吳曉紅　許麗蕓

【摘 要】中國學(xué)習(xí)者悖論一直是數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的熱點話題?？疾熘忻馈皥D形與幾何”內(nèi)容標準發(fā)現(xiàn)，就知識廣度而言，中國課標知識點數(shù)量多于美國；就知識點要求而言，中國課標要求具體明確，利于教學(xué)；就知識難度而言，中國課標深度大于美國。這些特點在一定程度上能夠賦予中國學(xué)習(xí)者悖論一個新的解釋。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)課程標準；圖形與幾何；中國學(xué)習(xí)者悖論

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）13-0022-04

瑞典教育家馬登教授（F.Marton）認為，中國的數(shù)學(xué)教學(xué)屬于傳統(tǒng)的“傳授—接受”模式，但相關(guān)的比較研究卻表明，中國學(xué)生與其他國家，特別是與西方國家的學(xué)生相比有著較好的學(xué)習(xí)效果，從而在此遇到了“悖論”：這種被動的學(xué)習(xí)怎么可能產(chǎn)生如此好的學(xué)習(xí)效果？這就是著名的“中國學(xué)習(xí)者悖論”[1]。西方研究界之所以形成這樣的看法，除了外部觀察者的局限性和文化偏見外，一個重要的原因是對中國數(shù)學(xué)課程的理解不同[2]。因此，要想解釋“中國學(xué)習(xí)者悖論”，就必須對中國數(shù)學(xué)課程有更深層次的認識。

根據(jù)國際教育成就評價協(xié)會（IEA）的課程分析框架，課程可分為期望課程、實施課程、獲得課程。已有研究表明，中國課堂背景下的期望課程與實施課程相當一致[3]。所以分析期望課程就可以較好地理解學(xué)習(xí)者悖論。由于課程標準是期望課程的集中體現(xiàn)，因此本文擬從國際比較的視角分析中美兩國課程標準，以期進一步認識中國學(xué)習(xí)者悖論。

一、比較樣本

1.中美期望課程比較樣本的確定。

在國際比較研究中，首先要做的就是樣本的選取，比較樣本要具有代表性和典型性[4]，能較好地反映出中美兩國的期望課程。2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》頒布，標志著中國新一輪數(shù)學(xué)課程改革的開始。歷經(jīng)十年的實踐與反思，2011年教育部出臺了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱“中國課標”），并被廣泛實施。以“中國課標”作為中國的期望課程，具有較好的代表性。

2010年，美國頒布了“美國州共同核心數(shù)學(xué)標準”（簡稱“美國課標”）。由于美國教育行政是地方分權(quán)制，各州各自為政，此次改革旨在統(tǒng)一美國數(shù)學(xué)課程標準，而且美國歷史上第一次近乎所有的州都實施該標準[5]，選取“美國課標”作為比較樣本，很大程度上能夠代表美國的期望課程。

2.中美期望課程比較內(nèi)容的確定。

由于數(shù)學(xué)課程標準內(nèi)容較多，為便于比較，我們選取“圖形與幾何”這部分內(nèi)容進行具體分析。之所以選擇“圖形與幾何”作為比較對象，主要基于以下原因：其一，幾何是世界各國數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的一個焦點；其二，“圖形與幾何”是我國新一輪數(shù)學(xué)課程改革的新增內(nèi)容，且這一內(nèi)容在“中國課標”中得以進一步強化；其三，“圖形與幾何”是美國數(shù)學(xué)教育改革的重要內(nèi)容，并在“美國課標”中有集中體現(xiàn)。通過比較中美課標在“圖形與幾何”中的具體內(nèi)容，一定程度上能反映出當前中美課程標準的設(shè)計理念。

二、比較維度

為全面反映中美期望課程的現(xiàn)狀，本文從內(nèi)容廣度、要求以及難度三個維度進行比較。

所謂內(nèi)容廣度是指課程標準所涉及的知識點數(shù)量，內(nèi)容要求是指課程標準對相關(guān)知識點的教學(xué)要求，內(nèi)容難度是指課程標準中知識的難度水平。考查內(nèi)容廣度，旨在反映中美兩國“圖形與幾何”內(nèi)容標準中學(xué)生學(xué)習(xí)的知識量的多少；考查內(nèi)容要求，旨在了解中美兩國“圖形與幾何”內(nèi)容標準中對相關(guān)知識的教學(xué)要求是否具體明確、利于教學(xué)；考查內(nèi)容難度，旨在明確中美兩國“圖形與幾何”內(nèi)容標準中需要學(xué)生掌握的知識的難易情況。

