孫 廣 人

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

線性代數(shù)中突出行最簡形相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)

孫 廣 人

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

從線性代數(shù)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，針對非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)的實(shí)際情況，初步探討了線性代數(shù)教學(xué)中以Gauss消元法為根本，突出行最簡形及其相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)。

Gauss消元法；行最簡形；線性代數(shù)教學(xué)

大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程所用的教材，如同濟(jì)大學(xué)編寫的線性代數(shù)[1],孫國正、杜先能編寫的新書[2]，內(nèi)容都比較簡潔、精煉，但是教師按教材講授之后學(xué)生的實(shí)際理解情況仍不夠理想，以致不少學(xué)生最后考試成績不錯(cuò)，但是卻不知道自己究竟學(xué)了什么。

造成這種現(xiàn)象的原因有多種。如果不考慮學(xué)生、教材的原因，只就實(shí)際教學(xué)過程來講，多數(shù)教師較為側(cè)重知識點(diǎn)的講授，這是無可厚非的，但是要求通過一兩個(gè)主要問題或者主要工具把大綱內(nèi)容串聯(lián)在一起的整體教學(xué)方法也需要重視。

孔子曰：吾道一以貫之。法國大數(shù)學(xué)家A.韋伊認(rèn)為數(shù)學(xué)教師的任務(wù)就是告訴學(xué)生一本幾百頁的數(shù)學(xué)書中的指導(dǎo)原則不過一兩條。目前國內(nèi)非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)教材，通常有一半以上的內(nèi)容與求解線性方程組有關(guān)，如果要從中抽繹出指導(dǎo)性原則，那么所謂的“一貫之道”無疑是Gauss消元法。Gauss消元法不僅出現(xiàn)在求解方程組中，而且在求行列式、矩陣的秩以及向量組的最大無關(guān)組的計(jì)算中也反復(fù)出現(xiàn)，如能在教學(xué)設(shè)計(jì)中適當(dāng)加以強(qiáng)調(diào)，則學(xué)生可以更快更透徹地掌握線性代數(shù)的基本內(nèi)容。

從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，參考國內(nèi)外優(yōu)秀教材[2-4]，嘗試給出一種突出Gauss消元法后產(chǎn)生的“行最簡形”(由本文正文部分的討論可以發(fā)現(xiàn)“行階梯形”或者“行最簡形”的概念不只限于矩陣，也可以延伸到線性方程組甚至行列式中)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)。

這樣設(shè)計(jì)的動(dòng)機(jī)之一，源于作者在幾年線性代數(shù)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：許多學(xué)生學(xué)完線性代數(shù)，在最后考試中只知道用對角線法則計(jì)算行列式的值。這說明不少人對于行列式的印象還停留在教材的最初幾頁，讓作者深刻領(lǐng)悟到“先入為主”這條萬古不變的鐵律。因此，與其讓學(xué)生多年后才恍然大悟：原來是這么回事啊！不如適當(dāng)安排講授順序，讓他們對線性代數(shù)的重要思想形成完整的認(rèn)識。因此，在本文中提出一種強(qiáng)調(diào)行階梯形的“本末倒置”的設(shè)計(jì)。

1 線性方程組

通常在講授求解線性方程組時(shí)，首先強(qiáng)調(diào)怎樣通過初等變換對線性方程組消元，把方程組變成“可以直接看出解”的形狀，這種形狀對應(yīng)的增廣矩陣為“行最簡形”。本文設(shè)計(jì)的講授模式是“本末倒置”的，即首先強(qiáng)調(diào)行最簡形，然后再考慮如何把一般形式的方程組化為“行最簡形的方程組”。

具體授課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：什么情況下能夠直接“讀出”線性方程組的解？首先，從最簡單的“方程組”出發(fā)：x1=b1,x2=b2,…,xn=bn，寫出其對應(yīng)增廣矩陣。之后，強(qiáng)調(diào)這種方程組的變化：x1=b1,x2=b2,…,xn=bn,xn=bn′，其中bn≠bn′，并寫出與之等價(jià)的方程組x1=b1,x2=b2,…,xn=bn,0=bn′-bn的增廣矩陣，這樣在學(xué)生頭腦里初步建立了方程組解的存在性與增廣矩陣形狀的關(guān)系。最后，引入能直接讀出解的方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式：

當(dāng)然此時(shí)對應(yīng)的增廣矩陣正是“行最簡形”矩陣。特別地，要向?qū)W生說明：下面的工作就是要把一般形式的方程組(或?qū)?yīng)的增廣矩陣)通過Gauss消元法(或者對應(yīng)的初等行變換)變成行最簡形的過程。

這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是目的性較強(qiáng)，在學(xué)生心目中樹立了“行最簡形”矩陣的高大上的形象，讓學(xué)生立即明白此后一切求解線性方程組的終點(diǎn)就是這種形狀的方程組。也可以通過強(qiáng)調(diào)行最簡形與線性方程組解的對應(yīng)關(guān)系讓學(xué)生明白：由于方程組的解集是確定的，因此一個(gè)矩陣的行最簡形也是唯一確定的。

