王少奇

【摘要】新課改的實(shí)施，教材比以前更注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，更有利于對(duì)優(yōu)秀思維品質(zhì)的培養(yǎng)，這就要求教師充分利用教材，不僅要重視知識(shí)的傳播，更要重視學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，進(jìn)一步挖掘和利用探究問(wèn)題，做好前后知識(shí)的銜接、結(jié)論的推廣、知識(shí)的深化，形成完整的知識(shí)體系。

【關(guān)鍵詞】類(lèi)比 思維的廣闊性 思維的深刻性

【基金項(xiàng)目】甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題，課題批準(zhǔn)號(hào)GS[2014]GHB0982。

【中圖分類(lèi)號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）01-0033-02

探究性問(wèn)題可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)果的推廣和深化，也可以是不同教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類(lèi)比，探究的過(guò)程和結(jié)論具有開(kāi)放性。類(lèi)比是人們認(rèn)識(shí)社會(huì)、認(rèn)識(shí)自然的基本思維方式，數(shù)學(xué)教學(xué)更是如此，通過(guò)類(lèi)比，對(duì)一類(lèi)知識(shí)形成完整體系，前后知識(shí)融會(huì)貫通，達(dá)到舉一反三的效果，通過(guò)類(lèi)比，歸納總結(jié)，掌握規(guī)律，推廣結(jié)論，掌握知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，深化對(duì)知識(shí)的理解，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)思維的靈活性、變通性與創(chuàng)造性。

下面我們看圓錐曲線(xiàn)章節(jié)中有關(guān)斜率的一個(gè)探究性問(wèn)題：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)，數(shù)學(xué)選修2—1（人民教育出版社）第55頁(yè)探究問(wèn)題，如圖2.3—5，點(diǎn)A、B的分別是（-5，0），（5，0），直線(xiàn)AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是4/9，求點(diǎn)M的軌跡方程并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)，數(shù)學(xué)選修2—1（人民教育出版社）第41頁(yè)例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線(xiàn)AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直線(xiàn)AM、BM的斜率之積是4/9，因此可以建立x、y之間的關(guān)系式，得出點(diǎn)M的軌跡方程。

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上（不含頂點(diǎn)即定點(diǎn)）的雙曲線(xiàn)。

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)，數(shù)學(xué)選修2—1第41頁(yè)，例3，如，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線(xiàn)AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-4/9，求點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線(xiàn)AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直線(xiàn)AM、BM的斜率之積是-4/9，因此可以建立x、y之間的關(guān)系式，得出點(diǎn)M的軌跡方程。

學(xué)生通過(guò)類(lèi)比達(dá)成的初步認(rèn)識(shí)：到兩定點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率之積為負(fù)時(shí)點(diǎn)的軌跡為橢圓（除去頂點(diǎn)即兩定點(diǎn)）、到兩定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為正時(shí)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)（除去頂點(diǎn)即兩定點(diǎn)），教師再引導(dǎo)：同學(xué)們能否再準(zhǔn)確的表述曲線(xiàn)的特征（位置、大?。?？讓學(xué)生將斜率之積更換為其它負(fù)數(shù)，多次練習(xí)，推出結(jié)果，通過(guò)橫向類(lèi)比推廣、探求規(guī)律。結(jié)論：若點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)A（-m，0）、B（m，0）的連線(xiàn)斜率之積為-p（其中m、n、p均為正數(shù)）則點(diǎn)M的軌跡方程為px2+y2=pm2（x≠±m(xù)），則當(dāng)01時(shí)，曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2m，短軸長(zhǎng)為2m且除去兩點(diǎn)的橢圓，當(dāng)p=1時(shí)，曲線(xiàn)為以線(xiàn)段AB為直徑除去兩定點(diǎn)的圓。再讓學(xué)生將斜率之積更換為其它正數(shù)，通過(guò)縱向類(lèi)比，深入挖掘、探求變化規(guī)律，推導(dǎo)當(dāng)斜率之積為正時(shí)的結(jié)論：若點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)A（-m，0）、B（m，0）的連線(xiàn)斜率之積為p（其中m、n、p均為正）則方程為px2-y2=pm2（x≠±m(xù)），不論p的值與1的大小如何，曲線(xiàn)總是雙曲線(xiàn)，且焦點(diǎn)總在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2m，虛軸長(zhǎng)為2m，但值影響著雙曲線(xiàn)的開(kāi)口大小，特殊情況p=1時(shí)為等軸雙曲線(xiàn)。

