楊松

摘 要： “變式”是中國(guó)傳統(tǒng)而有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和技能的形成有很大幫助。本文從變式理論角度探究初中數(shù)學(xué)過(guò)程性變式教學(xué)，探索變式教學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)者的影響，了解過(guò)程性變式教學(xué)的適用范圍，精心設(shè)計(jì)變式題，使數(shù)學(xué)中過(guò)程性變式的功能得到最大限度的發(fā)揮。

關(guān)鍵詞： 變式教學(xué) 過(guò)程性變式 教學(xué)問(wèn)題

一、過(guò)程性變式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的界定

變式分為概念性變式和過(guò)程性變式。過(guò)程性變式的含義是在指數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)有層次的推進(jìn)，使學(xué)生逐步形成概念、推演命題或解決問(wèn)題，形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這種教學(xué)方式并不是一種“機(jī)械訓(xùn)練”，而是促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)的教學(xué)手段。概念性變式關(guān)注的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象靜態(tài)的、整體的、相對(duì)穩(wěn)定的內(nèi)涵與外延特征，而過(guò)程性變式關(guān)注的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象動(dòng)態(tài)的、內(nèi)在的、層次性遞進(jìn)的過(guò)程。

二、過(guò)程性變式的理論基礎(chǔ)

（一）腳手架理論。

伍德等人曾用“腳手架”一詞描述小孩成人指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。布魯納將該理論應(yīng)用于教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)教師要搭建適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，以促進(jìn)學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”。過(guò)程性變式教學(xué)中的鋪墊策略強(qiáng)調(diào)有層次地搭建適當(dāng)臺(tái)階，幫助學(xué)生化解難點(diǎn)，逐步解決問(wèn)題。

（二）建構(gòu)主義理論。

建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教學(xué)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者的主動(dòng)建構(gòu)，而不是被動(dòng)接受。過(guò)程性變式教學(xué)重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，把教學(xué)作為一個(gè)活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)體驗(yàn)、探索，擴(kuò)充原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（三）加涅的教學(xué)序列觀點(diǎn)。

加涅的教學(xué)序列觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)教學(xué)設(shè)計(jì)上要求：一是確定各分任務(wù)；二是保證各分任務(wù)的完成；三是設(shè)計(jì)一個(gè)完成任務(wù)的順序。這與過(guò)程性變式教學(xué)中有層次地推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的觀點(diǎn)不謀而合。

三、過(guò)程性變式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

通過(guò)過(guò)程性變式教學(xué)，使學(xué)生掌握知識(shí)的來(lái)龍去脈，在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲取活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步形成形式運(yùn)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。我從以下三方面談?wù)勥^(guò)程性變式在教學(xué)中的應(yīng)用。

（一）變式創(chuàng)設(shè)情境，體現(xiàn)概念的形成。

每個(gè)概念都有一個(gè)形成的過(guò)程，教師不能簡(jiǎn)單地將教材知識(shí)“復(fù)制”后再“粘貼”到學(xué)生頭腦中，而應(yīng)在具體問(wèn)題中導(dǎo)入情境，逐步轉(zhuǎn)化為抽象概念，這有助于概念的掌握。例如，常量和變量在一個(gè)過(guò)程中是相對(duì)存在的，學(xué)生較難理解。我在教學(xué)中圍繞行程問(wèn)題舉三個(gè)例子：晚飯后小明和媽媽去散步，（1）如果他們勻速步行，速度V是常量，時(shí)間T和路程S是變量；（2）如果他們從家到學(xué)校，路程S是常量，速度V和時(shí)間T是變量；（3）如果他們步行30分鐘，時(shí)間T是常量，路程S和速度V是變量。通過(guò)這些例子，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地看問(wèn)題。