2 行列式

在講授完行列式的定義后，一般教材指出，通過定義可以直接計(jì)算的有對角形行列式、或者更一般的上(下)三角形行列式，設(shè)計(jì)講述行列式的過程就從這個(gè)例子出發(fā)。

具體地說，在行列式的教學(xué)中，首先向?qū)W生強(qiáng)調(diào)它作為判別線性方程組存在唯一解的“判別式”的功能。最簡單的，線性方程ax=b是否存在唯一解的“判別式之一”是a，由此引申出線性方程組a1x1=b1,a2x2=b2,…,anxn=bn存在唯一解的“判別式之一”是a1a2…an，同理，上三角形線性方程組

存在唯一解的“判別式之一”是a11a22…ann，然后給出“判別式之一”——行列式的定義，以及如何通過“Gauss消元法”把一般行列式轉(zhuǎn)化為上三角形(其實(shí)就是“行階梯形”)行列式。

這種講述模式讓學(xué)生明白行列式引入的動(dòng)機(jī)，更重要地是讓學(xué)生建立良好的求解行列式的習(xí)慣以及對行列式的理解。

3 線性相關(guān)與極大無關(guān)組

向量的概念對于線性代數(shù)無疑非常重要，但是對于很多學(xué)生來說也十分抽象。因此，線性相關(guān)性——特別是求解向量組的極大無關(guān)組，對于線性代數(shù)的教學(xué)是一大難點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)過程中，仍然嘗試采取強(qiáng)調(diào)行階梯形的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。

最為典型的線性無關(guān)的向量組是“r維單位向量組”：

能夠立即看出單位向量組的線性無關(guān)性，因此本身就是極大無關(guān)組。由此推廣至“一眼看出”極大無關(guān)組的“列向量組”的一般形式是下列“行最簡形”矩陣的列向量組：

進(jìn)一步向?qū)W生解釋能“一眼看出”的原因是它前r行r列對應(yīng)著“r維單位向量組”。

這樣使學(xué)生的注意力再次集中到“行最簡形”上，然后通過解釋“矩陣初等行變換不改變矩陣的列向量間的線性相關(guān)性”(如果從線性無關(guān)與對應(yīng)齊次線性方程組存在唯一解的角度解釋這一原理，則再次應(yīng)用到行最簡形)，讓學(xué)生明白，求極大無關(guān)組與求線性方程組的解、行列式的值有著完全相似的過程。突出“行最簡形”的地位在求解極大無關(guān)組的過程中有極其重要的意義。它既可以讓學(xué)生迅速掌握求解的方法，又可以使學(xué)生看清求解過程的本質(zhì)。

4 結(jié) 論

以上線性代數(shù)的教學(xué)中突出“行最簡形”的設(shè)計(jì)，在實(shí)際教學(xué)中收到了不錯(cuò)的效果。一定程度上改變了分散的知識點(diǎn)帶給學(xué)生的困擾。當(dāng)然，目前這種設(shè)計(jì)還面臨不少問題，比如，解方程組導(dǎo)入“行最簡形的方程組”還有很突兀的地方，其中給學(xué)生帶來的一個(gè)較大困惑是：為什么一切可以讀出解的方程組都是這種形式？而行列式教學(xué)中“本末倒置”后尚不能十分自然地由“判別式”轉(zhuǎn)換到“行列式”，從而經(jīng)常導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生對行列式定義理解的混淆。最后，求極大無關(guān)組的教學(xué)中，還不能給出“初等行變換不改變列向量的線性相關(guān)性”的更加直觀、圓融的解釋，因此許多學(xué)生只是掌握了求解方法，沒有完全融會貫通。

總之，這種想法還有諸多需要完善之處，故僅以此文拋磚引玉，希望能引起同行的專家、老師們對這種教學(xué)設(shè)計(jì)的中肯評價(jià)與改進(jìn)，來一起推動(dòng)大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2014: 1-106.

[2] 孫國正, 杜先能. 線性代數(shù)(經(jīng)濟(jì)管理類)[M]. 合肥: 安徽大學(xué)出版社, 2011: 1-124.

[3] K. Hoffman, R. Kunze. Linear Algebra[M]. 影印版. 北京: 世界圖書出版公司, 2008: 1-173.

[4] J. Hefferon. Linear Algebra[M]. Richmond: virginia commonwealth university mathematics, 2009: 1-366.

Instructional Design of Emphasizing the Row-Reduced Echelon in Linear Algebra

SUN Guang-ren

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133，China)

Learn from the author's experience in teaching non-math majors, an instructional design on linear algebra is proposed, which emphasizes the row-reduced echelon and the related content based on Gaussian elimination.

Gaussian elimination, row-reduced echelon, the teaching of linear algebra

2015-02-27

孫廣人，男，河北唐山人，博士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼。

時(shí)間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.032.html

G47

A

1007-4260(2015)04-0126-02

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.032