金雷杰

【摘 要】圖形面積這部分內(nèi)容可以從知識、方法及數(shù)學思想等維度進行梳理，不同圖形面積之間既有不同之處，又緊密聯(lián)系，并不斷發(fā)展和提升，需要整體把握，有序建構(gòu)。在有序建構(gòu)過程中，要找準內(nèi)容、方法及數(shù)學思想銜接的關(guān)鍵點，以學定教，不斷豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，凸顯這部分內(nèi)容在培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)中的價值。

【關(guān)鍵詞】圖形面積 整體思考 核心素養(yǎng) 價值凸顯

圖形面積教學是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，涉及內(nèi)容多，分布在不同年級。不同圖形面積知識內(nèi)容、推導方法及所滲透的數(shù)學思想之間既有不同之處，又緊密聯(lián)系，并不斷發(fā)展和提升。因此，教師要整體把握，遵循數(shù)學邏輯順序和學生不斷豐富的學習經(jīng)驗，統(tǒng)籌安排，抓住關(guān)鍵，凸顯這部分內(nèi)容在發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)方面的價值。

一、整體把握，有序建構(gòu)

梳理圖形面積教學中內(nèi)容、方法及數(shù)學思想在各年級教材中的安排線索如下表。

教材內(nèi)容的安排聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣。學生通過對面積的意義的學習為后續(xù)學習各種平面圖形的面積做好準備；而通過對面積單位和測量方法的學習，又直接為學習長方形、正方形的面積做好鋪墊；平行四邊形的面積學習又以長方形的面積為基礎(chǔ)，是把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形后來推導面積公式的；三角形、梯形、圓的面積推導都以轉(zhuǎn)化為平行四邊形為基本研究思路，平行四邊形的面積知識是學習這些圖形面積的知識基礎(chǔ)。這些圖形面積知識之間的關(guān)系如下圖：

這些圖形面積的研究方法也有一條明確的線索。長方形、正方形面積公式的推導始于測量，學生積累一定的測量經(jīng)驗后自然體會到：長方形的長是多少，表示一排可以擺多少個單位面積，寬是多少，表示可以擺多少排，由此發(fā)現(xiàn)用“長×寬”可以計算出單位面積的個數(shù)，即這個長方形的面積。對平行四邊形的研究一開始也延續(xù)用單位測量的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)不能得到完整的面積單位，由此產(chǎn)生思維沖突，由單位面積的拼接而推廣到圖形的剪拼，把平行四邊形剪拼成一個長方形來進行研究，因此平行四邊形面積的研究方法是從測量到剪拼的一次提升，必須讓學生經(jīng)歷這一過程。三角形和梯形的面積推導主要是用拼組的方法，即兩個相同的圖形拼組成原來已經(jīng)學過的圖形，但這種拼組和平行四邊形的剪拼有很大的差異。平行四邊形的剪拼是一種等積變形的過程，即在剪拼過程中面積保持不變，而三角形和梯形的拼組是面積發(fā)生成倍變化的過程。圓面積的推導方法是在前面圖形面積學習的基礎(chǔ)上綜合運用所學方法進行研究的。

在這些圖形面積的學習過程中還滲透著重要的數(shù)學思想，這些數(shù)學思想都是小學階段必須關(guān)注的學科核心素養(yǎng)。如長方形面積學習中要關(guān)注歸納、建模的思想；正方形的面積公式又可以通過長方形面積公式類比而來；平行四邊形、三角形、梯形的面積學習中要關(guān)注轉(zhuǎn)化和類比的數(shù)學思想，同時還要關(guān)注通過觀察比較轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系，進行演繹推理得出公式這一推理的過程，這種演繹推理小學中出現(xiàn)并不多，需要讓學生有條理地表達。在“圓的面積”學習中除了在前面圖形面積中滲透的化歸、推理的思想外，還應該凸顯圓這一圖形所特有的極限思想的滲透。