三、中美“圖形與幾何”內(nèi)容的比較

1.內(nèi)容廣度。

“中國課標”將義務(wù)教育階段劃分為三個學(xué)段，第一學(xué)段是1-3年級，第二學(xué)段是4-6年級，第三學(xué)段是7-9年級?！皥D形與幾何”所涉及的知識點主要有三角形、四邊形、圓等知識。以下主要以三角形的相關(guān)知識點為例做具體說明。

“中國課標”關(guān)于三角形的知識分布于第一、二、三學(xué)段，涵蓋1—9年級。在第一學(xué)段主要是三角形的認識，比如“能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形”“會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖”；第二學(xué)段的知識點包含對三角形的進一步認識以及三角形的簡單性質(zhì)，比如“認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°”“認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形”；第三學(xué)段的重點是三角形相關(guān)性質(zhì)定理的探索與證明，比如“理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性”“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”[6]。

“美國課標”關(guān)于三角形的知識主要分布在幼兒園、一年級、二年級、四年級和八年級，五年級到七年級雖然也有關(guān)于三角形的部分知識，但主要是作為圖形的特例來求面積和周長，因此，這部分內(nèi)容我們不進行討論。

幼兒園階段的知識點主要為辨認三角形，比如“辨認并描述圖形（正方形、圓形、三角形、矩形、六角形、立方體、圓錐體、圓柱和球）”。一年級的重點是了解三角學(xué)的簡單屬性，例如“對定義屬性（例如，三角形是閉合的并有三條邊）與非定義屬性（如顏色、方向、大小）進行區(qū)分”。二年級的重點是圖形識別，比如“識別三角形、四邊形、五邊形、六邊形和立方體”。四年級是對特殊三角形的認識，比如“基于是否出現(xiàn)平行線或垂線或是否出現(xiàn)特殊大小的角度將二維圖形進行歸類，認識到直角三角形是一個類別，并識別直角三角形”。八年級的知識點主要有相似三角形、全等三角形的認識，勾股定理及其逆定理等，比如“明白兩個二維圖形是全等的，如果第二個圖形可以從第一個圖形的旋轉(zhuǎn)、反射和平移獲得”[7]。

由上可知，中美課標在三角形部分有許多共同知識點，如三角形的認識（包括一些特殊的三角形），相似三角形、全等三角形的理解以及三角形的判定等。值得說明的是，“中國課標”中還包含三角形的內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)定理等一系列定理的探索與證明，而“美國課標”突出的重點只是勾股定理，其要求僅是“理解和運用畢達哥拉斯定理”[7]。由此我們可以看出，“中國課標”在“圖形與幾何”部分的知識點數(shù)量多于美國，涉及面廣于美國。

2.內(nèi)容要求。

中美課標中“圖形與幾何”包括許多內(nèi)容，如圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似等。為便于比較，我們選取課標中都有的且要求較為明確的“圖形的相似”這一內(nèi)容進行剖析。

在第一學(xué)段，“中國課標”關(guān)于圖形相似的知識點主要是對物體長度的認識，具體闡述有3條，比如“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性”；在第二學(xué)段關(guān)于比例尺的認識，其要求只有1條，即“了解比例尺，在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算”；第三學(xué)段關(guān)于相似三角形的要求有9條，比如“了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似，兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，三邊成比例的兩個三角形相似”[6]。

