盡量布置題量適量且難度適中的作業(yè)。促使學(xué)生及時(shí)復(fù)習(xí)，提高學(xué)生的時(shí)間利用率。

另外，結(jié)合線(xiàn)性代數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的廣泛性，以及學(xué)生渴望解決時(shí)間問(wèn)題的愿望，應(yīng)當(dāng)布置一定難度的開(kāi)放作業(yè)，例如簡(jiǎn)單的建模問(wèn)題等，這些問(wèn)題能夠吸引學(xué)生自覺(jué)自主地復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，而且學(xué)會(huì)查閱資料，與同學(xué)討論共同進(jìn)步。

6 精簡(jiǎn)內(nèi)容

在一般的非重點(diǎn)大學(xué)、應(yīng)用型本科院校中，由于越來(lái)越重視實(shí)踐技能，導(dǎo)致理論課程的學(xué)時(shí)不斷減少，因此線(xiàn)性代數(shù)在教學(xué)內(nèi)容上應(yīng)當(dāng)盡可能地簡(jiǎn)化與提煉，以適應(yīng)這種變化趨勢(shì)。而且在應(yīng)用型本科院校中，學(xué)生的素質(zhì)也相對(duì)弱一些，學(xué)習(xí)氛圍并不是太濃厚，若按照重點(diǎn)大學(xué)的課程內(nèi)容授課通常行不通，學(xué)生不易接受，教師講解費(fèi)時(shí)費(fèi)力，到最后，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被磨沒(méi)了，教師的教學(xué)熱情也逐漸減弱，而學(xué)生能夠真正掌握的東西卻很少。解決這一問(wèn)題的一個(gè)方法就是將線(xiàn)性代數(shù)簡(jiǎn)化提煉。著重突出講解定義、內(nèi)涵原理等，讓學(xué)生掌握矩陣、行列式、線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣的由來(lái)、定義等，學(xué)會(huì)計(jì)算矩陣的初等變換、矩陣的秩、逆矩陣、行列式的計(jì)算和線(xiàn)性方程組解的情況以及解的求法等。另外，要了解上述內(nèi)容的計(jì)算機(jī)軟件如Matlab等的求解方法。

7 總結(jié)

線(xiàn)性代數(shù)是一門(mén)陶冶情操、增強(qiáng)邏輯能力又很實(shí)用的一門(mén)學(xué)科，在教與學(xué)的過(guò)程中，我們都能體會(huì)到它的力量與魅力。作為大學(xué)數(shù)學(xué)教師，自身也要不斷地?cái)U(kuò)充學(xué)習(xí)，用心體會(huì)線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)的樂(lè)趣。總之，作為新建應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)系的老師，要學(xué)會(huì)把握理論教學(xué)與實(shí)踐的關(guān)系，不斷探索線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)的教學(xué)思想，改進(jìn)教學(xué)新方法與手段，充分利用現(xiàn)代傳播演示技術(shù)，為我國(guó)培養(yǎng)更多合格的應(yīng)用技術(shù)型人才而努力提高教學(xué)質(zhì)量。

基金項(xiàng)目：本文系上海電機(jī)學(xué)院重點(diǎn)教研教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：A1-0212-00-010-06）的研究成果

注釋

① 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

② 王海俠，孫和軍，王青云.改進(jìn)線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)方法的幾點(diǎn)想法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010.13（6）：13-15.

③ 黃玉梅，李彥.非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)改革探討[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009.28（5）：87-89.

④ 李強(qiáng)，陳志彬.工科線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐與探索[J].教育教學(xué)論壇，2015.20：132-133.

⑤ 王利東，劉婧.從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)的線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)模式探討[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012.21（3）：83-85.