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高中數(shù)學(xué)常見錯(cuò)誤分析及解決策略
——以指、對(duì)數(shù)函數(shù)為例

陳姍姍

(廣東省中山市第二中學(xué)，528429)

很多學(xué)生常在數(shù)學(xué)考試之后“懊惱不已”,因?yàn)楹芏啾緫?yīng)該會(huì)做的題目卻沒(méi)有拿到一定的分?jǐn)?shù),盡管學(xué)生一直想避免這種情況,但現(xiàn)實(shí)中,多數(shù)學(xué)生還是很難做到,因?yàn)橐恍┏Ｒ姷腻e(cuò)誤總是錯(cuò)了一次又一次．所以說(shuō),要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)并不是件容易的事,這不僅需要教師的努力,同時(shí)學(xué)生也應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)到自己在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中所碰到的常見錯(cuò)誤,并及時(shí)找到避免錯(cuò)誤的辦法．本文就高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所碰到的常見錯(cuò)誤及其解決策略進(jìn)行初步探討．

一、知識(shí)性錯(cuò)誤

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多,難度大,很多學(xué)生吃不透,對(duì)所學(xué)知識(shí)一知半解,模棱兩可,多個(gè)知識(shí)之間混淆,或者根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn),發(fā)生錯(cuò)誤的遷移,因此容易犯一些知識(shí)性的錯(cuò)誤．下面分析常見的三種知識(shí)性錯(cuò)誤．

1.概念理解不清

正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特別是中等偏下的學(xué)生,他們的理解能力和領(lǐng)悟能力稍差,對(duì)所學(xué)概念經(jīng)常模棱兩可,一知半解,更有甚者干脆靠死記硬背,而不去真正透徹理解,只是機(jī)械的、零碎的認(rèn)識(shí)．這樣久而久之,從而嚴(yán)重影響了對(duì)概念基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和運(yùn)用．

我們知道,對(duì)數(shù)概念特別抽象,學(xué)生很難接受,困難不在于計(jì)算,而是在于理解．其實(shí)對(duì)數(shù)問(wèn)題就是已知底數(shù)和冪的值,求指數(shù)的過(guò)程．只要學(xué)生能夠掌握對(duì)數(shù)與指數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(當(dāng)a>0,a≠1時(shí),ax=N?x=logaN)所有對(duì)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題都可以迎刃而解．在這個(gè)轉(zhuǎn)化式中,學(xué)生有兩個(gè)常見出錯(cuò)點(diǎn):一是a>0,a≠1;二是真數(shù)N>0．人教版必修1是這樣規(guī)定正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),也就是說(shuō)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都可以寫成根式的形式,那么首先就應(yīng)該考慮到根式要有意義才行,比如(-2)〖SX(〗34〖SX)〗=〖KF(S〗4(-2)3〖KF)〗是沒(méi)有意義的．因?yàn)檎鏀?shù)N是ax的值,所以必須為正數(shù),部分學(xué)生沒(méi)有理解指數(shù)、對(duì)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,所以總是出錯(cuò),如解不等式log〖SX(〗12〖SX)〗x>2,很多學(xué)生的答案都是x<〖SX(〗14〖SX)〗,而漏掉x>0．

每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識(shí)背景,舍棄這些背景,對(duì)概念直接死記硬背,數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)零碎、復(fù)雜，概念嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)邏輯能力、空間思維能力、動(dòng)手解題能力要求較高．這就要求每一位學(xué)生不但要知其然,而且更要知其所以然．

2.公式、法則、定理混淆

在新課標(biāo)環(huán)境下,運(yùn)算能力仍然是高考著重考察的能力之一．雖然高考“多考一點(diǎn)想,少考一點(diǎn)算”,但并不意味著“想”比“算”更重要．每年高考結(jié)束以后,學(xué)生耿耿于懷的經(jīng)常是算錯(cuò)了或是運(yùn)算繁瑣而算不下去了．而計(jì)算上出現(xiàn)問(wèn)題,我們不能把原因總是歸結(jié)為不夠細(xì)心．據(jù)筆者觀察,非常重要的一個(gè)原因就是許多高中生只是注重思維訓(xùn)練,而忽視運(yùn)算的基本功,特別是他們以為熟知的初中數(shù)學(xué)運(yùn)算性質(zhì)．

有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)

這三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)看似簡(jiǎn)單,因?yàn)楹统踔袑W(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)幾乎雷同,所以學(xué)生在做題時(shí)習(xí)慣性按照以前的做法做下去,比如:

[(-2)2]〖SX(〗32〖SX)〗=(-2)2×〖SX(〗32〖SX)〗=(-2)3=-8.

