劉昌銀

《角的度量》的教學(xué)，是一個公認的老大難問題。北京教育學(xué)院的劉加霞教授對《角的度量》的多次前測發(fā)現(xiàn)，約80%的學(xué)生存在各種擺放量角器的錯誤。這是量角的首要問題，這個問題不解決，后續(xù)的問題不可能解決。劉教授還指出：“學(xué)生理解角的度量的本質(zhì)有兩方面的困難：一方面，學(xué)生看不到量角器上的‘角……另一方面，即使看到了量角器上的‘角，也不知道怎樣才能使量角器上的‘角與所測量的‘角重合。”

我對錯誤擺放量角器的學(xué)生代表作“為什么這樣擺放量角器”的個別訪談，他們都說不知道？我用阿德勒心理學(xué)中的潛意識揭示法揭示，發(fā)現(xiàn)原來高達80%的學(xué)生錯誤擺放量角器，是潛意識的原因，這個原因?qū)е隆皩W(xué)生看不到量角器上的‘角”和“不知道怎樣才能使量角器上的‘角與所測量的‘角重合”。從這里看，劉教授講的“角的度量的本質(zhì)”是指用量角器上有度數(shù)的角去重合所測量的角，這種描述有利于引導(dǎo)學(xué)生正確擺放量角器。華應(yīng)龍老師的做法就是：先用量角器上有度數(shù)的角去重合要量的角，并把它作為引導(dǎo)學(xué)生正確擺放量角器的整體思路。那具體的擺放方法應(yīng)是“用量角器上的角的頂點（即中心點）去重合要量的角的頂點，用量角器上的0°刻度線去重合角的一條邊，用量角器上的角的終邊去重合角的另一條邊。”簡單地說，就是“三重合”，傳統(tǒng)說法的“兩合”，不一定是正確的擺放，有時還是錯誤的擺放，如蘇教版教材P20.6第三圖?？梢?，傳統(tǒng)的“兩合”的說法不利于學(xué)生正確擺放量角器。為了方便學(xué)生“三重合”，也有利于學(xué)生提升潛意識，很快看到量角器上的‘角，從而“使量角器上的‘角與所測量的‘角重合”，我還在量角器上面設(shè)計了可大可小的紅角，用這個紅角容易與要量的角完全重合（同時也蘊育“重合——相等”的邏輯思維），“擺放難”的問題就這樣解決了。因為學(xué)生的量角器上，這個紅角是由紅色的0°刻度線和活動邊紅線組成的，所以深圳市大勘小學(xué)的陳柏汝同學(xué)用后寫道：要是量角器“中間的東東（指活動邊紅線）拆了后，好像就不可以量角了?！边@說明學(xué)生看到了紅角引導(dǎo)他們正確擺放量角器的重要的不可替代的作用。

下面我們來看《角的度量》教學(xué)中的第二個大問題：兩圈刻度量角器的讀度數(shù)問題。在我的課堂上，好不容易有幾個聰慧的學(xué)生學(xué)會了擺放量角器，但讀度數(shù)時，大多數(shù)都讀錯了。如往往將40°的角讀成140°，將115°的角讀成65°或者75°，或者讀成125°。我剛開始看到這些問題，感到亂雜無章，因此常常錯誤地判斷學(xué)情，導(dǎo)致兩節(jié)課教下來，學(xué)會量角的學(xué)生很少。因這些倒霉的課沒有錄像，無法讓大家看到真實的情景，好在我現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一個與我完全一樣的片斷：量一個開口向下的55°的角，老師點一個讀65°的男生上前，老師把他的紙放在投影儀上，他把紙旋轉(zhuǎn)了幾十度，角的開口方向變成了基本向左，他擺放好了量角器，用手指著外圈的55°處，說：“我就看數(shù)字，是這個位置?！崩蠋熆此傅模瑔枺骸澳膫€位置？”男生又用手指55°處。老師用教鞭的一端點指著55°處，問：“多少度？”學(xué)生齊答55°。老師說：“我發(fā)現(xiàn)了幾個問題”，并花了約6分鐘具體講了幾個與這類錯誤（把55°的角讀成65°）無關(guān)的問題。學(xué)生一開始就用手指角的終邊是55°的位置，老師還追問：“哪個位置？”學(xué)生第二次用手指55°處，老師才最后用教鞭指著55°處，還講了延長角的邊?？梢娎蠋煹呐袛嗍?，學(xué)生把角的終邊位置看錯了或者是因為要量的角的邊短了，導(dǎo)致該生把55°的角讀成65°。老師為什么會作出這種錯誤判斷？因為沒有掌握把55°的角讀成65°，“是從同一圈的180°讀起”這一基本規(guī)律，因而做了很多無用功，最后還是沒有解決該生的錯誤。