通過(guò)這樣的練習(xí)學(xué)生對(duì)圓及圓錐曲線(xiàn)中的橢圓與雙曲線(xiàn)的問(wèn)題就可以通過(guò)統(tǒng)一的方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）去認(rèn)識(shí)、去研究，當(dāng)A、B、C同號(hào)且A=B時(shí)，則為圓，若A、B異號(hào)則為雙曲線(xiàn)，A、B、C同號(hào)且A與B不相等則為橢圓。在求曲線(xiàn)方程時(shí)，最為理想的就是能夠根據(jù)已知條件先定性再定量，即先確定為哪一類(lèi)特殊的曲線(xiàn)，再按待定系數(shù)法去求常數(shù)，當(dāng)然上面例子為求曲線(xiàn)方程的題目，必然要按常規(guī)步驟去做，因無(wú)足以說(shuō)明曲線(xiàn)特征的明確條件，但如果探索清楚這類(lèi)題目，則在選擇題及填空題中能夠節(jié)約時(shí)間，提高效率及準(zhǔn)確度。

反思總結(jié)：教學(xué)本身是一個(gè)教與學(xué)的雙邊活動(dòng)，教師、學(xué)生和教材構(gòu)成教學(xué)的三個(gè)基本要素。首先教師要充分利用好教材，主要知識(shí)點(diǎn)按類(lèi)別加以整理、歸納，使知識(shí)系統(tǒng)化、概括化，更好地理清關(guān)系，加強(qiáng)記憶，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行必要的調(diào)整、增補(bǔ)，必要時(shí)采用模型、掛圖、多媒體等教學(xué)手段，豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次教師要注意自身建設(shè)，教師必須不斷提高自身的學(xué)術(shù)素養(yǎng)，要給學(xué)生一碗水，自己要有一桶水，教師的一桶水哪里來(lái)，是平時(shí)的點(diǎn)滴積累，對(duì)科學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的規(guī)律、蘊(yùn)含的能力的深層次理解，解決問(wèn)題時(shí)問(wèn)題的方方面面都要想到，把解決問(wèn)題的幾個(gè)方案列出來(lái)，選擇其中的最佳方案，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率，培養(yǎng)學(xué)生穩(wěn)定、綜合的數(shù)學(xué)素質(zhì)。第三關(guān)注學(xué)生的收獲與發(fā)現(xiàn)，注重學(xué)生的良好發(fā)展，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)的東西才是最重要的和富有個(gè)人特色的知識(shí)，只有親自參與新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)，感同身受，才能鍛煉學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的能力，從經(jīng)驗(yàn)中把握問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的開(kāi)放性，解決問(wèn)題的自覺(jué)性與主動(dòng)性。另外要發(fā)揮情感的增益效應(yīng)，情感是人對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的態(tài)度的體驗(yàn)，人是具有情感，對(duì)周?chē)挛锏恼J(rèn)識(shí)會(huì)受到心境的影響，保持良好的心情顯得尤其重要。教師在教學(xué)過(guò)程中要以飽滿(mǎn)的激情和熱情感染學(xué)生，讓學(xué)生處于愉悅、興趣飽滿(mǎn)、精神振奮的狀態(tài)中，使他們獲得各種積極情感和高尚情操的陶冶，形成良好的好學(xué)、樂(lè)學(xué)的人格特征，培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)該學(xué)科的熱愛(ài)之情，教育要把握眼前機(jī)會(huì)，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)中磨煉提高。

總之在科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的信息時(shí)代，新知識(shí)劇增，必須善于學(xué)習(xí)，不斷地進(jìn)行學(xué)習(xí)。一要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己是學(xué)習(xí)過(guò)程中的主人，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中由此及彼，從一個(gè)問(wèn)題衍生開(kāi)來(lái)，提出嶄新的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生為自己的觀點(diǎn)，積極找證據(jù)，既要敢于去想、去堅(jiān)持，同時(shí)也要善于接納他人正確的觀點(diǎn)，在合作中、討論中獲得最大的收益。二要正確處理教學(xué)與學(xué)生思維的“同步”關(guān)系，從學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”開(kāi)始，因勢(shì)誘導(dǎo)，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。三要注意引導(dǎo)學(xué)生縱橫思索、發(fā)散聯(lián)想、推廣引申，通過(guò)橫向類(lèi)比推廣、探求規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，通過(guò)縱向類(lèi)比，深入挖掘、探求變化規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性，從而成為真正意義上的創(chuàng)新性人才。