這樣做顯然是錯(cuò)誤的,忽視了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中關(guān)鍵的一點(diǎn)“a>0”.對(duì)此，老師在講解時(shí)應(yīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)并分析原因．正確的解法是:[(-2)2]〖SX(〗32〖SX)〗=4〖SX(〗32〖SX)〗=22×〖SX(〗32〖SX)〗=23=8.造成這種錯(cuò)誤的根本原因就是沒(méi)有理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪的區(qū)別.教師授課時(shí)應(yīng)該加以重視,通過(guò)舉一反三和正反例子來(lái)說(shuō)明二者的異同點(diǎn),并指出常見的錯(cuò)誤類型與學(xué)生一起分析．

然而,在學(xué)習(xí)了三個(gè)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)之后,學(xué)生就更加混淆不清了．有關(guān)對(duì)數(shù)的三個(gè)基本運(yùn)算性質(zhì):如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:

(1)loga(M·N)=logaM+logaN;

(2)loga〖SX(〗MN〖SX)〗=logaM-logaN

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)

對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),掌握并理解這三個(gè)性質(zhì)并不容易,因此各種錯(cuò)誤也是層出不窮:如:下列等式成立的是()

(A)log2(3÷5)=log23-log25

(B)log2(-10)2=2log(-10)

(C)log2(3+5)=log23·log25

(D)log2(-5)3=-log253

類似于選項(xiàng)C的這種錯(cuò)誤是非常常見的．學(xué)生沒(méi)有完全掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),從而與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)混淆一起．再看下面幾個(gè)有關(guān)指數(shù)的運(yùn)算:

(1)2n+1-2n=2n

(2)〖SX(〗12n〖SX)〗-〖SX(〗12n+1〖SX)〗=〖SX(〗12n+1〖SX)〗

(3)2n·2n+1=22n+1

(4)〖SX(〗22n+12n〖SX)〗=2n+1,

由于筆者任教的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般,所以這種看似簡(jiǎn)單的計(jì)算,出錯(cuò)率卻很高,(1)、(2)其實(shí)就是合并同類項(xiàng),(3)、(4)才是用指數(shù)的運(yùn)算公式“同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變指數(shù)相減”．學(xué)生在做題時(shí)經(jīng)常把對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)的運(yùn)算法則混淆,作為教師我們要示范舉例說(shuō)明,再讓學(xué)生舉例說(shuō)明,給學(xué)生足夠的時(shí)間去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤,從而使學(xué)生形成正確的認(rèn)知．

3.圖象畫法不準(zhǔn)確

高中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”的解題思想,很多問(wèn)題的解決如果能借助于圖象,往往能起到事半功倍的效果.正確理解并合理應(yīng)用函數(shù)圖象,在很大程度上能夠幫助我們鞏固、消化所學(xué)的理論知識(shí)．借助于圖象,能夠使我們所研究的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化、清晰化．因此,每位高中生都應(yīng)該掌握識(shí)圖、作圖、用圖的本領(lǐng)．有了圖象就可以將某些枯燥、抽象的理論知識(shí)具體化、形象化．所以同學(xué)們一定要熟知我們所學(xué)習(xí)過(guò)的每一個(gè)函數(shù)的圖象,只有這樣才能做到融會(huì)貫通,舉一反三．

轉(zhuǎn)移支付制度的設(shè)計(jì)是央地財(cái)政關(guān)系的重要組成部分，是賦予地方政府相應(yīng)“財(cái)權(quán)”后如果其仍然收支失衡的一個(gè)重要補(bǔ)充。目前大的改革方向是增加一般性轉(zhuǎn)移支付的比重，降低專項(xiàng)轉(zhuǎn)移支付的比重。原因顯然是由于專項(xiàng)轉(zhuǎn)移支付制度的“一事一議”、“易上難下”等容易產(chǎn)生許多問(wèn)題。但從目前來(lái)看，轉(zhuǎn)移支付制度的關(guān)鍵在于如何明晰一般性轉(zhuǎn)移支付與專項(xiàng)轉(zhuǎn)移支付的界限，更好地發(fā)揮兩種轉(zhuǎn)移支付制度各自的優(yōu)點(diǎn)，更好地完善制度框架設(shè)計(jì)，不能簡(jiǎn)單地提高或降低某項(xiàng)轉(zhuǎn)移支付的比重。

例如，k為何值時(shí),方程|3x-1|=k無(wú)解?有一解?兩解?