我有了這樣的教訓(xùn)后，便開始一個一個地仔細問學(xué)生是怎么讀數(shù)的，最后終于發(fā)現(xiàn)了以上亂雜現(xiàn)象的基本規(guī)律：

1. 40°的角讀成140°，是最簡單的兩圈刻度讀混。

2. 115°的角讀成65°，是從另一圈的0°讀起。

3. 115°的角讀成75°，是從另一圈的180°讀起。

4. 115°的角讀成125°，是從同一圈的180°讀起。

我掌握了這四條基本規(guī)律后，又引導(dǎo)學(xué)生在紙量角器的外圈畫順時針箭頭，在內(nèi)圈畫逆時針箭頭，以明確矢量的方向，以利于糾正以上四類問題，但結(jié)果還是不好。我后來才發(fā)現(xiàn)，用兩圈刻度的量角器，在實際教學(xué)中，還有許多派生問題：如全國賽課中的一個視頻中，量一個開口向上的45°的角，一位男生答是“45°，我讀的內(nèi)圈刻度?！崩蠋焼枺骸盀槭裁匆x內(nèi)圈刻度？”一位女生答：“因為它是銳角?！庇秩缌恳粋€開口向左的45°的角，第一個學(xué)生說是45°，第二個學(xué)生說：“讀外圈刻度，因為它是從右往左??！”這位學(xué)生顯然是把外圈刻度的方向說反了。再如，課接近尾聲量一個開口向右的角（應(yīng)是一個最容易量的角）時，第一位學(xué)生說得很正確，而第二位學(xué)生說：“把角的內(nèi)圈零刻度線對準量角器……”角有“內(nèi)圈零刻度線”嗎？可見學(xué)生是把“角的一條邊”與“量角器的內(nèi)圈零度刻度線”搞混了。正是因為兩圈刻度本身存在的以上四大類基本問題和種種派生問題，并交雜在一起，所以使兩圈刻度的讀數(shù)問題，成為一個死結(jié)。要徹底解決這個問題，必須另覓新途。

簡約教學(xué)的劉正松和劉春老師用改進成的一圈刻度的量角器實驗后，學(xué)生認為一圈刻度的量角器“一目了然”。在《遵循概念 化解難點》一文中，作者也寫道：“在關(guān)于兩個‘0刻度優(yōu)缺點的討論中，有的學(xué)生認為只要一個‘0刻度就可以了，多了容易看錯?！笨梢?，“一圈刻度”是符合學(xué)生心理的。那么，0°刻度線是在右好，還是在左好呢？心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，人認識左右，是以右手為標(biāo)準，因為右手是優(yōu)勢手。同理，人認識角，是以開口向右的角為標(biāo)準，其他開口方向不同的角，都可以看成開口向右的角旋轉(zhuǎn)而成的。那怎么旋轉(zhuǎn)形成的角學(xué)生容易理解呢？數(shù)學(xué)家的研究表明，逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角，是一個正角，學(xué)生容易理解它的大小。根據(jù)這兩條科學(xué)結(jié)論，當(dāng)然是0°刻度線在右為好。0°刻度線在右的一圈刻度量角器中的紅角，其實是一個活動角，逆時針旋轉(zhuǎn)活動邊形成的所有角，都是正角，便于學(xué)生理解角的大小。用這樣的量角器教學(xué)，先讓學(xué)生在說明書中的量角器圖（或紙量角器）的半圓弧邊，從0°到180°畫逆時針箭頭（教學(xué)時，還可以加上師生一起從0°到180°旋轉(zhuǎn)右手臂），這些措施可以完全預(yù)防學(xué)生從180°讀起的問題。深圳市一些學(xué)校選用0°刻度線在右的一圈刻度量角器教新課，90%以上的學(xué)生都學(xué)會了量角。

責(zé)任編輯羅峰