王來波

【摘 要】從規(guī)律學(xué)習(xí)的角度，對(duì)“雞兔同籠問題”進(jìn)行深入思考，發(fā)現(xiàn)其核心是“調(diào)整替換”，“雞兔同籠問題”是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、變化的規(guī)律。文章在遵循規(guī)律學(xué)習(xí)路徑的基礎(chǔ)上展開教學(xué)，將“雞兔同籠問題”中的3種方法與規(guī)律學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，促使學(xué)生有效建模。

【關(guān)鍵詞】規(guī)律學(xué)習(xí)；雞兔同籠；調(diào)整替換

中圖分類號(hào)：G623.56 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2016）18-0092-03

“雞兔同籠問題”是我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)趣題，其解法之多、思想之廣、變式之靈活是眾所皆知的。正因?yàn)槿绱耍@節(jié)課的教學(xué)方式豐富多彩，在名師展示的舞臺(tái)上更演繹出多種方法，有的側(cè)重于畫圖，認(rèn)為這是最直觀、最容易理解的方法；有的側(cè)重于列表，認(rèn)為學(xué)生有列表的經(jīng)驗(yàn)；有的側(cè)重于假設(shè)，認(rèn)為假設(shè)法書寫簡潔方便。如今，該內(nèi)容已經(jīng)出現(xiàn)在新版四年級(jí)數(shù)學(xué)教材中，而且將方程的解法置之度外，其難度可想而知。那么，這節(jié)課如何教學(xué)呢？

筆者認(rèn)為，“雞兔同籠問題”看似是3種不同的方法，但其本質(zhì)都是“調(diào)整替換”。追尋本源發(fā)現(xiàn)，“雞兔同籠問題”中隨著雞的數(shù)量逐一增加，雞和兔腳的總數(shù)按2只遞減。正是由于這一基本變化規(guī)律，很容易得出結(jié)論：如果腳減少2只，應(yīng)該將1只兔換成1只雞。反之，腳增加2只，應(yīng)該將1只雞換成1只兔。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探索規(guī)律是讓學(xué)生在給定的事物中發(fā)現(xiàn)、探求隱含的規(guī)律或變化趨勢，而“雞兔同籠問題”就是要通過畫圖、列表、算式等方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“初步感知規(guī)律、發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律”這樣的過程，因而本節(jié)課的教學(xué)實(shí)質(zhì)是規(guī)律教學(xué)，應(yīng)該納入規(guī)律教學(xué)的范疇，需要走規(guī)律教學(xué)的路徑，其3種方法的教學(xué)缺一不可。

一、畫圖法——初步感知規(guī)律

規(guī)律是指事物之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，是客觀存在的，不以人們的意志為轉(zhuǎn)移。找規(guī)律重在“找”，學(xué)生通過自主探索、動(dòng)手操作來感知內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)“雞兔同籠問題”時(shí)，可用畫圖法來“找”規(guī)律、感知規(guī)律，這是規(guī)律教學(xué)的著力點(diǎn)。教學(xué)前，筆者先進(jìn)行前測。前測題如下：

1. 雞兔同籠，從上面看共有3個(gè)頭，從下面看共有16條腿，雞、兔有幾只？

2. 雞兔同籠，從上面看共有8個(gè)頭，從下面看共有26條腿，雞、兔各有幾只？

據(jù)統(tǒng)計(jì)，一共收到52份前測卷，用畫圖解決的有35人，列算式的3人，列表的1人。第一題做對(duì)36人，第二題做對(duì)28人。顯然，畫圖是學(xué)生最喜歡用的方法，正因?yàn)閷W(xué)生有這樣的經(jīng)驗(yàn)，為“雞兔同籠”的規(guī)律教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。雖然學(xué)生呈現(xiàn)的靜態(tài)圖一樣（見圖1），但在畫的過程中想法是不一樣的。筆者訪談了幾位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的方法不一：有的毫無計(jì)劃性，雞畫幾只，兔畫幾只，最后調(diào)整；有的對(duì)半分開畫，先畫雞兔各半，再調(diào)整；還有的先全部畫雞，多出來的腿按2條一組添上去變成兔。雖然學(xué)生畫的方法不一樣，但他們都經(jīng)歷了“調(diào)整替換”的過程。畫圖是最直觀的解題方法，旨在通過畫圖中的有序思考發(fā)現(xiàn)、形成規(guī)律，并嫁接起列表法、假設(shè)法，教師必須放慢腳步，讓學(xué)生都來講講自己的畫法，在聆聽別人有序思考的基礎(chǔ)上初步感知規(guī)律，提升思維品質(zhì)。

