閔小梅

[摘要]對(duì)通性通法的教學(xué)進(jìn)行反思，在指出某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)反思其本質(zhì)，以便學(xué)生理解并能靈活運(yùn)用，從而打造高效課堂。

[關(guān)鍵詞]通性通法；裂項(xiàng)相消；求和；高效課堂

通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法。這種具有普遍意義的解題方法，是數(shù)學(xué)方法的主流，也是高考中的重要考查點(diǎn)。而想要打造高效課堂，我們也必須從通性通法抓起。作為教師，我們當(dāng)然會(huì)注重通性通法的教學(xué)，在見到某種常規(guī)題型時(shí)一定會(huì)給出常規(guī)思路、方法，學(xué)生見多了、聽多了、做多了，也就條件反射式的接受了這些通性通法，只要符合形式就會(huì)套、搬，但一旦形式稍作修改，學(xué)生就會(huì)無所適從，明知是符合某種規(guī)律，卻怎么也套不出。這時(shí)，我們的“高效”課堂就變成了“無效”課堂。

例 （江門市2015屆普通高中高三調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)第17題）

已知{an}是等差數(shù)列，a2=3，a3=5。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)一切正整數(shù)n，設(shè)bn=（-1）nnan·an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

解 （1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d=2n-1（過程略）。

（2）由（1）得an+1=2n+1，bn=（-1）nnan·an+1=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

n>1時(shí)，Sn=b1+b2+…+bn=14-1-13+13+15+…+（-1）n2n-1+（-1）n2n+1

=14[-1+（-1）n2n+1]=（-1）n-2n-14（2n+1）。

n=1時(shí)，S1=b1=-13也符合上式，∴n∈N*，Sn=（-1）n-2n-14（2n+1）。

在本題第（2）問中，主要考查數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法，很多學(xué)生能觀察到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）與我們平常做過的bn=1（2n-1）（2n+1）類型相似，所以首先想到的也是裂項(xiàng)相消求和，但大部分學(xué)生卻怎么都裂不出。為何如此呢？我們不妨先回顧一下數(shù)列中裂項(xiàng)相消求和的幾種常見類型：

（1）1[]n n+k=1[]k1[]n-1[]n+k；

（2）1[]n+k+n=1[]k（n+k-n）；

（3）1[]2n-1 2n+1=1[]21[]2n-1-1[]2n+1。

在這些裂項(xiàng)中，其特點(diǎn)都是裂成兩項(xiàng)相減的形式，而在上例中，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)最終要裂成兩項(xiàng)相加的形式，盡管學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)相消求和的常見類型很熟悉，但沒遇到過上例形式，大部分學(xué)生對(duì)此題就只能觀之而無從下手了。

原因只是學(xué)生學(xué)得不夠靈活，不能做到舉一反三嗎？其實(shí)不然，反思我們的教學(xué)，數(shù)列中“裂項(xiàng)相消求和”是通性通法，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)想必大多數(shù)老師在經(jīng)過簡(jiǎn)單的舉例求證后相應(yīng)的就給出了一般規(guī)律，而且這個(gè)規(guī)律對(duì)學(xué)生來說也很容易求證得到。反觀上例，也是典型的裂項(xiàng)相消法，為何我們的學(xué)生做不出來呢？再反思“裂項(xiàng)相消求和”這種通性通法，對(duì)上面幾種常見的類型人人都知道可以裂項(xiàng)，都知道可以裂成這樣，那為什么可以裂成這樣？我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)有沒有反思過這種通性通法的本質(zhì)是什么呢？

經(jīng)過反思總結(jié)，我們不難發(fā)現(xiàn)，“裂項(xiàng)” 這種通性通法的本質(zhì)其實(shí)也就是一個(gè)“待定系數(shù)法”。如在bn=1（2n-1）（2n+1）裂項(xiàng)時(shí)，不妨令bn=A2n-1-B2n+1，通過通分還原可以得到bn=A2n-1-B2n+1=2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系數(shù)法可得A-B=0A+B=1，解得A=B=12，于是就得到bn=1（2n-1）（2n+1）=1212n-1-12n+1。其他裂項(xiàng)亦是如此。

再回到上例bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）中，不妨令bn=（-1）nA2n-1-B2n+1，通過通分還原可以得到bn=（-1）nA2n-1-B2n+1=（-1）n·2（A-B）n+（A+B）（2n-1）（2n+1），由待定系數(shù)法可得2（A-B）=1A+B=0，解得A=14B=-14，于是就得到bn=（-1）nn（2n-1）（2n+1）=14（-1）n2n-1+（-1）n2n+1。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的宗旨是教會(huì)年輕人思考，他說掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題，他把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。事實(shí)上，學(xué)生解題能力的好壞從某種角度上來說也體現(xiàn)了我們的課堂教學(xué)是否高效，所以我們要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，打造高效課堂，也不妨試試多反思一下通性通法的教學(xué)。