崔國蓮

【摘 要】數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、邏輯性與廣泛的適用性，對(duì)能力的要求較高，數(shù)學(xué)能力只有在數(shù)學(xué)思想方法不斷地運(yùn)用中才能培養(yǎng)和提高。所以在教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中教師應(yīng)注意這些方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 解題思想 解題方法

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.04.090

數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新思維能力的重任，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須對(duì)此予以重視，教授學(xué)生正確的解題思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像求參數(shù)的取值范圍；構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究方程根的范圍；構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究量與量之間的大小關(guān)系；構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。下面以數(shù)形結(jié)合求根的個(gè)數(shù)為例分析：

若方程f（x）=x+a有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） 。

思路分析：畫出f（x）的圖像→畫出y=x的圖像→將y=x的圖像進(jìn)行平移即可。

二、函數(shù)與方程

函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等。方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。

方程的教學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題，方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；解不等式f（x）>0（或f（x）<0），就是求函數(shù)y=f（x）的正負(fù)區(qū)間；再如方程f（x）=g（x）的交點(diǎn)問題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）-g（x）與x軸交點(diǎn)問題；方程f（x）=a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f（x）的值域。函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化思維方式在高中數(shù)學(xué)中十分重要。下面通過例題分析高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的具體體現(xiàn)：

例：若a，b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍。

思路分析：方法一：用a表示b→根據(jù)b>0，求a的范圍→把a(bǔ)b看作a的函數(shù)→求此函數(shù)的值域。

方法二：利用基本不等式 ： 轉(zhuǎn)化成求不等式的解集。

方法三：設(shè)ab=t，則a+b=t-3，所以a，b可看成方程X2-（t-3）x+t=0的兩個(gè)正根。

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種手段和方法?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化，模式化，以便應(yīng)用已知的理論，方法和技巧達(dá)到問題的解決。在化歸思維過程中，我們對(duì)原來問題中的條件進(jìn)行了簡化，分化，轉(zhuǎn)化，特殊化的變形，最后將原問題歸結(jié)為簡單的，熟悉的問題而得到解決。因此，我們化歸的方向應(yīng)該是由未知到已知，由難到易，由繁到簡。在化歸與轉(zhuǎn)化的過程中要遵從目標(biāo)簡單化原則、和諧統(tǒng)一性原則、具體化原則、低層次原則、正難則反原則五個(gè)原則。而化歸與轉(zhuǎn)化的方法主要包括直接轉(zhuǎn)化法、換元法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法、類比法、特殊化方法、等價(jià)問題法、加強(qiáng)命題法、補(bǔ)集法等。以補(bǔ)集法和等價(jià)問題法為例分析化歸與轉(zhuǎn)化思想。

例：若不等式x2-ax+1≥0對(duì)于一切x∈（0，2）恒成立，則a的取值范圍為（ ）。

思路分析：利用分離參數(shù)求解，注意應(yīng)用基本不等式。

四、分類與討論思想

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：

①問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分三種a>0，a=0，a<0。這種分類討論題型可以稱為概念型。②問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制。如等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。③解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0，a=0，a<0三種情況討論。這稱為含參型。

進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。以③的分類討論為例分析分類討論在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)：

例：（2013·天津模擬）已知函數(shù)f（x）=1nx-a2X2+ax（a∈R），求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值。

思路分析：求f（x），根據(jù)求單調(diào)區(qū)間與極值的步驟求解；關(guān)注點(diǎn)：f（x）中含參數(shù)a，需對(duì)a分類討論。

總之，學(xué)生由初中升入高中，是他們學(xué)習(xí)生活的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，教師要分析清楚學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的原因，抓好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的銜接，使學(xué)生盡快適應(yīng)新的學(xué)習(xí)模式，從而更高效、更順利地接受新知和發(fā)展能力。

參考文獻(xiàn)

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