李仲名

一、問(wèn)題的提出

平面解析幾何（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“解幾”）是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，高考中解幾的得分常常不盡如人意。學(xué)生普遍認(rèn)為解幾難，難在繁瑣的運(yùn)算。因此，提高解幾的得分，運(yùn)算能力是關(guān)鍵。筆者對(duì)此做了一些有益的探索。

二、對(duì)運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)

一些師生認(rèn)為運(yùn)算能力就是“死算”的能力，這樣的理解是片面的。筆者認(rèn)為：運(yùn)算能力是“想”指導(dǎo)下的“算”；既檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)水平，又考驗(yàn)他們的心理和意志。算，包含了算法、算理、策略，需要思考和甄別。不合理的算法導(dǎo)致繁瑣，不能直擊量與量之間的聯(lián)系，最終很容易放棄。因此，學(xué)生的運(yùn)算能力，最終取決于學(xué)生的思維能力。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

1.提高認(rèn)識(shí)

提高學(xué)生的運(yùn)算能力，就要對(duì)解幾的計(jì)算有正確的認(rèn)識(shí)：解幾是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，運(yùn)算是不可避免的，出現(xiàn)一些復(fù)雜運(yùn)算也很經(jīng)常，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是解幾教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。算是我們學(xué)科教學(xué)的要求，也是我們學(xué)生應(yīng)具備的一種能力，因此，要讓學(xué)生明白：不能怕算，要重視算。

2.重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的復(fù)習(xí)

提高學(xué)生的運(yùn)算能力，著眼點(diǎn)還是要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法。融會(huì)貫通了，才能為我們尋求合理簡(jiǎn)單的解法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。例如：2011年江蘇高考第（18）題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為P，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k。

①當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；

②當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

③對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB。

本題的第③問(wèn)意味深長(zhǎng)，給了不同層次學(xué)生以不同的發(fā)揮空間。如果學(xué)生設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由于點(diǎn)C是點(diǎn)P在x軸上的投影，因此，點(diǎn)C的坐標(biāo)已知，從而直線AB的方程可得，用直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，可將點(diǎn)B的坐標(biāo)計(jì)算出，從而可以證得kPA·kPB=-1，得到PA⊥PB。這一思路看似簡(jiǎn)單自然，但由于運(yùn)算量很大，能夠證得結(jié)果的學(xué)生少之又少。如果我們的學(xué)生能夠充分利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性，挖掘圖形的幾何特征，再利用“點(diǎn)差法”這種解決直線與橢圓的基本方法，就能很輕松地化解繁瑣運(yùn)算，獲得問(wèn)題的簡(jiǎn)捷解法。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），A，B中點(diǎn)N（x0，y0）則P（-x1，-y），C（-x1，0）

∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴===kAB又因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，∴=1，兩式相減得：，

∴kONkPA==-×2kAB=-1，∵ON∥PB，∴PA⊥PB

解幾是代數(shù)與幾何的結(jié)合體，既要重視代數(shù)的運(yùn)算與推理，又要關(guān)注幾何性質(zhì)的應(yīng)用。既要重視“死算”，又要重視“巧算”。但不管怎么算，都要以基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法為依托。因此，重視基礎(chǔ)，打好基礎(chǔ)，是提高解幾運(yùn)算能力的關(guān)鍵。

3.巧代換，妙轉(zhuǎn)化

運(yùn)算能力強(qiáng)不強(qiáng)，主要看學(xué)生對(duì)字母的運(yùn)算，特別是涉及多元變量運(yùn)算問(wèn)題的處理和應(yīng)變能力，能否化繁為簡(jiǎn)成為關(guān)鍵。我們看2012年的江蘇高考第（19）題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)1（c，0）。已知（1，e）和（e，）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率。

①求橢圓的離心率；

②設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P。

（i）若AF1-BF2=，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值。

重點(diǎn)分析（i）若AF1-BF2=，求直線AF1的斜率；

解析：由①知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）又因?yàn)橹本€AF1與BF2平行，所以可設(shè)直線AF1的方程為x+1=my，直線BF2的方程為x-1=my.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.由+y21=1x1+1=my1，得（m2+2）y21-2my1-1=0，解得y1=故AF1=①同理，BF2=②由①②得AF1-BF2=，解=得m2=2，注意到m>0，故m=，所以直線AF1的斜率為。

以上解法中，我們?cè)谟?jì)算出左焦半徑AF1后，沒(méi)有重復(fù)解方程組求右焦半徑BF2，而是用-m代換①式中的m，即為右焦半徑的BF2長(zhǎng)，代換思想的產(chǎn)生，取決于學(xué)生對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用。當(dāng)然，如果學(xué)生能夠延長(zhǎng)AF1交橢圓于點(diǎn)B1，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：線段BF2=B1F1將兩條焦半徑變成一條過(guò)右焦點(diǎn)的弦。利用焦半徑公式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ex1-x2=，再利用韋達(dá)定理，問(wèn)題很快獲解。巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，避免了求交點(diǎn)坐標(biāo)，從而減少了大量的繁瑣運(yùn)算。對(duì)理科學(xué)生，還可以通過(guò)建立極坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，其中e，p為常數(shù)，解出cosθ，得到tanθ即為斜率。因此，巧妙代換，合理轉(zhuǎn)化，也是提高學(xué)生運(yùn)算能力的重要思想與途徑。

4.復(fù)習(xí)建議

在解幾的復(fù)習(xí)課上，要多給學(xué)生時(shí)間和空間，讓學(xué)生多動(dòng)筆，多思考，親身經(jīng)歷求解過(guò)程。不要出現(xiàn)老師代替學(xué)生運(yùn)算的現(xiàn)象。我們發(fā)現(xiàn)，解幾復(fù)習(xí)課中，老師為了趕進(jìn)度，往往分析一下解題的思路就把答案報(bào)給學(xué)生，這就是典型的老師代替學(xué)生運(yùn)算的現(xiàn)象；加強(qiáng)算法、算理以及運(yùn)算策略的指導(dǎo)，提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力；重視代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)，要注意對(duì)幾何性質(zhì)的挖掘，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的；加強(qiáng)考試心理指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生意志品質(zhì)。

總之，只要我們提高認(rèn)識(shí)，打好基礎(chǔ)，重視策略，學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)與提升就指日可待。