蔡小娜，周　旭，那木拉

(河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)課部，河北 黃驊 061100)

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“線性代數(shù)”多元化教學(xué)研究

蔡小娜，周旭，那木拉

(河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)課部，河北 黃驊 061100)

摘要：根據(jù)“線性代數(shù)”的課程特點(diǎn)以及在課程教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，對(duì)“線性代數(shù)”課程的教學(xué)進(jìn)行探討。具體措施主要包括：結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)增設(shè)應(yīng)用實(shí)例以及在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。通過(guò)將應(yīng)用實(shí)例和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入線性代數(shù)教學(xué)課堂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力以及應(yīng)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升授課效果，最終使學(xué)生體會(huì)到學(xué)有所用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；實(shí)踐性；教學(xué)改革；數(shù)字實(shí)驗(yàn)；應(yīng)用實(shí)例

>DOI號(hào)：10.13320/j.cnki.jauhe.2016.0046

“線性代數(shù)”是高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)課，是諸多自然科學(xué)的基礎(chǔ)，目前,“線性代數(shù)”的應(yīng)用領(lǐng)域不斷拓展，為許多實(shí)際問(wèn)題的解決提供了重要方法，同時(shí)也是學(xué)習(xí)其他課程不可缺少的工具[1，2]。

但是，在“線性代數(shù)”課程講授過(guò)程中，學(xué)生普遍反映“線性代數(shù)”課程概念、定理和運(yùn)算規(guī)律較多、前后知識(shí)聯(lián)系緊密、內(nèi)容抽象較難理解，學(xué)時(shí)較短[3]，對(duì)于剛步入大學(xué)的大一學(xué)生來(lái)說(shuō)較難適應(yīng)。并且實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生只學(xué)到了很多數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)和公式，學(xué)生只會(huì)用這些知識(shí)來(lái)做題，根本不清楚如何將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用在實(shí)際生活或生產(chǎn)中，更不知道如何應(yīng)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。久而久之，學(xué)生不僅對(duì)學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”失去了興趣，甚至產(chǎn)生“線性代數(shù)無(wú)用論”的觀點(diǎn)，更沒(méi)有深入研究這門課程的意愿。因此，作為教師在將知識(shí)傳授給學(xué)生的同時(shí)，還應(yīng)深入研究“線性代數(shù)”這門課的教學(xué)方法，打破傳統(tǒng)的“概念-定理-例題-習(xí)題”的教學(xué)模式。

為此，筆者對(duì)專業(yè)不同以及對(duì)“線性代數(shù)”知識(shí)掌握情況不同的學(xué)生進(jìn)行了訪談與問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)自身的教學(xué)反思，針對(duì)“線性代數(shù)內(nèi)容抽象”和“線性代數(shù)無(wú)用論”等問(wèn)題，對(duì)“線性代數(shù)”課程進(jìn)行了多元化教學(xué)研究，主要措施包括結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)在教學(xué)過(guò)程中引入應(yīng)用實(shí)例，以及在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。目的在于通過(guò)簡(jiǎn)單且有專業(yè)針對(duì)性的應(yīng)用實(shí)例和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)到如何利用“線性代數(shù)”課程知識(shí)解決實(shí)際生產(chǎn)中的問(wèn)題，提升授課效果，并達(dá)到“既授人以魚(yú)，又授人以漁”的教學(xué)目的。

一、結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)增設(shè)應(yīng)用實(shí)例

大部分“線性代數(shù)”的教材關(guān)于理論知識(shí)的應(yīng)用實(shí)例很少，在教學(xué)過(guò)程中教師可根據(jù)學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)背景適當(dāng)增設(shè)應(yīng)用實(shí)例，將應(yīng)用實(shí)例融入到“線性代數(shù)”的教學(xué)中，使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。事實(shí)上，“線性代數(shù)”作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，已在幾何學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)分析、密碼學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[4,5]。因此，可根據(jù)學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)向?qū)W生介紹線性代數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用情況來(lái)逐步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

(一)首堂課將“線性代數(shù)”融入到學(xué)生所學(xué)專業(yè)中

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”這門課程的興趣，首堂課很重要。要上好首堂課，教師不僅要備好知識(shí)，還要“備學(xué)生”，即要了解上課學(xué)生的專業(yè)背景和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從而讓學(xué)生了解“線性代數(shù)”在該專業(yè)的應(yīng)用以及與專業(yè)課的銜接。因此，認(rèn)真?zhèn)浜玫谝惶谜n，應(yīng)著重向?qū)W生介紹這門課程的重要性和它在本專業(yè)實(shí)踐中或?qū)嶋H生活中的應(yīng)用，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)背景引入案例。

例如，對(duì)經(jīng)濟(jì)類相關(guān)專業(yè)可引入效益最優(yōu)化的實(shí)例：某工廠需要利用甲、乙兩種原料來(lái)生產(chǎn)A1、A2兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品對(duì)各種原料的需求量、原料的現(xiàn)有量及每種產(chǎn)品的利潤(rùn)如表1所示，應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能夠使總利潤(rùn)最大?

