羅先文

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“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

羅先文

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)”是繼應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性之后的又一應(yīng)用，主要是探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)值變化之間的關(guān)系。學(xué)生學(xué)習(xí)該知識是為求閉區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的最值作鋪墊，同時(shí)也為利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題作準(zhǔn)備，并進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的優(yōu)越性和工具性。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：

1.結(jié)合函數(shù)圖像，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；

2.理解函數(shù)極值的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值。

過程與方法：

通過觀察具體的函數(shù)圖像，學(xué)生直觀感知“極值”這一概念的生成過程，并積極主動(dòng)地參與探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)值變化之間的關(guān)系的活動(dòng)，親身經(jīng)歷用導(dǎo)數(shù)研究極值方法的過程。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

通過學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的工具性和優(yōu)越性，掌握極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識；通過體會(huì)成功，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度；通過規(guī)范地表達(dá)求函數(shù)極值的過程，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣。

三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。

難點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件。

四、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1.上節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么？我們是如何研究兩者關(guān)系的？

學(xué)生回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答老師的提問。

2.圖1表示高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖像，觀察圖像回答下列問題。

（1）當(dāng)t=a時(shí)，高臺跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)h（t）在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少？（2）在點(diǎn)t=a附近的圖像有什么特點(diǎn)？（3）點(diǎn)t=a附近的導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？

根據(jù)教師所列的問題提綱，學(xué)生通過獨(dú)立思考、認(rèn)真觀察圖像，精心組織語言回答問題（第一個(gè)小問題基本上都能準(zhǔn)確回答，后兩個(gè)小問題少數(shù)學(xué)生只可意會(huì)而不可言傳，語言的組織不是那么精準(zhǔn)）。教師適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥，力爭讓學(xué)生能自己得出較為完整的結(jié)論。

3.上述結(jié)論對其他的連續(xù)函數(shù)是否成立呢？

學(xué)生自己動(dòng)手畫一些連續(xù)函數(shù)的圖像，同桌之間相互交換并認(rèn)真分析、觀察、比較對方所畫的圖像，回答問題。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上節(jié)課獲得的方法研究某點(diǎn)附近的圖像特征和導(dǎo)數(shù)符號的變化規(guī)律，不僅可以提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，還能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和語言組織能力，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想與方法。

（二）合作探究，解惑答疑

1.觀察圖2所表示的y=f（x）的圖像，回答以下問題。

（1）函數(shù)y=f（x）在a，b的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？

（2）函數(shù)在點(diǎn)a，b的導(dǎo)數(shù)值是多少？

圖1

圖2

（3）在點(diǎn)a，b附近的導(dǎo)數(shù)的符號分別是什么，它們有什么關(guān)系？

2.極值的定義。

3.通過以上探索，你能歸納出可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)x0取得極值的充要條件嗎？

學(xué)生仔細(xì)觀察圖2，回答問題（有第一個(gè)環(huán)節(jié)作鋪墊，基本上沒有障礙），再通過同桌交流、小組合作，嘗試歸納函數(shù)極值的定義，弄清楚：對于可導(dǎo)函數(shù)而言，f（x0）=0只是函數(shù)在x0處取得極值的必要條件而非充分條件，（師生共同找出反例）從而進(jìn)一步理解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)x0取得極值的充要條件是：f（x0）=0且點(diǎn)x0的左右兩邊的導(dǎo)數(shù)的符號要相反。

4.隨堂練習(xí)。

A.觀察圖3，回答以下問題。

（1）找出圖中的極值點(diǎn)，并說明哪些點(diǎn)為極大值點(diǎn)，哪些點(diǎn)為極小值點(diǎn)。

（2）極大值一定大于極小值嗎？

B.圖4是函數(shù)y= f（x）的圖像，試找出函數(shù)y =f（x）的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn)。如果該圖像是導(dǎo)函數(shù)y=f憶（x）的圖像（如圖5）呢？

學(xué)生完成隨堂練習(xí)題，教師巡視，及時(shí)解答學(xué)生提出的問題，糾正學(xué)生在概念認(rèn)識上的偏差，于易混淆處給予適當(dāng)點(diǎn)撥。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將觀察分析得到的結(jié)論用科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)出來，有利于學(xué)生思維從感性層面提升到理性層面，培養(yǎng)歸納概括能力。對問題進(jìn)行遞進(jìn)式分解，有利于學(xué)生思維的有序展開。隨堂練習(xí)的設(shè)置有利于學(xué)生對概念的辨析和理解。（三）知識應(yīng)用，講解例題

例求函數(shù)（fx）=1x3-4x+4的極值。3

教師對例題加以分析后，學(xué)生動(dòng)手做，教師邊巡視邊引導(dǎo)學(xué)生利用列表的形式表達(dá)解題過程，并共同歸納求函數(shù)極值的方法和步驟。

圖3

圖4

圖5

設(shè)計(jì)意圖：通過例題的分析和解答，學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范表達(dá)的良好習(xí)慣，學(xué)會(huì)探索簡潔明了的表達(dá)方式的方法。

（四）課堂練習(xí)，鞏固新知

1.求函數(shù)f（x）=3x-x3的極值。

2.思考：若函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間。

學(xué)生完成課堂練習(xí)，由兩個(gè)處于不同層次水平的學(xué)生上黑板做，教師進(jìn)行點(diǎn)評，其余學(xué)生的完成情況同桌之間進(jìn)行互評。

設(shè)計(jì)意圖：通過兩道習(xí)題的訓(xùn)練，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用表格的形式解題的優(yōu)勢。

（五）課堂小結(jié)，形成網(wǎng)絡(luò)

學(xué)生先嘗試自己進(jìn)行課堂小結(jié)，然后學(xué)生之間相互補(bǔ)充，教師進(jìn)行整理、完善。

1.函數(shù)極值的定義；

2.函數(shù)極值求解步驟；

3.一個(gè)點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)的充要條件。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己進(jìn)行課堂小結(jié)，有利于他們集中精力處于學(xué)習(xí)狀態(tài)，培養(yǎng)概括能力。

（六）作業(yè)布置（略）教學(xué)反思：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，在上節(jié)課學(xué)習(xí)了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，學(xué)生借助函數(shù)圖像的直觀性探索、歸納出函數(shù)的極值定義，利用定義求函數(shù)的極值，并歸納出連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)極值的求法和步驟。教學(xué)反饋中主要是書寫格式存在問題。為了統(tǒng)一要求，教師一般會(huì)主張用列表的方式表示。剛開始有些學(xué)生不愿意接受這種解題方式，但隨著幾道例題與練習(xí)題的展示，他們體會(huì)到了列表方式的簡便。同時(shí)，為了能夠快速判斷導(dǎo)數(shù)值的符號,我要求學(xué)生盡量把導(dǎo)數(shù)因式分解。本節(jié)課的難點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件，為了說明這一點(diǎn)，舉出反例是很有必要的。在解答過程中，學(xué)生對較為復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)的準(zhǔn)確率還比較低，求函數(shù)極值的過程書寫也不規(guī)范。為此，我補(bǔ)充了用文字表達(dá)的書寫格式，學(xué)生可以根據(jù)自己的喜好和實(shí)際選擇表達(dá)方式。當(dāng)然，無論選擇哪種表達(dá)方式，求連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的極值是本節(jié)課的重點(diǎn)，都還需要加強(qiáng)訓(xùn)練。（本文系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》（FHB130512）階段性研究成果）

（作者單位：常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

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