【教學(xué)片斷】

師：畫出來的結(jié)果都是這樣的，可畫的過程不一樣。

（畫法1：全是雞，一生畫并講解。）

師：再加2條腿，這只雞發(fā)生了什么變化？

（畫法2：全部是兔，或者是4只雞、1只兔）讓學(xué)生選擇一種喜歡的畫法，與同桌交流。

師：其實(shí)，還有很多畫法，有的學(xué)生直接畫成2只雞、3只兔，或者3只雞、2只兔，腿數(shù)不對(duì)再調(diào)整。像這樣的畫法就是先假設(shè)再調(diào)整，有的學(xué)生一次性替換，也有的逐只替換。

通過對(duì)前測中學(xué)生不同畫法的交流，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“雞兔同籠問題”的內(nèi)在規(guī)律已經(jīng)有了初步感知，替換一次多（少）2條腿。教師不能只教會(huì)學(xué)生一道題的解題思路和方法，而是要通過一道題類推到一類題，做到舉一反三、觸類旁通，幫助學(xué)生建立“雞兔同籠問題”的模型。例如，學(xué)生熟悉的摩托車和小汽車問題、龜鶴問題等，都與雞兔問題模型完全一致，能夠使學(xué)生很好地建立起聯(lián)系。此外，讓學(xué)生通過畫圖感知“相差數(shù)都是2”，所以，調(diào)整替換的時(shí)候是2條腿。當(dāng)變式“相差數(shù)是1”時(shí)，學(xué)生理解就有困難。筆者特意在解決摩托車和小汽車問題后設(shè)置三輪車和小汽車的問題，讓學(xué)生先畫一畫，充分感知“相差數(shù)是1”的規(guī)律，畫圖能讓學(xué)生非常直觀地感知到“調(diào)整替換”的就是兩個(gè)量的差，它是根據(jù)情境變化而變化的。

學(xué)生已經(jīng)有了畫圖找規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，而“雞兔同籠問題”中頭數(shù)與腿數(shù)的變化規(guī)律隱含在替換過程中，學(xué)生通過畫圖才能直觀感知內(nèi)在規(guī)律。所以，通過畫圖，可以幫助學(xué)生感知“雞兔同籠問題”用相差數(shù)替換的規(guī)律、發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律、發(fā)展形象思維能力。

二、列表法——發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律

列表能清晰地表示兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，在變與不變中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從直觀的畫圖到半抽象的列表，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、形成規(guī)律。通過畫圖，學(xué)生對(duì)“雞兔同籠問題”的規(guī)律已經(jīng)有了初步感知，但此時(shí)的感知是粗淺的、零散的，需要整理、對(duì)比、分析，才便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律。

表格中的數(shù)據(jù)相對(duì)抽象，學(xué)生理解有一定難度，尤其是不明白每個(gè)數(shù)據(jù)表示的意思，見表1。相互交流時(shí)，很多學(xué)生一臉茫然，不知所云。于是，筆者拿出雞和兔的若干圖片，讓學(xué)生用調(diào)整替換的思想來擺一擺、說一說，在操作中感知替換的過程。

表1

【教學(xué)片斷】

師：大家能理解這個(gè)方法嗎，第一列是什么意思呢？老師今天特意把兔和雞都請(qǐng)來了，看看它們?cè)趺醋兓?/p>

生：把它們?nèi)肯氤呻u，5個(gè)頭，每只雞2條腿，一共10條腿。

師：想一想，這時(shí)腿發(fā)生了怎樣的變化？

生：……

師：是啊，其實(shí)就是用兔子換了這只雞，每換1只雞，多了……

生：2條腿。

師：這個(gè)時(shí)候，雞其實(shí)就是變成了……

生：兔。

師：一直到換到16條腿，為什么不再換下去了？

生：……

就這么簡單的擺一擺、換一換，將表中每個(gè)數(shù)據(jù)的含義詮釋得一清二楚，尤其是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了鄰近兩列數(shù)之間的變化規(guī)律：每換1只兔子就多了2條腿，真正理解了“2”表示的意義，它并非是雞的2條腿，而是1只雞和1只兔腿的差。這個(gè)替換的過程在畫圖時(shí)學(xué)生有了初步感知，但還有部分學(xué)生一知半解。因?yàn)楫嫷臅r(shí)候?qū)W生只關(guān)注腿的數(shù)量，而忽視了頭的變化。所以，將靜態(tài)的數(shù)據(jù)用動(dòng)態(tài)的操作去支撐，更有利于對(duì)規(guī)律的理解，更有利于模型的建立，有利于學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。除了理解表格中每個(gè)數(shù)據(jù)的含義，以及鄰近兩列數(shù)字的變化規(guī)律還不夠，學(xué)生只理解了逐只調(diào)整替換的過程，無法與一次性替換的畫法有效嫁接。所以，應(yīng)在學(xué)生基本理解列表法的基礎(chǔ)上完成表格，并對(duì)表格進(jìn)行再度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【教學(xué)片斷】