表1　實(shí)例1基本數(shù)據(jù)

同樣，針對(duì)物流管理專業(yè)的學(xué)生，可以引入運(yùn)輸方面的例子，對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，可以引入利用矩陣知識(shí)解決加密與解密的問(wèn)題，對(duì)化學(xué)專業(yè)的學(xué)生，可以講工廠試劑配制方面的例子。通過(guò)引入實(shí)例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)有所用。

(二)以解決問(wèn)題為目的解釋概念

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)盡力做到每一個(gè)章節(jié)的內(nèi)容都引入相應(yīng)的實(shí)例，提出問(wèn)題并引領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用到實(shí)例中，通過(guò)實(shí)例使得學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。例如逆矩陣，其定義為：設(shè)A是一個(gè)n階方陣，如果有n階方陣B存在，使得A*B=B*A=E成立，則稱B是A的逆矩陣；并且可以利用矩陣的初等行變換或公式A-1=(1/detA)A*兩種方法來(lái)求方陣的逆矩陣。如果教學(xué)過(guò)程中單純介紹定義和求解方法，學(xué)生會(huì)覺(jué)得此定義抽象無(wú)用，如有學(xué)習(xí)過(guò)程中引入下面的例子，可使學(xué)生體會(huì)到逆矩陣在實(shí)際生活中的用途，知道掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以有助于快速解決實(shí)際問(wèn)題，從而使“線性代數(shù)”理論知識(shí)的學(xué)習(xí)不再枯燥乏味。

例，某實(shí)驗(yàn)室有甲、乙兩種不同的化學(xué)原料，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制A、B兩種試劑，甲、乙兩種原料含鐵與鈉的情況以及A、B試劑對(duì)鐵和鈉的需求量分別如表2和表3所示，問(wèn)配制A、B兩種試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各多少克？

表2　元素含量

表3　需求量

解：設(shè)配制A試劑需甲、乙兩種化學(xué)原料分別為x、y克；配制B試劑需甲、乙兩種化學(xué)原料分別為s、t克；根據(jù)題意，得如下矩陣方程

下面用初等行變換求A-1，

即配制A試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各10克，配制B試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為10克和0克。

在教學(xué)過(guò)程中有針對(duì)性地選擇應(yīng)用實(shí)例，要保證所選實(shí)例的趣味性和生動(dòng)性，以更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。但也應(yīng)注意，在課堂中引入應(yīng)用實(shí)例也應(yīng)循序漸進(jìn)，不能急于求成。

(三)采取多種形式增設(shè)應(yīng)用實(shí)例

在教學(xué)過(guò)程中引入應(yīng)用實(shí)例應(yīng)采取多種教學(xué)方式和教學(xué)手段，使得“線性代數(shù)”的課程教學(xué)取得更好的效果。

其一，可以適當(dāng)開(kāi)展骨干教師實(shí)例教學(xué)示范課。骨干教師示范可促進(jìn)教師更加深入理解實(shí)例教學(xué)的必要性，使學(xué)生逐步轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)觀念；也可以有效開(kāi)闊師生視野和思路，更好地激發(fā)師生的創(chuàng)造力。

其二，針對(duì)不同專業(yè)可以成立專題討論小組，教師和學(xué)生一起探討問(wèn)題，集思廣益，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性和主動(dòng)性，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

其三，可以開(kāi)設(shè)相應(yīng)的選修課程，如“數(shù)學(xué)建?！?，使學(xué)生將“線性代數(shù)”知識(shí)與其它數(shù)學(xué)類知識(shí)相融合以分析并解決實(shí)際問(wèn)題，從而使學(xué)生初步具有對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)理論源于實(shí)踐，并最終用于實(shí)踐。

二、教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)踐性較強(qiáng)的課程，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[6]引入“線性代數(shù)”教學(xué)中，通過(guò)對(duì)特定例子的觀察和計(jì)算以及數(shù)據(jù)的可視化，使學(xué)生能夠直觀地理解抽象的理論知識(shí)，拓寬學(xué)生視野和知識(shí)面；最為重要的是能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主體作用。

(一)數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)

將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)是必不可少的環(huán)節(jié)。因此，在學(xué)生上機(jī)實(shí)驗(yàn)之前，應(yīng)利用一定的學(xué)時(shí)讓學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)軟件(如Matlab或Mathematic等軟件)，使學(xué)生初步掌握相關(guān)軟件的基本知識(shí)。因?yàn)镸altab軟件的應(yīng)用相對(duì)較為廣泛，所以針對(duì)課程特點(diǎn)可編制Matlab軟件在線性代數(shù)中的使用說(shuō)明手冊(cè)，這樣使得學(xué)生能夠快速掌握該軟件的使用方法。

