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平凡中顯創(chuàng)意樸實(shí)中見功夫
───一道高考數(shù)學(xué)試題的探究與感悟

芮國英錢軍先

(無錫市輔仁高級(jí)中學(xué)，214123)

隨著新課程的實(shí)施和不斷深入,經(jīng)過多年的探索,高考數(shù)學(xué)命題已從理論和實(shí)踐上發(fā)生了深刻的變化,落實(shí)新課程的基本理念,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,以問題為背景,以知識(shí)為載體,以方法為依托,以能力為主線,已成為高考數(shù)學(xué)命題的主流.綜觀全國各地的高考數(shù)學(xué)試題,表述簡潔,設(shè)計(jì)新穎,情境交匯,知能并重,既引導(dǎo)教學(xué)、又利于選拔的創(chuàng)新試題精彩粉呈、舉目可見.本文以2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷第14題為例,作一些探究,談一點(diǎn)感悟.

一、考題賞析

這道試題以不等式為背景,以線性規(guī)劃的知識(shí)和方法為載體,以新穎的視角和創(chuàng)新的手法,在不等式、線性規(guī)劃、對(duì)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)方法的交匯處精心設(shè)計(jì),文字表述簡潔明了,題給條件簡單清晰,構(gòu)思巧妙,不落俗套,較好地彰顯了新課程的理念,實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的多角度、多層次的考查,有效地甄別了學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)潛能,是一道內(nèi)涵豐富、匠心獨(dú)具、在平凡中顯創(chuàng)意、在樸實(shí)中見功夫的好題.

二、解法探究

解法1條件5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥b+clnc可化為

解法2由題意知a, b, c>0,在不等式5c-3a≤b≤4c-a兩邊同除以正數(shù)a,可得

又由clnb≥a+clnc,得

clnb-clna≥a+clnc-clna,

三、題源追溯

作出可行域,如圖2所示.

可以說,蘇州大學(xué)高中數(shù)學(xué)《教學(xué)與測(cè)試》(教師用書,2011版)第232頁的例2是2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷第14題的題源,而2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷第14題則是在蘇州大學(xué)高中數(shù)學(xué)《教學(xué)與測(cè)試》(教師用書,2011版)第232頁例2的基礎(chǔ)上經(jīng)過加工改造、變式引申而成的,這正是高考數(shù)學(xué)命題時(shí)常用的基本手法之一.

四、教學(xué)感悟

我們的老師常會(huì)有這樣的困惑:類似的問題講過多遍,學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中也練習(xí)了相當(dāng)多的習(xí)題,為什么在考試時(shí)還是經(jīng)常舉步維艱、錯(cuò)誤百出呢?以本文中的高考試題為例,蘇州大學(xué)的復(fù)習(xí)資料很多學(xué)校都在使用,第232頁的例2,相信絕大多數(shù)的老師在組織復(fù)習(xí)時(shí)肯定會(huì)重點(diǎn)講解,然而學(xué)生在高考中解答本題的表現(xiàn)并不好,解對(duì)此題的考生屈指可數(shù).問題出在哪里呢?筆者以為:這與我們?cè)趯?shí)施復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí),受“應(yīng)試本位教學(xué)觀”的影響而產(chǎn)生的浮躁作風(fēng)──“急功近利”及其相應(yīng)的一些教學(xué)行為有關(guān).

由于近幾年來的高考數(shù)學(xué)試卷的結(jié)構(gòu)、題型和難度相對(duì)穩(wěn)定,我們的老師們積累了

豐富的應(yīng)試經(jīng)驗(yàn),在復(fù)習(xí)教學(xué)中為了趕進(jìn)度,過多地憑借經(jīng)驗(yàn)想當(dāng)然,試圖讓學(xué)生在多聽講、多接觸、多訓(xùn)練中達(dá)到“熟能生巧”,不求知識(shí)能力的遷移同化,不求思想方法的融會(huì)貫通,但求常規(guī)題型的“熟與會(huì)”,忽視數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),大搞題海戰(zhàn)術(shù),反復(fù)地“練──講──練”,壓縮學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論的時(shí)間和空間,使學(xué)生的思維停留在機(jī)械操作、外部感知的層面,難以在頭腦中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組,形成良好的思維習(xí)慣和方式,致使他們?cè)讵?dú)立且緊張的高考環(huán)境下,面對(duì)“新情境、新問題”時(shí)被套牢,甚至是對(duì)于僅在條件或結(jié)論上稍稍作了一些調(diào)整的變式問題,也會(huì)顯得一籌莫展、束手無策,從而造成無盡的遺憾.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式、揭示自然規(guī)律的科學(xué),是一門充滿生機(jī)與活力的學(xué)科.高考試題千變?nèi)f化,但萬變不離其宗.高考數(shù)學(xué)考什么?簡單地說就是四考:考基礎(chǔ)知識(shí)、考思想方法、考思維能力、考數(shù)學(xué)應(yīng)用.這就要求我們?cè)诟呷龜?shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)中,跳出題海,重視基礎(chǔ)知識(shí),突出通性通法,采用“低起點(diǎn)、全方位、多層次、快反饋”的方式,多對(duì)學(xué)生實(shí)施原型啟發(fā)和變式訓(xùn)練,進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué),重導(dǎo)輕授、重學(xué)輕講、重思維輕題型、重過程輕結(jié)果、重思想輕記憶,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念,把握數(shù)學(xué)方法,體會(huì)數(shù)學(xué)思想,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)特有的思維方式,真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).只有這樣,才能有效地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,從而在高考中做到隨機(jī)應(yīng)變,取得理想的成績.