師：你能從表2中看到第一個(gè)同學(xué)的畫法嗎？

生：先全部畫雞，一共10條腿，發(fā)現(xiàn)還多6條腿……多了6條腿，要把3只雞替換成兔。因?yàn)槊繐Q1只多2條腿。

師：誰上來指一指，他講的是哪兩列數(shù)之間的關(guān)系？能從表2中看到其他畫法嗎？

生：……

表2

在這節(jié)課中，列表法并不是孤立的，它是在學(xué)生通過畫圖初步感知規(guī)律的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律的過程，這是必不可少的方法。1張表格由于觀察角度不同，學(xué)生看到的調(diào)整替換過程也不同，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生與畫法相聯(lián)系來分析表格中的數(shù)據(jù)，看懂每一種畫法，為弄清抽象規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律奠定基礎(chǔ)。在教學(xué)中，不僅要讓列表法與畫圖法相聯(lián)系，便于學(xué)生更好地理解列表法，還要讓列表法與假設(shè)法相聯(lián)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)假設(shè)法打好基礎(chǔ)，成為發(fā)展學(xué)生思維能力的載體。

三、假設(shè)法——應(yīng)用規(guī)律

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)，除了感知規(guī)律、發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律外，更重要的是能運(yùn)用規(guī)律解決一些實(shí)際問題。當(dāng)“雞兔同籠問題”涉及的數(shù)據(jù)越來越大、越來越復(fù)雜的時(shí)候，學(xué)生越來越感覺到畫圖法和列表法的繁雜，同時(shí)，他們對(duì)其中的規(guī)律已經(jīng)明晰，這時(shí)假設(shè)法便應(yīng)運(yùn)而生。運(yùn)用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題，學(xué)生不難總結(jié)出如下規(guī)律：雞的只數(shù)=（頭的總個(gè)數(shù)×4-腳的總只數(shù)）÷（4-2），兔的只數(shù)=（腳的總只數(shù)-頭的總個(gè)數(shù)×2）÷（4-2）。運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型，可以快速解決類似問題。數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的一種思考方法，數(shù)學(xué)教師有責(zé)任讓學(xué)生學(xué)習(xí)和初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法，從而更積極、主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使學(xué)生終身受益。

【教學(xué)片斷】

師：大家看，摩托車和小汽車其實(shí)與“雞兔同籠問題”類似。停車場有摩托車和小汽車共35輛車，（ ）個(gè)輪胎，摩托車和小汽車各有幾輛？輪胎數(shù)據(jù)就在下面3個(gè)數(shù)據(jù)之中：A. 56；B. 160；C. 94，你會(huì)選哪個(gè)？

生：A太少，如果全是摩托車，就有70個(gè)輪胎；B太多，如果全是汽車，最多140個(gè)輪胎。

師：也就是說，這個(gè)輪胎的數(shù)量比70多，比140少，于是選C。你們想到了剛才那道題目嗎？籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？它們有什么相同之處？

教師呈現(xiàn)算式，學(xué)生寫單位名稱。

摩托車和小汽車的問題正好與“雞兔同籠問題”的模型完全一致，能夠使學(xué)生很好地建立起聯(lián)系。其中，對(duì)輪胎數(shù)的選擇是學(xué)生進(jìn)一步理解假設(shè)法的本質(zhì)所在，并滲透極限思想，形成一定的區(qū)間意識(shí)。解題過程并非教學(xué)難點(diǎn)，填寫正確的單位名稱、區(qū)分兩個(gè)未知量才是困難所在。如果能正確填寫，也就意味著模型基本形成。替換過程仍按2個(gè)進(jìn)行變化，因?yàn)橥煤碗u的腿相差數(shù)量是2，而小汽車和摩托車輪子的數(shù)量也相差2，真正建模必須打破這一思維定式。于是，筆者緊接著安排了另一題：停車場有摩托車和三輪車共8輛，20個(gè)輪胎，摩托車和三輪車各有幾輛？”反饋時(shí)和第一題進(jìn)行比較，重點(diǎn)提問：“為什么剛才都是除以2，現(xiàn)在除以1？”并順勢提問：“三輪車和小汽車除以1，還想到了什么？”將學(xué)生的思維引向更深處。

規(guī)律學(xué)習(xí)的過程離不開初步感知、發(fā)現(xiàn)形成、運(yùn)用規(guī)律，而“雞兔同籠問題”的3種解法分別很好地與之對(duì)應(yīng)。因此，上述3種方法缺一不可，不能根據(jù)教師的喜好隨意選擇。畫圖法讓學(xué)生在畫的過程中充分感知“替換調(diào)整”的規(guī)律；列表法讓學(xué)生將規(guī)律用半抽象的數(shù)據(jù)進(jìn)行呈現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律；假設(shè)法能使學(xué)生應(yīng)用規(guī)律解決一些實(shí)際生活問題。真正的教學(xué)，要還學(xué)生一個(gè)思維的舞臺(tái)，且循著規(guī)律教學(xué)的路徑，才能使學(xué)生獲得知識(shí)與技能，積累一定的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)。

（編輯：易繼斌）