（二）變式鋪墊，解決問(wèn)題。

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一條基本思路是“將未知問(wèn)題化為已知問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題”。但由于學(xué)生對(duì)未知問(wèn)題的化歸經(jīng)驗(yàn)和能力有限，需要設(shè)置一系列過(guò)程性變式在已知和未知之間適當(dāng)鋪墊，作為化歸臺(tái)階。例如，等腰三角形判定定理的證明思路不易形成，我做如下啟發(fā)：（1）已知什么？需要求證的結(jié)論是什么？（2）要證明兩條邊相等，我們已經(jīng)有了哪些經(jīng)驗(yàn)？（3）為了構(gòu)造以AB、AC為對(duì)應(yīng)邊的兩個(gè)三角形全等，可怎樣添輔助線？（4）作頂角的平分線AD能說(shuō)明兩個(gè)三角形全等嗎？根據(jù)什么？在實(shí)際教學(xué)中，將復(fù)雜問(wèn)題分解成一個(gè)個(gè)有序的問(wèn)題串，即通過(guò)變式鋪墊，幫助學(xué)生有層次地解決復(fù)雜問(wèn)題。這隱含了加涅的序列教學(xué)觀點(diǎn)和“腳手架”教學(xué)觀。

（三）變式拓展，形成經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。

無(wú)論是關(guān)注概念的形成，還是鋪設(shè)臺(tái)階解決問(wèn)題，都是通過(guò)體驗(yàn)參與和有層次推進(jìn)形成經(jīng)驗(yàn)，不斷豐富學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)。其中，豐富有效的經(jīng)驗(yàn)對(duì)于認(rèn)知系統(tǒng)的完善非常重要。變式活動(dòng)是豐富學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的有效途徑，我們可以在教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)常提供以下機(jī)會(huì)豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

1.一題多變

一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目的實(shí)質(zhì)不變，以便從不同角度、不同方面揭示題目的本質(zhì)，用這種方式進(jìn)行教學(xué)，能使學(xué)生隨時(shí)根據(jù)變化的情況積極思考，探索解決問(wèn)題的辦法，培養(yǎng)思維的靈活性。一題多變可以改變條件，保留結(jié)論；也可以保留條件，改變結(jié)論；或者同時(shí)改變條件和結(jié)論；也可以將某項(xiàng)條件與結(jié)論對(duì)換，等等。

例如：已知：C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM和△CBN為等邊三角形，求證：AN=BM.

探索一：設(shè)CM、CN分別交AN、BM于P、Q，AN、BM交于點(diǎn)R。問(wèn)此題中還有其他的邊相等及特殊角、特殊圖形嗎？請(qǐng)給予證明。

探索二：△ACM和△BCN如在AB兩旁，其他條件不變，AN=BM成立嗎？

探索三：△ACM和△BCN分別為以AC、BC為底且頂角相等的等腰三角形，其他條件不變，AN=BM成立嗎？

探索四：A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，其他條件不變，AN=BM成立嗎？

探索五：A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，△ACM和△BCN分別變?yōu)檎叫蜛CME和正方形BCNF，其他條件不變，AN=BM成立嗎？這樣教學(xué)，不僅提高了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，而且發(fā)展了學(xué)生的求異思維。

2.一題多解

一題多解是對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在一定的知識(shí)和能力范圍內(nèi)給出不同的解決方法。這種變式的目的不是展示有多少種解題途徑，而是發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)好的思維品質(zhì)。這種變式教師平常使用較多，不再列舉。

3.一法多用

一法多用指同一解題方法被用于包含不同知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題的解決。這里的“法”是指具體的解題方法，而不是數(shù)學(xué)思想方法。以下習(xí)題屬于不同知識(shí)點(diǎn)，但解法相同。例如：（1）已知線段AF上有B、C、D、E四個(gè)點(diǎn)，圖中共有幾條線段？（2）在∠AOF的內(nèi)部引射線0B、OC、OD、OE，圖中共有幾個(gè)角？（0°<∠AOF<180°）（3）n條直線兩兩相交最多有幾個(gè)交點(diǎn)？（4）凸n邊形共有幾條對(duì)角線？（5）參加研討會(huì)的每個(gè)人見(jiàn)面時(shí)都要其他人握一次手，一共28次，那么有多少人參加會(huì)議？