這是一道常見的數(shù)形結(jié)合的題目,把方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),即函數(shù)y=|3x-1|與y=k的交點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)畫圖(如圖1),觀察圖象,易知:k<0時(shí)無(wú)解;k=0或k≥1時(shí)一解;0

然而部分學(xué)生在作圖時(shí)卻忽略了漸近線,作出如圖2的圖象，得出這樣的答案:k<0時(shí)無(wú)解;k=0時(shí)一解;k>0時(shí)兩解．錯(cuò)誤的原因就在于沒(méi)有掌握指數(shù)函數(shù)的圖象是無(wú)限接近x軸,即x軸是指數(shù)函數(shù)圖象的漸近線這一知識(shí)點(diǎn)所造成的．

二、計(jì)算錯(cuò)誤

計(jì)算在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要,提高計(jì)算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要一環(huán)．不少學(xué)生在考試成績(jī)出來(lái)時(shí)總是遺憾的說(shuō):“這題我會(huì)做的,但是算錯(cuò)了數(shù)”,或者常常聽到不少老師埋怨:“學(xué)生的計(jì)算能力太差了,連這么簡(jiǎn)單的運(yùn)算都過(guò)不了關(guān),甚至數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生運(yùn)算結(jié)果也常出差錯(cuò)．”就算是簡(jiǎn)單的計(jì)算錯(cuò)誤代價(jià)也是很大的,動(dòng)不動(dòng)就扣5分以上,如果出現(xiàn)幾處這樣的錯(cuò)誤,那么對(duì)學(xué)生情緒影響更大.筆者分析簡(jiǎn)單的計(jì)算錯(cuò)誤無(wú)非就是以下5種:

(1)跳步產(chǎn)生錯(cuò)誤．很多學(xué)生在考試過(guò)程中貪快,搶時(shí)間,在進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算時(shí),覺(jué)得沒(méi)有問(wèn)題,直接跳步計(jì)算,在這個(gè)過(guò)程中往往會(huì)出錯(cuò)．

(3)口算導(dǎo)致錯(cuò)誤．這個(gè)是學(xué)生最容易犯的錯(cuò)誤,比如:90°-15°=85°;17×5=65．

(4)抄寫錯(cuò)誤．由于粗心或者心理壓力過(guò)大,學(xué)生在解題過(guò)程中往往出現(xiàn)上下步數(shù)值不匹配的現(xiàn)象,把上一步的2抄成3,正負(fù)號(hào)抄錯(cuò),漏抄等等,或在草稿紙上已經(jīng)將最后答案計(jì)算出來(lái)了,結(jié)果往答題紙上抄寫的時(shí)候,出現(xiàn)了錯(cuò)誤．

計(jì)算錯(cuò)誤是“會(huì)而不對(duì)”中最常見的現(xiàn)象,很多學(xué)生因?yàn)檫@樣的情況直接影響高考走向．?dāng)?shù)學(xué)離不開計(jì)算,提高計(jì)算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步,能避免的錯(cuò)誤盡量避免,不要眼高手低,要腳踏實(shí)地．

三、教材理解不透徹

新課標(biāo)對(duì)反函數(shù)的學(xué)習(xí)要求是:知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1)．對(duì)反函數(shù)的處理,只要求以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解.例如,可通過(guò)比較同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù),說(shuō)明指數(shù)函數(shù)y=ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1)．不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義,也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)．但是在學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試中包括各省市的模擬題頻頻出現(xiàn)關(guān)于反函數(shù)的題目．

例如，函數(shù)y=〖JB((〗〖SX(〗12〖SX)〗〖JB))〗x的反函數(shù)的圖象大致是()

這是我校高三的一道月考題,得分情況很不樂(lè)觀:

滿分5分，平均分0.96,得分率0.19,難度系數(shù)0.34,區(qū)分度0.69,標(biāo)準(zhǔn)差1.97,人數(shù)57,對(duì)11人，錯(cuò)46人，選A有9人，選B有32人，選C有5人，選D有11人.

5分的題目平均分不到0.2，足以說(shuō)明學(xué)生對(duì)反函數(shù)的理解真的很差.事實(shí)上這道題很簡(jiǎn)單,錯(cuò)誤的原因就在于沒(méi)有吃透教材,因?yàn)榻滩纳蠜](méi)有例題,所以學(xué)生沒(méi)有給予足夠的重視,碰到這類題目只有丟分．

總之,錯(cuò)誤出現(xiàn)了,我們不能總簡(jiǎn)單地歸結(jié)為:粗心大意、心理壓力過(guò)大等原因,要認(rèn)真分析,找到錯(cuò)誤的原因,并根據(jù)自己出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整,將錯(cuò)誤降到最低．