王忠信

【摘 要】數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它的建立既需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。這種應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 ? ? ?原則 ? ? 應(yīng)用

一、數(shù)學(xué)模型的定義

現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型還沒有一個(gè)統(tǒng)一的準(zhǔn)確的定義，因?yàn)檎驹诓煌慕嵌瓤梢杂胁煌亩x。不過我們可以給出如下定義：“數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)。”具體來(lái)說，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)學(xué)及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。今天，數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域上起著十分關(guān)鍵的作用，數(shù)學(xué)建模被時(shí)代賦予更為重要的意義。

二、數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

1.模型準(zhǔn)備

要了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，盡量弄清對(duì)象的特征。

2.模型假設(shè)

根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問題進(jìn)行必要地、合理地簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言做出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步，高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，使問題簡(jiǎn)單化。

3.模型構(gòu)成

根據(jù)所做的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

4.模型求解

可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，對(duì)問題進(jìn)行合理地驗(yàn)證。

5.模型分析

對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，能否對(duì)模型結(jié)果做出細(xì)致精當(dāng)?shù)胤治?，決定了你的模型能否達(dá)到更高的檔次。

三、數(shù)學(xué)建模案例分析

在教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用，用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問題就是數(shù)學(xué)在生活中的重要應(yīng)用，這里以一個(gè)數(shù)學(xué)案例來(lái)說明數(shù)學(xué)建模思想。

例：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上卸載貨物，卸載完畢恰好用8天時(shí)間：

（1）輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，卸貨速度與卸貨時(shí)間之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸貨物？

對(duì)于問題（1）我設(shè)計(jì)如下問題：①這艘輪船上裝有多少貨物？

②輪船到達(dá)目的地后，卸下的貨物是多少噸？變量和常量是什么？

設(shè)計(jì)這些問題的目的是讓學(xué)生明白，貨物重量是240噸，是一個(gè)常量，變量時(shí)卸貨速度和卸貨時(shí)間。

③若設(shè)卸貨的速度是V，時(shí)間為t，那么V與t之間有什么函數(shù)關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖是通過對(duì)問題的抽象，應(yīng)用“工作量=工作速度×工作時(shí)間”，建立V與t之間的數(shù)學(xué)模型（反比例函數(shù)）。

對(duì)于（2）設(shè)計(jì)問題如下：①如果用5天時(shí)間卸完240噸貨物，那么每天卸貨多少噸？

②當(dāng)變量t的取值小于5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)V的值比48大還是??？

③當(dāng)t的值不超過5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)V的值是大于48還是小于48？

設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生明白，t的取值越小，V的值越大。

四、數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)遵循的幾個(gè)原則

應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)的同時(shí)又能解決實(shí)際問題、提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力？通過教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為主要應(yīng)該把握好以下幾點(diǎn)：

1.要解決數(shù)學(xué)建模能力中的核心層——數(shù)學(xué)化

學(xué)生解決“應(yīng)用”問題，有兩個(gè)“攔路虎”，首先就是學(xué)生不會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)化過程。這里需要解決學(xué)生怎樣通過閱讀理解將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，這一點(diǎn)恰恰是教學(xué)的一個(gè)盲點(diǎn)，學(xué)生不能對(duì)應(yīng)用問題進(jìn)行有效的閱讀理解。日常教學(xué)中，我們要注意指導(dǎo)學(xué)生在閱讀中形成閱讀想象、閱讀聯(lián)想、閱讀思維、閱讀情感等穩(wěn)定的閱讀心理要素，持之以恒地訓(xùn)練，使學(xué)生形成良好的閱讀理解能力。其次，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算（特別是近似計(jì)算）能力培養(yǎng)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等工具。

2.要突出學(xué)生的主體地位

學(xué)生主體地位是指學(xué)生應(yīng)是教學(xué)活動(dòng)的中心，教師、教材以及一切的教學(xué)手段，都應(yīng)為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)，讓學(xué)生應(yīng)積極參與到教學(xué)活動(dòng)中去，充當(dāng)教學(xué)活動(dòng)的主角。教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，鼓勵(lì)學(xué)生不怕挫折失敗，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)口表述、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考。鼓勵(lì)學(xué)生要多想、多讀、多議、多講、多練、多聽，讓學(xué)生始終處于主動(dòng)參與、主動(dòng)探索的積極狀態(tài)。如在“打包問題”教學(xué)中，可讓學(xué)生自己制作模型，自己測(cè)量有關(guān)數(shù)據(jù)，自己動(dòng)手?jǐn)[列模型，有助于學(xué)生深入思考問題的實(shí)質(zhì)，教師要在講解過程中不斷滲透建模的思想，由師生共同探討得到數(shù)學(xué)建模的結(jié)果。