四、如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式能力

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞形象地指出：“好問(wèn)題同種蘑菇類似，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)?！苯處熍囵B(yǎng)學(xué)生思考、解決問(wèn)題的目的是培養(yǎng)探索解決問(wèn)題途徑的能力和探索新事物的學(xué)習(xí)精神，那么如何培養(yǎng)學(xué)生針對(duì)舊問(wèn)題而提出新問(wèn)題（問(wèn)題變式）的能力，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐從以下方面進(jìn)行闡述。

（一）夯實(shí)基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念（定義、定理、性質(zhì)、公式、法則）是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、產(chǎn)生新問(wèn)題的起點(diǎn)。要從知識(shí)發(fā)生的過(guò)程和學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，不是將公式簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生，而是通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)類比、歸納、猜想得出結(jié)論并進(jìn)行論證。

案例求證：順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：求證：順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式2：求證：順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。

變式3：求證：順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

變式4：順次連接什么四邊形中點(diǎn)得到平行四邊形？

變式5：順次連接什么四邊形中點(diǎn)得到矩形？

變式6：順次連接什么四邊形中點(diǎn)得到菱形等？

通過(guò)這樣一系列變式，學(xué)生能充分掌握四邊形的基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，強(qiáng)化溝通常見(jiàn)特殊四邊形的性質(zhì)和判定定理、三角形中位線定理等，拓展解題思路，激發(fā)興趣。

（二）推陳出新，發(fā)展思維。

扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是形成創(chuàng)新意識(shí)的前提，教學(xué)中要使學(xué)生把握知識(shí)的產(chǎn)生“過(guò)程”，學(xué)生在具體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中表現(xiàn)出的基本特征是：流暢性，即能在短時(shí)間內(nèi)表達(dá)較多的概念；變通性，即舉一反三，觸類旁通，能提出超常的設(shè)想或新觀點(diǎn)；獨(dú)創(chuàng)性，即對(duì)事物的處理或判斷表現(xiàn)出獨(dú)特的見(jiàn)解，推陳出新。

（三）掌握規(guī)律，形成技能。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式以問(wèn)題為基礎(chǔ)，與學(xué)生的思維水平相適應(yīng)，對(duì)學(xué)生的思維素質(zhì)要求較高，但仍有一定的方法技巧可循。要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的思維水平，運(yùn)用已掌握的知識(shí)，把碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的或容易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變中求解，解中求變。

（四）數(shù)學(xué)問(wèn)題變式設(shè)計(jì)應(yīng)注意的問(wèn)題。

根據(jù)教學(xué)需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)變式。其目的是通過(guò)變式訓(xùn)練，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為能力和技巧，完成“應(yīng)用—理解—形成技能—培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過(guò)程。因此，數(shù)學(xué)變式設(shè)計(jì)要巧，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：1、差異性。要強(qiáng)調(diào)一個(gè)“變”字，避免簡(jiǎn)單重復(fù)。變式的題組之間有明顯的差異，學(xué)生既熟悉又新鮮，做到變中求“活”、求“新”、求“異”、求“廣”。2.層次性。變式要有一定的難度才能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。變式要由易到難，層層遞進(jìn)，讓問(wèn)題處于學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”。3.開(kāi)闊性。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式要內(nèi)涵豐富，給學(xué)生留下充足的思維空間，，所選范例注意知識(shí)的橫向聯(lián)系和延伸性。4.靈活性。問(wèn)題變式訓(xùn)練的方式要靈活多樣，學(xué)生獨(dú)立練習(xí)和教師啟發(fā)引導(dǎo)相結(jié)合。同時(shí)，一個(gè)題目的變式有時(shí)可分幾次完成，充分展現(xiàn)知識(shí)螺旋上升的方式。

總之，適當(dāng)利用變式教學(xué)，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成、能力的提高帶來(lái)意想不到的效果，同時(shí)它也是新課程背景下“輕負(fù)高質(zhì)”課堂教學(xué)的一種很好的教學(xué)手段。

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