康普頓效應及其彈性碰撞恢復系數(shù)的推證

姜付錦

(武漢市黃陂一中湖北 武漢430300)

摘 要：該文通過對宏觀低速的二維彈性碰撞的分析，發(fā)現(xiàn)其恢復系數(shù)為1；再用恢復系數(shù)對康普頓效應進行了研究，證明了(微觀高速粒子彈性碰撞的典型事例)其恢復系數(shù)也為1．

關鍵詞：康普頓效應狹義相對論彈性碰撞恢復系數(shù)

收稿日期：(2015-05-05)

1康普頓效應[1]

1921～1923年，美國物理學家康普頓在研究石墨對X射線散射時，發(fā)現(xiàn)散射的X射線中，除了與入射波長λ0相同的成分外，還有波長大于λ0的成分，這個現(xiàn)象稱為康普頓效應．康普頓用愛因斯坦1905年提出的光量子概念，并引入狹義相對論.成功地解釋了這種效應．他的基本思想是：X射線的光子不僅具有能量，也像其他粒子那樣具有動量，X射線的光子與晶體中電子碰撞時要遵守能量守恒定律和動量守恒定律，而且還要考慮狹義相對論效應即電子質量的相對性和質能方程，求解這些方程得出的散射光波長的變化值Δλ與實驗符合得很好．康普頓效應的發(fā)現(xiàn)，對20世紀初物理學的革命(量子論與相對論的建立)起到重大的推動作用.康普頓效應具體計算如下：

動量為p=mv，動能為E=(m-me)c2，光子與電子發(fā)生彈性碰撞，則

(1)

(2)

(3)

圖1　康普頓效應

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)可求得

X散射光波長的變化值Δλ與實驗符合得很好，由此可見愛因斯坦的光量子理論和狹義相對論的正確性．

2恢復系數(shù)[2]

牛頓在《自然哲學的數(shù)學原理》一書中首次提出恢復系數(shù)，恢復系數(shù)e由兩球材料的彈性決定，其表達式為

式中v10,v20是兩個物體碰撞前的速度，v1,v2是碰撞后的速度．若e=1則是彈性碰撞；若e<1則非彈性碰撞，這個公式不僅適用于一維碰撞也適用于二維碰撞[3，4]．如圖2所示，在光滑的水平面上，質量為m1的小球以速度v10與質量為m2速度為v20小球發(fā)生二維彈性碰撞，碰撞后兩球的速度分別為v1,v2，速度方向分別與水平方向成θ1,θ2，則

圖2　兩個小球的二維碰撞

m1v10+m2v20=m1v1cosθ1+m2v2cosθ2

(4)

0=m1v1sinθ1-m2v2sinθ2

(5)

(6)

由余弦定理可知

(7)

將式(4)平方與式(5)平方相加得

(m1v10+m2v20)2=

(m1v1)2+(m2v2)2+2m1m2v1v2cos(θ1+θ2)

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

將式(6)兩邊同乘以2(m1+m2)得

(10)

將式(10)代入式(9)得

故宏觀低速二維彈性碰撞中的恢復系數(shù)

3狹義相對論中相對速度[5]

由洛倫茲變換公式可以推導出相對論中的速度變換公式，設

(11)

為物體相對于坐標系∑的速度．設慣性系∑′相對于∑系沿x軸方向以速度v運動，在∑′系中物體速度分別為

(12)

由相對論時空坐標變換公式

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)得

(15)

圖3　光子相對電子的速度

如圖3所示，X光子散射后與電子的運動方向夾角為θ1+θ2，以電子的速度v方向為x軸，與之垂直的方向為y軸建立平面直角坐標系Oxy，則光子在x軸和y軸方向上的分速度分別為

(16)

將式(16)代入式(15)得X光子相對于電子的3個分速度分別為

(17)

則光子相對電子的速度

(18)

散射后光子相對于電子的速度為c，在康普頓效應中光子與電子碰撞的恢復系數(shù)也為1．

4結語

通過對宏觀低速和微觀高速粒子彈性碰撞的分析和恢復系數(shù)的定義式可以發(fā)現(xiàn)它們恢復系數(shù)均為1，它和動量守恒定律一樣具有普適性．

參 考 文 獻

1周世勛.量子力學(第二版).北京:高考教育出版社，2009.4～5

2漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程 力學(第二版).北京:高等教育出版社，2005.139～147

3張九鑄.一般運動剛體恢復系數(shù)公式的適用條件.力學與實踐，2010,3(32)：116～117

4張九鑄.平面運動剛體的恢復系數(shù)公式的推導.大學物理 2009,8(28)：23～24

5郭項鴻.電動力學(第三版).北京:高等教育出版社，2008.192～208

Proving on Compton Effect and

Its Elastic Restitution Coefficient

Jiang Fujin

(Huangpi No.1 High School, Wuhan, Hubei430300)

Abstract:This essay analyzes the elastic collision at macro low speed in 2-dimension, finding the Coefficient of restitution 1.Furthermore, some researches are conducted on the Compton effect through the Coefficient of restitution, which proves that the Coefficient of restitution in the elastic collision at micro high speed in 2-dimension is also 1.

Key words:compton effect;special theory of relativity;elastic collision；coefficient of restitution