隨著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的進(jìn)行，學(xué)生通過(guò)在實(shí)驗(yàn)中不斷實(shí)踐，可以更好地掌握軟件的使用方法，而且在應(yīng)用中學(xué)習(xí)會(huì)比教師單純的理論教授和演示更有效果，也更能調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣。

(二)明確教學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

對(duì)于每堂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課都應(yīng)有一個(gè)明確的教學(xué)目的，對(duì)于教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)時(shí)間都應(yīng)該有所規(guī)劃，不能使學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上無(wú)所適從，不知道自己要做什么，該怎樣去做。教師在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)始終起到指導(dǎo)作用，絕對(duì)不能包辦代替而使學(xué)生失去主動(dòng)性。教師首先利用較短時(shí)間講解實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，提出?wèn)題；然后組織學(xué)生討論(2人或3人一組)、形成方案；最后上機(jī)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行計(jì)算或驗(yàn)證。

例如：在求解齊次方程組和非齊次方程組時(shí)計(jì)算重復(fù)繁瑣，在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，可單獨(dú)有一個(gè)學(xué)時(shí)讓學(xué)生專門對(duì)方程組進(jìn)行求解，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。通過(guò)將計(jì)算機(jī)作為輔助工具引入教學(xué)，讓學(xué)生借助Matlab完成復(fù)雜的計(jì)算，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。具體舉例如下：

首先寫(xiě)出該方程組的矩陣表示形式

在Matlab命令窗口下，鍵入

A=[1 2 -1 -2;2 -1 -1 1;3 1 -2 -1];

null(A,'r')

ans =

0.60000

0.20001.0000

1.00000

01.0000

(三)重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析

在教學(xué)過(guò)程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是重要且必要的，但一定注意，不能認(rèn)為實(shí)驗(yàn)有了計(jì)算結(jié)果就萬(wàn)事大吉。在每一階段課程結(jié)束后，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析與比較也是必要的，而給出實(shí)驗(yàn)問(wèn)題的明確答案或?qū)?shí)驗(yàn)結(jié)果提出新的質(zhì)疑也是極其重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

有時(shí)，由于學(xué)生所選擇的算法不同導(dǎo)致結(jié)果有較大差異，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生選擇合理的方法和算法以得到更好的結(jié)果。有時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能與實(shí)際情況相距甚遠(yuǎn)，不能在實(shí)際問(wèn)題中對(duì)此結(jié)果進(jìn)行合理的解釋，這就需要引導(dǎo)學(xué)生分析原因，是方法選擇不當(dāng)，還是算法有誤，從而修正錯(cuò)誤，得到合理的結(jié)果。在得到合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多思考同一實(shí)驗(yàn)不同條件下有可能出現(xiàn)的其它結(jié)果，讓學(xué)生明白要解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)該從多角度思考，甚至可以鼓勵(lì)學(xué)生找出規(guī)律性的結(jié)論，大膽提出自己的猜想，并加以驗(yàn)證，使學(xué)生從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中有所發(fā)現(xiàn)。

三、結(jié)語(yǔ)

“線性代數(shù)”這門課程的教學(xué)不僅是傳授知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想像能力等都具有非常重要的意義，因此使學(xué)生學(xué)好“線性代數(shù)”知識(shí)是十分必要的。

在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注意要有針對(duì)性地引入應(yīng)用實(shí)例，根據(jù)學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)逐步引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)來(lái)分析、解決案例問(wèn)題，能夠應(yīng)用“線性代數(shù)”這一重要的數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題。另外，課程知識(shí)點(diǎn)講授部分結(jié)束之后，再增設(shè)實(shí)驗(yàn)課程，使學(xué)生在全面掌握課程知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)使用相關(guān)數(shù)學(xué)軟件(例如：Matlab或Mathematic等)，并能夠借助數(shù)學(xué)軟件完成復(fù)雜的計(jì)算，在教師的指導(dǎo)下能夠獨(dú)立分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

通過(guò)在課堂上引入應(yīng)用實(shí)例和增設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性，最大程度地提高“線性代數(shù)”課程的教學(xué)質(zhì)量，為其它課程的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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(編輯：王佳)

收稿日期：2016-01-04

基金項(xiàng)目：河北農(nóng)業(yè)大學(xué)第九批教學(xué)研究項(xiàng)目：“非數(shù)學(xué)專業(yè)‘線性代數(shù)’課程實(shí)踐性教學(xué)研究”(編號(hào)：2015YB01)。

作者簡(jiǎn)介：蔡小娜(1983-)，女，河北保定人，博士，講師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與科研工作。

中圖分類號(hào)：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-6927(2016)02-0085-04