張水霞

摘 要：數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象作出抽象或模仿而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可分為理論模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。利用模型思想進(jìn)行教學(xué)可以突破純粹由教師講、學(xué)生聽，然后做習(xí)題的模式，能讓學(xué)生主動(dòng)去學(xué)習(xí)、交流、獲得新的知識(shí)。本文簡(jiǎn)要闡述了數(shù)學(xué)模型的概念和應(yīng)用，以期一起學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：模型思想；抽象；化歸；理論模型；經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問題的方法。2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》相較于2001年版最大的改變是由“六個(gè)核心詞”變?yōu)椤笆畟€(gè)核心詞”，即將“數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力”改為“數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)”。這一改變更加顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為一種實(shí)用學(xué)科的工具性，同時(shí)更加注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。而模型思想便是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的能力。新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》上就安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四塊知識(shí)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)了要加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念以及應(yīng)用意識(shí)與推理的能力。這些內(nèi)容中最重要的部分就是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型不僅能為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也能為解決現(xiàn)實(shí)問題提供重要工具，數(shù)學(xué)模型還可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，我們教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問題的能力。

一、數(shù)學(xué)模型的定義及意義

所謂的數(shù)學(xué)模型，就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象作出抽象或模仿而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的原型進(jìn)行具體構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是“問題解決”的一個(gè)重要方面和類型。最常見的例如數(shù)學(xué)中的各種概念、公式、方程式等。

18世紀(jì)，著名的哥尼斯堡七橋問題，大數(shù)學(xué)家歐拉將七座橋抽象成七條線，將實(shí)際問題抽象成一筆畫的數(shù)學(xué)模型，解決了眾人無(wú)法解決的實(shí)際問題。

偉大的科學(xué)家牛頓在研究力學(xué)的過(guò)程中發(fā)明了微積分，又成功地在開普勒三定律的基礎(chǔ)上運(yùn)用微積分推導(dǎo)了萬(wàn)有引力定律，這一創(chuàng)造性成就可以看作是歷史上最著名的數(shù)學(xué)模型之一。

這些數(shù)學(xué)模型的例子，可以看出模型思想不僅能解決數(shù)學(xué)問題，更能廣泛運(yùn)用于不同學(xué)科領(lǐng)域，成為解決問題的重要途徑。

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)已突破純粹由教師講、學(xué)生聽、做習(xí)題的模式，學(xué)生的主動(dòng)介入多了，師生間、生生間的交流多了，這些都為新的教學(xué)模式提供了經(jīng)驗(yàn)。教育的一個(gè)重要方面是培養(yǎng)優(yōu)秀的人才，而培養(yǎng)優(yōu)秀的人才要有載體，完全結(jié)合專業(yè)的課題是一種載體，對(duì)學(xué)生進(jìn)行的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)很可能是一個(gè)非常合適的載體。數(shù)學(xué)建模作為“問題解決”的一個(gè)重要方面、一種類型，可以真正地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。

二、數(shù)學(xué)模型在四年級(jí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中時(shí)時(shí)刻刻都展現(xiàn)著它的魅力。數(shù)學(xué)模型思想是要使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)教科書上所學(xué)的模型的理解，老師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)、驗(yàn)證這些基本的模型，如果學(xué)生認(rèn)清了模型的背景、實(shí)質(zhì)，就自然而然能夠加強(qiáng)對(duì)它的理解了。

1.理論模型

理論模型建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

如四年級(jí)上冊(cè)乘法單元獲得了兩種常見的數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)，速度×?xí)r間=路程，利用這兩種數(shù)量關(guān)系采用化歸模式來(lái)解決問題：

例題：籃球每個(gè)是80元，買3個(gè)這樣的籃球要多少元呢？

練習(xí)：每套校服要120元，買5套這樣的校服要多少元錢？

兩個(gè)題目看上去不一樣，其實(shí)都是已知單價(jià)和數(shù)量求總價(jià)，學(xué)生已經(jīng)建立起單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)的模型，那么解決此類問題就得心應(yīng)手。以此類推，還可以解決更多看似不同的問題。學(xué)生也從中獲得了解決問題的信心。

2.經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛣t使學(xué)生獲得了學(xué)習(xí)新知的方法和能力。與新課程標(biāo)準(zhǔn)相統(tǒng)一的新教材在編排的時(shí)候更注重模型思想的體現(xiàn)。如四年級(jí)下冊(cè)簡(jiǎn)便計(jì)算的學(xué)習(xí)，從加法交換律開始讓學(xué)生逐漸獲得總結(jié)規(guī)律的能力，在解決問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律→枚舉中驗(yàn)證規(guī)律→用字母概括規(guī)律這樣的學(xué)習(xí)模型使后面的學(xué)習(xí)變得輕松而有效。同時(shí)學(xué)生也會(huì)主動(dòng)去研究這些運(yùn)算定律之間存在的區(qū)別與聯(lián)系，如我們學(xué)的加法交換律a+b=b+a和乘法的交換律a×b=b×a有著相似的規(guī)律，加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律有著相似的規(guī)律。而乘法有分配律（a+b）×c=a×c+b×c，加法卻沒有。至此，學(xué)生就會(huì)自然而然地去思考：已經(jīng)學(xué)的加法和乘法有相通的地方，那么減法和除法是否也有交換律和結(jié)合律，學(xué)生便主動(dòng)地進(jìn)行思考。而此時(shí)他們也已經(jīng)具有了自主思考的能力和方法。

總之，數(shù)學(xué)模型思想是應(yīng)用數(shù)學(xué)的藝術(shù)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，才能形成學(xué)生良好的思維習(xí)慣和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。

（作者單位：浙江省諸暨市草塔鎮(zhèn)中心小學(xué)）