潘先韻

摘要：數(shù)學(xué)的抽象性必須以具體的素材為基礎(chǔ)，任何抽象的數(shù)學(xué)概念、命題，甚至數(shù)學(xué)思想和方法都有具體生動的現(xiàn)實原型。本文提出如何在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹具體與抽象相結(jié)合的原則，從學(xué)生的感知出發(fā)，以客觀事實為基礎(chǔ)，從具體到抽象，逐步形成抽象的教學(xué)概念，進而上升為理論，然后用理論再去解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題和生活實際問題。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；具體；抽象

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0018

整個數(shù)學(xué)學(xué)科，是將現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，經(jīng)過抽象概括、符號表示，以純粹的形式進行演算、推理與證明，最后構(gòu)成形式化的體系。數(shù)學(xué)一旦表達成為形式化的思想體系之后，往往會把生動的現(xiàn)實內(nèi)容放在一邊。

數(shù)學(xué)的抽象性應(yīng)該具有層次性和階段性。在把具體事物抽象的過程中，不應(yīng)該掩蓋數(shù)學(xué)抽象的對象——形式化的思想材料，這些材料仍可以溯源于經(jīng)驗世界。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就應(yīng)該從學(xué)生的思維特征、生活實際和數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，在不同的階段施予不同的思維材料，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的層次性和階段性。下面，筆者談?wù)勅绾卧谥新殧?shù)學(xué)教學(xué)中貫徹具體與抽象相結(jié)合的原則的策略。

一、概念教學(xué)的策略

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)從實例引入。數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。多數(shù)數(shù)學(xué)概念是從它們的現(xiàn)實模型中直接抽象出來的，提供實例有助于形成概念。

如函數(shù)概念章節(jié)，可采用如下步驟讓學(xué)生理解函數(shù)的概念：

第一步：讓學(xué)生分別指出下面例子中的變量。以自變量之間的關(guān)系的表達方式：1. 某市2000～2015年的國內(nèi)生產(chǎn)總值（表略）；2. 高速公路上汽車勻速行駛，路程、速度（90km/h）、時間之間的關(guān)系；3. 某市某日24小時氣溫變化圖（圖略）。

第二步：找出上各實例中變量之間關(guān)系的共同本質(zhì)特征。學(xué)生經(jīng)過多次分析比較后可知，一個變量每取一個確定的值，相應(yīng)地另一變量也唯一地確定一個值，是函數(shù)的本質(zhì)屬性。同時，前一個變量取值是有一定范圍的，并不是隨便取的，也是它們共同的本質(zhì)屬性，而變量所代表的實際意義是什么，用什么字母來表示變量等非本質(zhì)屬性。

第三步：抽象、歸納、概括出函數(shù)定義，并通過練習(xí)加以鞏固。

再如，在教學(xué)中，可以以學(xué)生熟悉的事情為現(xiàn)實模型，使學(xué)生有一個感性認(rèn)識，然后分析、抽象、引申、歸納出該事物的本質(zhì)屬性，推廣到一般，最終概括出數(shù)學(xué)概念。

例如，古典概型的概念的過程中，引入三個隨機試驗進行比較：

試驗一：在班級中上隨機抽取學(xué)號，叫同學(xué)回答問題；

試驗二：在草稿紙上隨意點一下（假設(shè)筆跡是一個點，且筆點的任一位置是等可能的）；

試驗三：玩飛鏢游戲時，飛鏢投中的環(huán)數(shù)。

通過試驗一和試驗二的比較分析，兩個試驗的共同特質(zhì)是試驗每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的；通過試驗一和試驗三的比較，兩個試驗的共同特質(zhì)是試驗的一切可能的結(jié)果是有限的。引導(dǎo)歸納出，只有試驗一同時具備了，每個結(jié)果發(fā)生的可能性相當(dāng)和一切可能的結(jié)果是有限的這兩個特征。從而抽象出古典概型的概念——“隨機試驗一切可能的結(jié)果是有限的且每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的，這樣的隨機試驗叫做古典概型”。

通過多次重復(fù)這一過程，學(xué)生逐漸掌握了如何選取實例，如何概括一般性理論和如何培養(yǎng)研究實際問題的能力，這樣也就掌握了這一數(shù)學(xué)概念的形成方法。