3.要把握適應(yīng)性原則

數(shù)學(xué)建模的設(shè)計(jì)應(yīng)與課堂教學(xué)內(nèi)容相配套，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想方法。設(shè)計(jì)所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)可有所拓寬，但課堂教學(xué)中建模問題要與教學(xué)目標(biāo)和課堂教學(xué)進(jìn)度相適應(yīng)，不可任意地拓寬和加深，以免加重學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。選題時(shí)可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容構(gòu)造實(shí)際模型。

比如函數(shù)、不等式等問題，可以從教材的例題和習(xí)題中改造而成。如：《拋物線》中有一道例題，“拋物線形拱橋如圖所示，當(dāng)拱頂離水面2.5m時(shí)，水面寬4.5m。如果水面上升0.5m，水面寬多少（精確到0.01m）？”（此處圖略）稍加改變就可以形成一系列從應(yīng)用到建模的問題：（1）一輛貨車要通過跨度為8m，拱高為4m的單行拋物線形隧道（從正中通過），為保證安全，車頂離隧道頂部至少要有0.5m的距離，若貨車寬為2m，則貨車的限高應(yīng)為多少（精確到0.01m）？（2）一條隧道頂部是拋物拱形，在（1）中將單行道改為雙行道，即貨車必須由隧道中線的右側(cè)通過，那么貨車的限高應(yīng)是多少？（3）一輛貨車高3m，寬2m，要通過高為4m的單行拋物線形隧道，為安全起見，車離隧道頂部至少要有05m的距離，那么拱口寬應(yīng)是多少米（精確到0.01m）？（4）將上題中的單行道改成雙行道，再回答上面的問題;（5）將（1）中的拋物線拱改為圓拱，再解問題（1）;（6）將（2）、（3）、（4）中的拋物線拱改為圓拱，重解這三題;（7）如果開口向下的拋物線下的面積可以用公式s=2ab/2計(jì) 算（其中2a是拋物線開口寬度，b是拋物線高度），問分別開鑿滿足問題（1），（5）等長(zhǎng)的公路隧道，哪一種拱線的土方工程量更小？（8）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條拋物線拱，它滿足（4）中雙行要求，且拱曲線下的面積最小，從而開鑿的土方量最小。

另外也可以聯(lián)系實(shí)際生活，引導(dǎo)學(xué)生建立一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。日常生活是應(yīng)用問題的源泉之一，現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題可以通過建立數(shù)學(xué)模型加以解決。如購(gòu)房問題，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中涉及如成本、利潤(rùn)、儲(chǔ)蓄等方面的問題是數(shù)學(xué)建模的好素材，適當(dāng)選取后融入教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生“跳一跳可以把果子摘下來(lái)”即可。

4.要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)、技能轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。建模過程應(yīng)該是滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程。比如化歸的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，消元法、換元法、待定系數(shù)法、配方法、反證法、解析法等數(shù)學(xué)方法。教學(xué)中注重全方位滲透數(shù)學(xué)思想方法，才有可能讓學(xué)生從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)建模的思想。

五、數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用

1.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想也能取得較好的實(shí)效。比如，在講授“軸對(duì)稱”概念時(shí)，可以給出“奶站”模型，讓學(xué)生熟知此類問題的實(shí)際應(yīng)用。對(duì)于不同的模型，一旦拋開其實(shí)際意義，可以單純地從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上來(lái)看待，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力。

2.在作業(yè)布置中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

現(xiàn)行的教材，涉及應(yīng)用方面的問題很少，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是十分不利的。為盡量彌補(bǔ)這一缺憾，可補(bǔ)充一些數(shù)學(xué)建模的素材到習(xí)題之中，這樣不但能夠豐富教學(xué)的內(nèi)容，而且又能讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的全過程。

3.在考試考核中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)考核的方法正在從單一的閉卷考試轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊问?，可見，客觀公正、尊重個(gè)體能力及差異變得更加重要，而創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)則是數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的宗旨之一。因此，在考核中，要充分展現(xiàn)學(xué)生各方面的創(chuàng)新能力。

總之，數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有非常重要的意義。將數(shù)學(xué)建模思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)，其目的是更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想分析問題、解決問題及抽象思維的能力。教師要通過數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，使學(xué)生初步掌握從實(shí)際問題中概括數(shù)學(xué)內(nèi)涵的方法，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并為將來(lái)學(xué)生的專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

六、總結(jié)

數(shù)學(xué)以高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性以及廣泛的應(yīng)用性，滲透于科學(xué)技術(shù)及實(shí)際生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域。建模能力是解題者對(duì)各種能力的綜合應(yīng)用，它涉及文字理解能力，對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度，良好的心理素質(zhì)，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學(xué)思維方法的綜合應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模教學(xué)在以上適度的原則下也不應(yīng)該拘泥于形式，受縛于教條，我們應(yīng)密切關(guān)注生活，結(jié)合課本，改變?cè)w，將知識(shí)重新分解組合，使之成為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息的問題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性是大有益處的。數(shù)學(xué)建模是一種新的學(xué)習(xí)方式，順應(yīng)了社會(huì)發(fā)展及教育改革的需要，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也可以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

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