“美國課標”關(guān)于圖形的相似僅在一年級、七年級和八年級有所涉及。一年級的知識點是物體長度的認識，要求有2條，比如“按照長度將三個物體進行排序”借助第三個物體間接比較兩個物體的長度”；七年級關(guān)于比例的認識僅1條，即“解決涉及幾何圖形的尺度圖的問題，包括計算實際長度和面積，在不同的比例從尺度繪圖和再現(xiàn)比例圖”；八年級中關(guān)于圖形相似的具體說明是“明白兩個二維圖形是相似的，如果第二個圖形可以從第一個圖形的旋轉(zhuǎn)、反射和平移獲得”“如果給出相似的比例，能描述一個序列表現(xiàn)出它們之間的相似性”[7]。

可以看出，就“圖形的相似”這一知識點而言，“中國課標”的具體要求在數(shù)量上明顯比“美國課標”多，而且闡述較為具體，根據(jù)課標，教師可以很清楚地知道需要教給學(xué)生的知識，以及學(xué)生所需掌握的程度。特別是，“中國課標”在若干內(nèi)容領(lǐng)域的說明中還給出了參考例題，便于教師更好地理解、實施課標。例如，“會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題（參見例74）?！逼渲校?4是一個直覺誤導(dǎo)的例題，其設(shè)計意圖在于希望學(xué)生認識到直覺判斷的或然性以及邏輯推理的重要性，同時在邏輯證明過程中加深對相似圖形的理解。因此，“中國課標”給出的要求以及實例，可以使教師更好地把握教學(xué)的“度”。相對而言，“美國課標”所提出的要求則較為概括，比如，“美國課標”在八年級關(guān)于圖形的相似僅僅只是讓學(xué)生明白兩個二維圖形是相似的，至于“明白”的程度則沒有具體說明。

可見，“中國課標”對知識點的要求較為具體，可操作性強，易于教師把握教學(xué)重點、難點，便于教師在實際教學(xué)中操作；“美國課標”則概括性較強，更有利于教師創(chuàng)造性的發(fā)揮。

3.內(nèi)容難度。

荷蘭學(xué)者范希爾夫婦經(jīng)過理論和實踐的長期探索，指出學(xué)生的幾何思維存在0—4共5個水平，它們依次為：視覺層次（visuality）、分析層次（analysis）、非形式演繹層次（informal deduction）、形式演繹層次（formal deduction）以及嚴密性系統(tǒng)層次（rigor）。學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)也要經(jīng)歷5個階段。以此為基礎(chǔ)，我們比較分析“圖形的軸對稱”這一具體內(nèi)容。

“中國課標”在第一學(xué)段安排的內(nèi)容是“結(jié)合實例，感受軸對稱現(xiàn)象”。根據(jù)范希爾理論，通過實例學(xué)生可初步認識軸對稱現(xiàn)象，但不能深入地了解其特征，屬于0水平。第二學(xué)段的安排為“通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形”，該要求是在認識軸對稱現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，能進一步畫出軸對稱圖形的對稱軸，屬于1水平。第三學(xué)段的要求是“通過具體實例了解軸對稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分（參見例64）”“能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形”“了解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)”“認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形”[6]，這些要求更為具體、深入，要求學(xué)生在分析圖形的基礎(chǔ)上，進一步理解“圖形的軸對稱”的概念和性質(zhì)定理。依據(jù)范希爾理論，2水平的學(xué)生能夠提出一些軸對稱圖形的推論，3水平的學(xué)生能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的定理，也能推出新的定理。由此可見，第三學(xué)段的所學(xué)內(nèi)容符合2、3水平的發(fā)展。

“美國課標”中的“圖形的軸對稱”主要安排在四年級和八年級。四年級的內(nèi)容為“認識到一個二維圖形的對稱軸是一條橫穿圖形的線并且圖形可以通過這條線折疊成完全重合的兩部分。識別軸對稱圖形并繪制對稱軸”，即學(xué)生需識別軸對稱圖形并繪制對稱軸。范希爾理論認為0水平只能達到通過整體輪廓辨認圖形，1水平要求學(xué)生會分析圖形的組成要素及特征，并能進一步地認識圖形。因此，識別軸對稱圖形屬于0水平，繪制對稱軸屬于1水平。八年級的要求為“明白兩個二維圖形是全等的，如果第二個圖形可以從第一個圖形的反射獲得”[7]，學(xué)生需通過圖形的反射來進一步地了解圖形的全等，并能進一步地探索圖形間的關(guān)系，這一要求主要屬于2水平。