二、定理（公式、法則）教學(xué)的策略

數(shù)學(xué)定理（公式、法則）的教學(xué)策略要提供現(xiàn)實原型或從特例引入。

數(shù)學(xué)定理是從現(xiàn)實世界的空間和數(shù)量關(guān)系中抽象出來的，一般來說在現(xiàn)實世界中總能找到它們的原型。如“三腳架能穩(wěn)固地放在地面上”就是定理“不共線的三點確定一個平面”的一個現(xiàn)實原型，提供定理的現(xiàn)實原型有助于學(xué)生對定理的初步理解。

例如，中職數(shù)學(xué)教材講等差數(shù)列的求和公式時，引入200多年前高斯求1+2+3+……+100=？的過程：

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050

而（1+100）/2=（2+99）/2=……=（50+51）/2，則

1+2+3+……+100=（50+51）/2×100=5050

由上述過程可以得到如下啟示：1. 等差數(shù)求和可先求數(shù)列的平均數(shù)，再用平均數(shù)乘數(shù)列的項數(shù)得和；2. 等差數(shù)列的首尾兩項之和等于第二項與倒數(shù)第二項的和，等于第三項與倒數(shù)第三項的和……等于中間兩項的和或中間一項的兩倍，因此，等差數(shù)列的平均數(shù)就等于中間那一項的值，或中間兩項的平均數(shù)，或首尾兩項的平均數(shù)，或……由此可推測等差數(shù)列前n項和的公式為，最后再加以論證即可。

這樣做有以下幾點好處：（1）引入數(shù)學(xué)史典故易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；（2）有助于記住公式。當(dāng)要用到等差數(shù)列求和公式時，只要聯(lián)想到上連過程，就可以回憶起公式；（3）使等差數(shù)列求和公式所包含的“道理”更加明了，有助于學(xué)生靈活運用。

三、解題教學(xué)的策略

解題教學(xué)時要培養(yǎng)學(xué)生具體問題具體分析，用具體的方法解決問題的能力。作為學(xué)生掌握知識的過程來說，僅僅由具體到抽象，由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識是不夠的，為了加深對知識的理解，還需要把所學(xué)的知識運用到同類問題中，從而檢驗和深化抽象的理論，并且從中學(xué)到必要的技能和技巧。所以，為了讓學(xué)生真正掌握所學(xué)的知識，教師必須依據(jù)教材的要求，向?qū)W生提出一些問題，或是布置一些習(xí)題作業(yè)，使學(xué)生依據(jù)所學(xué)概念定理和法則等知識，或是去辨認(rèn)同類的有關(guān)事物，或是去解決、說明同類事物的有關(guān)現(xiàn)象，或是去完成相應(yīng)的操作等。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生解題是相當(dāng)重要的，它一方面可以看作抽象知識的具體化過程，另一方面，通過解題又學(xué)到一些新的知識、技能和方法，從某種意義上來說又是由具體到抽象的過程。

解題的教學(xué)也是抽象到具體的一種體現(xiàn)，在解題的教學(xué)中我們需要注意以下五個方面：

1. 要注意選題的目的性（不是依據(jù)興趣和愛好）。2. 注意它們系統(tǒng)性的安排，由易到難、由簡單到復(fù)雜、由單一到綜合。3. 注意把講授的重點放在探索解題的途徑上。4. 注意與必要的理論知識聯(lián)系。5. 注意做必要的小結(jié)，把具體的題目能提到“一般性”的高度來認(rèn)識。

所以，首先要引導(dǎo)學(xué)生從問題本身已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，去尋找問題的解決辦法，而不要過早地將問題進行分類，避免學(xué)生只會生搬硬套公式、定理和模仿例題進行解題，把解題過程、解題步驟作為學(xué)習(xí)的重點。

總之，抽象性與具體性相結(jié)合的原則，即具體——抽象——具體的原則，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用是很廣泛的。雖然理解數(shù)學(xué)的抽象性是一項基本要求，但不能只限于抽象的表達，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在抽象化的海洋里。因此，具體與抽象相結(jié)合的原則對教學(xué)過程的安排起著特別重要的作用。

參考文獻：

[1] 曹才翰.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[2] 朱湘花.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力的幾點思考[J].當(dāng)代教育論壇，2007（11）.

（作者單位：浙江省溫州第二職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 325000）