從上面分析可以看出，圖形的面積這部分內(nèi)容的教學，應該同時關(guān)注學生在數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學思想層面的基礎(chǔ)和經(jīng)驗，總體把握，胸有成竹，以學定教，分塊有序建構(gòu)。

二、 抓住關(guān)鍵，統(tǒng)籌兼顧

（一）基于面積測量進行面積計算教學

面積計算源于面積的測量，面積計算是面積測量的升華。因此在學習面積單位以后，要讓學生用面積單位對一些物體進行面積的測量，一方面加深對面積意義的理解，另一方面積累測量這一數(shù)學活動的經(jīng)驗，經(jīng)歷面積計算的由來。這樣的操作活動要人人參與，留足時間。當學生經(jīng)歷一定量的測量以后，自然而然會進行思考，有沒有更簡單的方法知道被測物體的面積，激發(fā)了學生探索面積計算的欲望，也讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的完整過程。在這一過程中還應該讓學生依據(jù)面積單位進行面積的估計，建立面積觀念，培養(yǎng)實際能力。

（二）以學定教，加強面積推導各種方法間的銜接

雖然平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導所用的數(shù)學思想是一致的，都應用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，即通過剪拼或拼組轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形進行研究，但所用的具體方法是不同的，長方形、正方形的推導方法從測量開始，由平行四邊形完成從測量到剪拼的提升，三角形和梯形學習用拼組的方法進行推導， 看似有序遞進，但有些方法對學生來說還是顯得突然，有難度。特別是三角形面積公式推導中把兩個完全相同的三角形拼組成平行四邊形來進行研究，學生很難想到。筆者曾做過多次前測和試教，在上三角形面積一課時，讓學生用已經(jīng)學過的方法來研究三角形的面積，90%的學生都是通過沿高剪拼來研究，基本不會出現(xiàn)把兩個完全相同的三角形拼組成平行四邊形來研究的情況。細想原因，其實也很正常，前面平行四邊形的剪拼是一種等積變形，雖然形狀變了，但面積沒有發(fā)生變化，學生能夠理解。而把兩個完全相同的三角形拼組成平行四邊形，面積發(fā)生了成倍變化，學生就比較難理解這里的轉(zhuǎn)化。因此需要了解學生的實際，設(shè)計能讓學生自主思考的階梯。筆者提供給學生一個等腰三角形和一個一般三角形，讓學生經(jīng)歷這樣的一次活動。

師：同學們都想到了用這樣的方法（指向板書中的“轉(zhuǎn)化—聯(lián)系—公式”）研究三角形的面積，真的可以嗎？我們試試，打開學具袋，拿出三角形，同桌合作研究。

探究反饋，收集兩份代表作品展示。

師：同學們，老師收集了兩個代表性的作品，他們轉(zhuǎn)化成功了嗎？

生：第一個成功了，第二個沒有成功。

師：那這是誰的作品？介紹一下你是怎么得到的？

生：沿著底邊上的高剪開，然后拼成長方形。

師：哦，你是先剪再拼（剪拼）。

師：這個作品是誰的呀？你也來說說。（生答略）

師：兩位同學的作品，同樣都是沿著高剪開，一個成功，一個沒有成功，這是為什么呀？你說……

生：它是等腰三角形，這個不是等腰三角形。

師：是呀，它是等腰三角形，等腰三角形沿著高剪為什么就能轉(zhuǎn)化成功？（多個學生說）

師：原來像這樣的等腰三角形沿著高剪得到兩個一樣的三角形，就可以拼成我們熟悉的圖形。這個三角形沿著高剪得到的圖形不一樣，所以沒有轉(zhuǎn)化成功。

師：那這個三角形，有什么辦法也可以讓它轉(zhuǎn)化成功呢？

生：再拿一個與它一樣的三角形去拼成學過的圖形。

師：好的，老師這里有一個，你來試試。

師：轉(zhuǎn)化成功了嗎？

師：找兩個一樣的三角形，拼一拼，組成一個學過的圖形。這是我們今天學習的一種新方法——拼組。

這樣的設(shè)計，消除了“拼組”這種方法出現(xiàn)的突然性，突破了教學難點，充分發(fā)揮了學生的主動性，實現(xiàn)了由“剪拼”到“拼組”的提升。