通過比較發(fā)現(xiàn)，就“圖形的軸對稱”而言，“中國課標”第一學(xué)段安排的內(nèi)容屬于0水平，第二學(xué)段屬于1水平，第三學(xué)段主要是2、3水平。隨著年級的增加，“中國課標”內(nèi)容水平的難度也逐步加大?！懊绹n標”關(guān)于“圖形的軸對稱”至多達到2水平。從這一角度來說，“美國課標”安排的內(nèi)容水平偏易?！爸袊n標”“圖形與幾何”知識內(nèi)容掌握的深度大于美國。

四、中國學(xué)習(xí)者悖論新解

傳統(tǒng)的“傳授—接受”模式何以產(chǎn)生較好的學(xué)習(xí)效果？通過對中美期望課程的比較，我們發(fā)現(xiàn)，以下幾個方面或許能夠賦予中國學(xué)習(xí)者悖論一個新的解釋。

1.知識點涉及面廣更有利于學(xué)生多角度地思考。

從所涉及的知識點來看，“中國課標”在“圖形與幾何”部分的知識點數(shù)量明顯多于美國，“中國課標”學(xué)習(xí)內(nèi)容的廣度大于美國。因此，中國學(xué)生在“圖形與幾何”方面了解的知識面廣于美國學(xué)生，這有利于中國學(xué)生在解決問題時擁有較多的知識、較廣的視角。從這一角度來說，中國學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)效果較好，也就不足為奇。

2.知識點要求明確具體更利于教師落實課程標準理念。

從標準對相關(guān)知識點的要求上看，“中國課標”對每一知識內(nèi)容都給出了明確而又具體的要求，這利于教師深刻理解把握課程標準的理念，利于教師將理念在教學(xué)中具體落實，利于教師更加快速、有效、大容量地教學(xué)。相對而言，“美國課標”概括性較強，雖然有利于教師創(chuàng)造性發(fā)揮，但是如果教師專業(yè)素養(yǎng)不高、教學(xué)水平不高，則難以達到對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解與教學(xué)方法的靈活運用。數(shù)學(xué)教育專家馬立平博士的研究表明，中國教師比美國教師能更好地理解數(shù)學(xué)。[8]在此意義下，美國課標的理念能否真正在教學(xué)中落實則不得而知。

可見，雖然“中國課標”理念下的數(shù)學(xué)課堂內(nèi)容量大、知識點多，但教學(xué)要求明確，便于教師將先進的課標理念落實在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。在此背景下學(xué)習(xí)的中國學(xué)生，學(xué)習(xí)效果怎能不好呢？

3.難度水平較高的知識更利于學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)。

從內(nèi)容難度上來看，“中國課標”的知識點水平高于美國，深度大于美國。這說明，“中國課標”對學(xué)生的要求較高，與同學(xué)段的美國學(xué)生相比，中國學(xué)生可以掌握更高深的知識，能夠?qū)χR更透徹地理解，擁有更強的解決問題的能力。在這種“高標準、嚴要求”背景下學(xué)習(xí)的學(xué)生，對數(shù)學(xué)的理解是深刻的，對數(shù)學(xué)的認識是透徹的，可能會產(chǎn)生更好的學(xué)習(xí)效果。

總的來說，著眼于中美期望課程，就知識廣度而言，中國課標知識點數(shù)量多于美國；就知識點要求而言，中國課標要求具體明確，利于教學(xué)；就知識難度而言，中國課標深度大于美國。這些特點更有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)。對于持有“中國學(xué)習(xí)者悖論”的學(xué)者，或許能從此角度進一步了解中國的數(shù)學(xué)教育。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.中國學(xué)習(xí)者的悖論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001（01）：6-10.

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[3]范良火.華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（中文版）[M].南京：江蘇教育出版社，2005：422.

[4]吳曉紅.數(shù)學(xué)教育國際比較的方法論研究[M].廣州：廣東教育出版社，2007：189.

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[8]Ma-Liping. Knowing and Teaching Elementary Mathematics： Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States[M]. Mahwah New Jersey Lawrence Erlbaum Associates， Publishers，1999.