王云龍

證明數(shù)列型不等式，是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的熱點(diǎn)問題也是難點(diǎn)問題，在學(xué)習(xí)處理這些問題時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力能得到極大的體現(xiàn)，是高考命題的熱點(diǎn)問題。處理數(shù)列型不等式最重要的方法為放縮法。其難點(diǎn)是變形靈活，技巧性強(qiáng)，放縮尺度很難把握，經(jīng)常出現(xiàn)一些典型錯(cuò)誤。本文以幾個(gè)典型的數(shù)列型不等式放縮時(shí)出現(xiàn)的問題為例，探究放縮法在其中的應(yīng)用，希望能給學(xué)生學(xué)習(xí)放縮法時(shí)一些啟示。

例1：設(shè)數(shù)列{an}，an=，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：對(duì)任意n∈N*的有Tn<成立。

分析：研究數(shù)列通項(xiàng)，為了能保證左邊能夠求和，很容易想到處理通項(xiàng)的分母，即：

“丟掉數(shù)字1”，通過an=<放縮。

誤區(qū)一：從第一項(xiàng)開始放大當(dāng)n≥1時(shí)，

則Tn<++…+=<

這里能夠放縮得到一個(gè)常數(shù)，但是>，不能夠接著使用不等式的傳遞性。

誤區(qū)二：第二項(xiàng)開始放大當(dāng)n≥2時(shí)，則：

Tn<++…+=+<>。

同樣>，不能夠接著使用不等式的傳遞性。

原因探究：放縮時(shí)機(jī)選擇不對(duì)。

處理辦法：分析上面的錯(cuò)誤，我們知道要繼續(xù)調(diào)整放縮的“時(shí)機(jī)”，即考慮從哪一項(xiàng)開始放縮，這就需要我們從n=1，n=2，n=3，…逐一調(diào)試。

正解：當(dāng)n≥3時(shí)，則Tn=++++…+<++++…+=+

=+1-？搖n-2<+=<=

又∵T1

感悟：放縮不等式如果“放過了頭”，只要保證方向明確，可以逐一調(diào)試，讓常數(shù)逐漸“靠近目標(biāo)”，從而得證。

例2：設(shè)數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=，n∈N*，求證：c1+c2+c3+…+cn<。

分析：觀察通項(xiàng)，要保證左邊能夠求和，考慮處理分母，努力將分母構(gòu)造成等比數(shù)列的形式。

誤區(qū)：直接處理cn=≤，

則c1+c2+c2+…+cn≤+++…+=1-<1，而1>，不能再繼續(xù)，若考慮放縮的時(shí)機(jī)，從n=1，n=2，n=3，…逐一調(diào)試。理論上只要“足夠多次”可以達(dá)到“靠近目標(biāo)”的目的，但需要“艱苦卓絕”的計(jì)算。

原因探究：放縮的策略選擇不對(duì)。

處理辦法：考慮上面放縮方式，直接“丟掉n”放的尺度太大，逐一考慮放縮的策略：<，<，<，…，從而選擇合理的策略。

正解：當(dāng)n≥5時(shí)，<，

則c1+c2+c3+…+cn<++++++…+=？搖<<

感悟：這里調(diào)試選擇合理的策略，可以逐一調(diào)試，逐漸讓放縮的策略最優(yōu)，從而得證。

探究：如何確定放縮的尺度，不能過當(dāng)，是應(yīng)用放縮法證明中關(guān)鍵且最難把握的問題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點(diǎn)，只有這樣，才能使問題迎刃而解。

正確理解放縮法中常出現(xiàn)的“放縮時(shí)機(jī)選擇不對(duì)”，“放縮的策略選擇不對(duì)”這兩種錯(cuò)誤，證明數(shù)列型不等式時(shí)，就會(huì)豁然開朗，快速找到突破口，成為解決此類題的高手。

（作者單位：湖北省襄陽市第五中學(xué)）