（三）合理使用數(shù)學情境

為了引起學生的學習興趣，教師在進行面積計算教學時也往往會用情境引入。如教學平行四邊形面積計算時，教師經(jīng)常用求平行四邊形的花壇、車位等面積問題來引入，三角形的面積教學時用求紅領(lǐng)巾的面積來引入，這樣的數(shù)學情境效果一般，可有可無。數(shù)學情境應該為促進學生數(shù)學思維而設(shè)計，要支撐學生的思考和聯(lián)想。下面的情境可能會更有效。

教師出示一個長方形和一個平行四邊形。

師：這兩個圖形大家一定認識，從題目中你能獲得哪些數(shù)學信息？

預設(shè)：長方形的長是7cm，寬是5cm；平行四邊形的底是7cm，高是4cm，“鄰邊”的長是5cm。

師：根據(jù)這些信息你會計算它們的面積嗎？誰先來說說長方形的面積應該怎樣算？

預設(shè)：7×5=35（平方厘米）

師：那平行四邊形的面積呢？大膽猜想一下。

預設(shè)：7×4=28（平方厘米）

預設(shè)：7×5=35（平方厘米）

師：同一個平行四邊形卻出現(xiàn)了兩種方法，你想說什么？

師：那就是說至少有一個是錯的。

師：發(fā)現(xiàn)了至少有一個錯，那接下來我們就可以做什么？

預設(shè)：實驗驗證。

這樣的情境引入至少有兩方面的作用，第一，從長方形的面積計算進行遷移，自然會有兩種結(jié)果：一是鄰邊相乘，二是底乘高。這就讓學生形成了思維沖突，究竟孰是孰非，使學生產(chǎn)生進一步研究的欲望；第二，為平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形埋下伏筆（面積不變），也為徹底弄明白長方形與變形后的平行四邊形之間的關(guān)系準備了很好的學習材料（面積變化），理解平行四邊形面積=底×高的本質(zhì)。

（四）注重數(shù)學學科核心素養(yǎng)

面積教學這部分內(nèi)容是培養(yǎng)學生觀察能力、思維能力以及用數(shù)學推理、數(shù)學思想解決問題等數(shù)學核心素養(yǎng)的很好的載體，要充分發(fā)揮這些內(nèi)容在發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)中的作用。

如在平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形之后，在三角形、梯形、圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形之后，都應該充分利用信息技術(shù)手段，引導學生觀察轉(zhuǎn)化前后的圖形之間的聯(lián)系，并進行數(shù)學表達。

在找到轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系之后，引導學生進行規(guī)范的數(shù)學推理。如三角形的面積教學中，可以讓學生規(guī)范地表述：平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，因為平行四邊形的面積等于底×高，也就是三角形的底×高算出了平行四邊形的面積，三角形的面積等于平行四邊形的一半，所以三角形的面積=底×高÷2。

這樣規(guī)范推理和表述為培養(yǎng)學生嚴密的邏輯性和今后繼續(xù)學習演繹推理打下扎實的基礎(chǔ)。

在三角形面積公式的推導過程中，教師要牢牢抓住轉(zhuǎn)化成平行四邊形后，“平行四邊形的面積與原三角形的關(guān)系”這個關(guān)鍵，讓學生進行觀察和分析，突破公式中“÷2”這個難點。

在梯形和圓的面積教學中，學生會綜合運用多種方法進行轉(zhuǎn)化和推導，教師可以按照這樣的程序進行教學。請各小組代表分別介紹自己的方法，按照“怎樣轉(zhuǎn)化” “轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系” “推理得出公式”這樣的程序進行匯報，并請其他學生質(zhì)疑。

學生在獲得數(shù)學知識的同時，在數(shù)學活動經(jīng)驗、數(shù)學研究方法、數(shù)學思想等方面都得到發(fā)展。

（浙江省慈溪市教育局教研室 315300）